《函数的基本性质──单调性与最值》教学设计VIP

《函数的基本性质──单调性与最值》教学设计单调递增（减）函数”这一错误。“函数在（-∞，0）上y随x增大而减少，在

（0，+∞）上y随x的增大而减少。”而学生容易错误理解函数在定义域内是减函数，即把两个单调区间进行合并；分别在区间上取两个数-1和5，-1<5，而f(-1)<f(5)这与函数单调递减的定义相矛盾加以说明。单调性的证明是学生在函数内容中首次接触到的代数论证内容，学生在代数论证推理方面的能力是比较弱的，许多学生甚至还搞不清什么是代数证明，也没有意识到它的重要性，所以单调性的证明自然就是教学中的难点。在证明过程中，有些学生在作差变形中，缺乏相应的运算变换能力，在教学中多举一些例子，多让学生接触一些不同类型，然后进行必要总结（通分，因式分解，有理化，配方等），要变形到最后能判断符号为止，千万不能想当然，或中间“烂肚子”而直接下结论。对于函数的最大（小）值的定义，在初中也只有定性的研究，而现在要求定量探讨，用准确的数学语言来描述。学生对“任意”、“都”、“存在”这些词的含义不容易理解，利用求函数的最值，讨论函数（x>0）单调区间等具体的例子加以巩固。四、学习行为分析学生在学习本节内容之前已经学习了函数的定义，表示法，图象，也学习了一次函数，二次函数，反比例函数的函数值y与变量x之间的关系，特别是学习了二次函数的最大（小）值，这为理解函数的单调性和最大（小）值奠定了一定的基础。但另一方面，以前对函数的单调性和最大（小）值的研究是一种定性的研究，侧重于直观的思维，而本节内容是要对函数单调性和最大（小）值的定量的研究，侧重于逻辑思维能力，这给学生的学习带来了较大的困难。因此，在教学过程中，多创设熟悉的问题情景：如在引课中利用建造一个长方形的花坛，构造熟悉的二次函数，上课中所举例子都是一些常见的函数来加以落实。在定义教学中，多给学生思考问题的时间和空间，引导学生观察，归纳，总结。特别利用数形结合，定性与定量相结合，尽量让学生用数学语言来描述，以便于学生的理解和掌握。利用类比教学法：当介绍了增函数的定义之后，让学生自己得出相应减函数的定义；当介绍了函数最大值的定义之后，让学生自己得出函数最小值的定义；便于学生进一步加深对定义的理解。对于一些容易出错的问题采取纠错教学法：“函数在(-∞,0）上y随x的增大而减少,在

（0,+∞）上y随x的增大而减少，则函数在定义域内是减函数”。“所有函数是否都有最大（小）值？”、“函数在相应的区间内是否一定有单调性？”。还有一些比较复杂的问题：“确定函数的单调区间”等问题让学生去讨论，去探究，教师积极引导，培养学生的自主探究能力。五、教学支持条件分析函数的单调性和函数的最大（小）值这一性质学生在初中接触到过，但只侧重于图象上直观分析，而现在要求把它上升到理论的高度，用准确的数学语言去刻画它。这种由形到数的翻译，从直观到抽象的转变对高一的学生来说是比较困难的，为了突破这一难点，充分发挥信息技术的辅助教学的功能。在概念教学中，首先利用多媒体技术画出函数y=x，

y=x2，，y=x3相应的函数的图象，然后在函数上取不同的点，由学生观察函数的值y随x的变化而变化的规律，化静为动，化抽象为直观，便于学生理解。对于概念中的一些关键字词，比如

“任意”、“都”、“存在”在多媒体课件中用不同的颜色加以标明，便于学生加深印象。对于一些容易出错的问题采取小组讨论法，纠错法。例如教师提出“讨论函数的单调性”，让学生分组讨论，然后推荐代表发言。有学生会回答是“递减函数”，理由是“图形的形状是下降”。也有同学会回答“不是单调函数”，理由是“因为x1=-1，x2=1时，x1<x2，这时f(-1)<f(1)，与减函数的意义不符，所以它不是减函数，同样也不是增函数”。也有同学会回答“函数在(-∞,0)上是减函数,在(0,+∞)也是减少，理由是可以用定义来证明之。根据学生的不同回答，首先让其它组的同学予以纠正，充分发挥学生的力量；当学生碰到困难时，教师予以引导，点拨，最后统一结论。对于例（3）学生熟悉的烟花问题，可采用自学导学法，首先让学生通读题目，理解题意，然后利用多媒体演示动画模型，激发学生学习兴趣；接着相互讨论，共同解决。最后学生提问，教师答疑，师生共同小结求最值的基本方法。六、评价设计《高中数学课程新标准》中提出：“对学生数学学习的评价，既要关注学生知识与技能的理解和掌握，更要关注他们情感与态度的形成与发展；既要关注学生数学学习的结果，更要关注他们在学习过程中的变化和发展。”根据新课程标准的要求，发展性评价的核心是关注学生的发展、促进学生的发展，实现评价发展性功能的一个重要举措就是突出评价的过程性，评价将贯穿于教学的整个过程，将学生在数学学习活动过程中的全部情况都纳入评价的范围，而不只是评价学生的学习的结果。在本教学设计过程中，始终注重过程评价，注重评价的针对性，实效性。主要体现在三个方面：一是基础知识掌握情况的评价。对函数的单调性和函数的最大（小）值的定义能否深刻的，全面的理解，特别是一些关键字词，如“任意两个”、“都”、“存在”的理解。举出正面和反面的例子让学生辨别，个别评价与集体评价相结合。二是基本技能掌握情况的评价。主要包括函数单调性判断的基本方法（图象法，定义法，复合函数法），如何选择不同的方法。证明函数单调性的基本步骤和基本策略（主要是作差变形的策略），单调区间的确定。求最值的基本方法的掌握情况等。三是数学思想的落实和数学探究能力培养的评价。运用函数图象理解和研究函数的性质，利用函数的性质来画函数的图象（草图），提升学生数形结合的思想。函数单调性和最大（小）值的研究经历了从直观到抽象，以图识数的过程，在这个过程中，让学生通过自主探究活动，体验数学概念的形成过程。让学生真正参与到数学活动中来，让学生真正成为学习的主人。（具体的教学评价见教学过程）七、教学过程设计设计环节设计意图师生活动一．创设情境，导出问题

“问题是数学的心脏”，把问题作为出发点，为下一步提出探索性的问题创设有效的学习环境。

以实际问题为背景、以学生熟悉的一元二次函数为入口点，激活学生原有的认知，让学生对所要学的新知获得感性的认识。教师提出问题：学校准备建造一个长方形的花坛，周长设计为16米。由于受周围地理位置限制，其中一边的长度既不能超过6米，又不能少于1米。问1、建立面积y与一边长x的函数关系式。生：y=x(8-x)(1≤x≤6)问2、画出上面函数的图象。问3、指出y的值与x值的变化关系。生：当1≤x≤4时，y随x值的增大而增大，当4≤x≤6时，y随x值的增大而减小。问4、求出面积的最大值与最小值。生：当x=4时，Smax=16m；当x=1时，Smin=7m引导学生解决，体会函数单调性与最大（小）值在实际中的应用。

二、借助信息技术，利用熟悉的函数，给出单调性直观认识。

从形象、直观的图形入手，为探索与思考问题提供方向和“路标”，并借机发展学生的动手实践能力、创新能力、和探索能力。请学生分别画出下列函数的图象，并探讨函数值y与自变量x之间的关系：y=x

，

y=x

，

y=

，

y=x3学生动手画图，个别板演，集体探讨函数值与自变量之间的关系，教师适当引导。y=x在R上y随x的增大而增大。y=x在(-∞,0)上y随x的增大而减少，在(0,+∞)上y随x的增大而增大。y=在（-∞，0）上y随x的增大而减少,在

（0，+∞）上y随x的增大而减少。y=x3

在R上y随x的增大而增大。教师利用信息技术，动画演示函数的图象。三、从定性到定量，引出单调性的定义，并能深刻理解定义的含义。

从定性描述到定量描述，从通俗的日常用语到严谨的数学语言，让学生学会抽象概括，学会逻辑地、合理地思考问题。

注意数形结合，定义是严谨的语言，图象是直观的语言，注意两者有机的结合。

利用类比方法，实现知识与能力的迁移教师提出问题，让学生在自主探索，讨论，在合作交流中，充分体现学生学习的主体性，对概念进一步深入的领会。怎样用数学语言表示y=x在R上y随x的增大而增大呢？（学生讨论，教师引导，得出增函数的定义）

(学生不一定一下子答得比较完整，教师应抓住时机予以启发，纠正，补充)。一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于属于I内某个区间D上的任意两个自变量值x1、x2,当x1<x2时,都有f(x1)<

f(x2).那么就说f(x)在这个区间D上是增函数(increasingfunction)

用类比的方法得出减函数的定义：如果对于属于I内某个区间D上的任意两个自变量值x1、x2,当x1<x2时,都有f(x1)>

f(x2).那么就说f(x)在这个区间D上是减函数(decreasingfunction

)

如果函数y=f(x)在某个区间D上是增函数或减函数。那么就说函说y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=

f(x)的单调区间.1、“函数y=x2是单调递增函数”这一说法对吗？2、y=在（0,+∞）上是减函数，在(-∞,0)是减函数，能否说函数在整个定义域上是减函数？3、函数在某个区间是否一定具有单调性？4、如何理解定义中“任意”两个字？四、讲解例题、巩固知识，提高能力。

例（1）是利用函数的图象来判断函数的单调性，具有直观性，也是常用方法。

例（2）是利用单调性的定义来证明函数的单调性。通过本题的讲解，具有严谨性，能加深对定义的理解。1、

教材例（1）p34讲解：让学生自己通看教材，学生提问，学生自行解决，师生共同总结：（1）单调性与端点无关。（2）判断函数的基本方法-----图象法。2、

教材例（2）p34讲解：教师板演，师生共同总结：（1）

判断函数的基本方法-----定义法。（2）

总结定义法证明单调性的基本步骤：

1

任取x1，x2∈D，且x1<x2；

2

作差f(x1)-f(x2)；3

变形（因式分解、配方、通分有理化）；4

定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；⑤下结论（指出函数f(x)在区间D上的单调性）3、在解题中，根据题目的实际情况和具体要求，选择适当的方法。

五、回归引例，探讨最大（小）值的含义

从熟悉，具体的二次函数入手，探讨最大，最小值，让学生有感性认识。

用数学语言描述最大值，最小值。重新演示引例函数的图象及面积的最大值与最小值分析上面图象可以发现，函数y=x(8-x)(1≤x≤6)的图象上有一个最高点（4，16），任意的x∈［1,6］,都有f(x)≤f(4),当一个函数f(x)有最高点，我们就说函数有最大值。有一个最低点（1，7），任意的x∈［1,6］,都有f(x)≧f(1),当一个函数f(x)有最低点，我们就说函数有最小值。而函数f(x)=x的图象没有最高点也没有最低点，所以函数f(x)=x没有最大值，也没有最小值。

六、归纳最大(小）值的定义，并加以说明，解释

从特殊到一般，揭示数学通常的发现过程，便于学生接受。

利用类比方法，实现知识与能力的迁移

教师提出问题，让学生在自主探索，讨论，在合作交流中，对概念进一步深入的领会。得出函数最大值的定义：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：⑴

对于任意的x∈I,都有f(x)≤M；⑵存在x0∈I，使得f(x0)=M那么，我们称M是函数y=f(x)的最大值（maximumvalue）让学生仿照最大值的定义，给出函数y=f(x)的最小值的定义（minimumvalue）。一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：⑴

对于任意的x∈I,都有f(x)≥M；⑵存在x0∈I，，使得f(x0)=M那么，我们称M是函数y=f(x)的最小值（maximumvalue）1、函数y=x、y=有没有最值？2、如何理解定义中的“存在”“任意”的含义？3、以前求最值有哪些方法？

七、函数单调性、最大（小）值应用

例(3)是学生熟悉的烟花问题，可转化为二次函数来解决，难度不大。

例(4)是单调性与最值问题的综合，具有一定的难度。注意转化为反比例函数，利用数形结合。例(3）、例(4)的教学采用自学导学法，按以下步骤实施：1、

学生通读题目，理解题意2、

利用多媒体演示动画，激发学生学习兴趣。3、

学生自学，相互讨论，共同解决。4、

学生提问，教师答疑。5、

师生共同小结求最值的基本方法：（1）转化为二次函数的最值问题。①配方法②注意实际问题的条件限制。（2）利用函数的单调性求最值------在闭区间上。①先证明在在闭区间上具有单调性。②端点值即为函数的最值。

八、练习、交流、反馈、评价利用课堂练习巩固所学的知识内容，数学思想，数学方法，以达到教学目标，本环节以个别辅导为主，体现面对全体学生的课改新理念。课堂练习：课本第38页练习1、练习2、练习3、练习4。学生独立思考与讨论相结合，教师巡查，个别辅导与集体辅导相结合。

九、课堂小结通过学生自我小结，既充分发挥学生的主观能动性，提高学生分析，概括，综合，抽象能力，又有利于学生把新知融入自己已有的知识体系。知识小结：1、函数单调性，最大（小）值的概念。2、判断函数单调性的基本方法。3、用定义法判断函数的基本步骤4、求最大（小）值的基本方法。师生、生生互动：1、你觉得本节课中印象最深的是什么？2、你觉得本节课中最大的困惑是什么？让学生提问题，自行解决，教师适当补充。

十、布置作业沟通课内与课外，使学