2024-2025学年新教材高中数学第九章解三角形9.2正弦定理与余弦定理的应用学案新人教B版必修第四册

PAGE9.2正弦定理与余弦定理的应用必备学问·自主学习1.实际测量中的有关名称、术语【提示】对常见术语的几点说明(1)仰角与俯角是指目标视线与水平视线的夹角,水平视线易与铅垂线混淆.(2)方位角中的顺时针易记错为逆时针.2.解三角形实际问题的流程1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)(1)已知三角形的三个角,能够求其三条边()(2)两个不行到达的点之间的距离无法求得()(3)方位角和方向角是一样的()提示:(1)×.要解三角形,至少知道这个三角形的一条边长.(2)×.两个不行到达的点之间的距离我们可以借助第三个点和第四个点量出角度、距离求得.(3)×.方位角是指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角,而方向角是以观测者的位置为中心,将正北或正南方向作起始方向旋转到目标方向线所成的角(一般指锐角).2.如图,在河岸AC测量河的宽度BC,测量下列四组数据,较相宜的是()A.γ,c,α B.b,c,αC.c,α,β D.b,α,γ【解析】选D.a,c均隔河,故不易测量,测量b,α,γ更合适.3.两灯塔A,B与海洋视察站C的距离都等于akm,灯塔A在C北偏东30°,B在C南偏东60°,则A,B之间的距离为()A.QUOTEakm B.QUOTEakm C.akm D.2akm【解析】选A.在△ABC中,AC=BC=akm,∠ACB=90°,所以AB=QUOTEakm.4.有一个长为1千米的斜坡,它的倾斜角为75°,现要将其倾斜角改为30°,则坡底要伸长_______千米【解析】如图,∠BAO=75°,∠C=30°,AB=1,所以∠ABC=∠BAO-∠BCA=75°-30°=45°.在△ABC中,QUOTE=QUOTE,所以AC=AB·QUOTE=QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE关键实力·合作学习类型一测量高度问题(数学运算)1.如图,从山顶望地面上C,D两点,测得它们的俯角分别为45°和30°,已知CD为100m,点C位于BD上,则山高AB等于()A.100m B.50QUOTEmC.50QUOTEm D.50(QUOTE+1)m2.在一幢20m高的楼顶测得对面一塔吊顶的仰角为60°,塔基的俯角为45°,那么这座塔吊的高是()A.20QUOTEm B.20(1+QUOTE)mC.10(QUOTE+QUOTE)m D.20(QUOTE+QUOTE)m【解析】1.选D.设山高为h,则由题意知CB=h,DB=QUOTEh,所以QUOTEh-h=100,即h=50(QUOTE+1).2.选B.如图,由条件知四边形ABCD为正方形,所以AB=CD=20m,BC=AD=20m.在△DCE中,∠EDC=60°,∠DCE=90°,CD=20m,所以EC=CD·tan60°=20QUOTEm,所以BE=BC+CE=(20+20QUOTE)m.解决测量高度问题的一般步骤(1)画图:依据已知条件画出示意图.(2)分析三角形:分析与问题有关的三角形.(3)求解:运用正、余弦定理,有序地解相关的三角形,逐步求解.在解题中,要综合运用立体几何学问与平面几何学问,留意方程思想的运用.【补偿训练】某爱好小组要测量电视塔AE的高度H(单位:m).如图所示,竖直放置的标杆BC的高度h=4m,仰角∠ABE=α,∠ADE=β.该小组已测得一组α,β的值,算出了tanα=1.24,tanβ=1.20,请据此算出H的值.【解析】由AB=QUOTE,BD=QUOTE,AD=QUOTE及AB+BD=AD得QUOTE+QUOTE=QUOTE,解得H=QUOTE=QUOTE=124.因此电视塔的高度H是124m.类型二测量角度问题(数学运算)【典例】甲船在A点发觉乙船在北偏东60°的B处,乙船以每小时a海里的速度向北行驶,已知甲船的速度是每小时QUOTEa海里,问甲船应沿着什么方向前进,才能最快与乙船相遇?【思路导引】假设两船在C点相遇,甲船沿方向行驶,把问题转化为在三角形ABC内求∠CAB来求解.【解析】如图所示.设经过t小时两船在C点相遇,则在△ABC中,BC=at(海里),AC=QUOTEat(海里),B=90°+30°=120°,由正弦定理QUOTE=QUOTE,得sin∠CAB=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE,因为0°<∠CAB<90°,所以∠CAB=30°,所以∠DAC=60°-30°=30°,所以甲船应沿着北偏东30°的方向前进,才能最快与乙船相遇.测量角度问题画示意图的基本步骤在一次抗洪抢险中,某救生艇发动机突然发生故障停止转动,失去动力的救生艇在洪水中漂行,此时,风向是北偏东30°,风速是20km/h;水的流向是正东,流速是20km/h,若不考虑其他因素,救生艇在洪水中漂行的速度的方向为北偏东_______,大小为_______km/h.

【解析】如图,∠AOB=60°,由余弦定理知OC2=202+202-800cos120°=1200,故OC=20QUOTE,∠COY=30°+30°=60°.答案:60°20QUOTE类型三测量距离问题(逻辑推理、数学运算)角度1两点不行到达的距离问题

【典例】如图,A,B两点都在河的对岸(不行到达),设计一种测量A,B两点间距离的方法.【思路导引】在岸边选定两点C,D,分别在△ADC和△BDC中,构建方程求解.【解析】测量者可以在河岸边选定两点C,D,测得CD=a,并且在C,D两点分别测得∠BCA=α,∠ACD=β,∠CDB=γ,∠BDA=δ,在△ADC和△BDC中,应用正弦定理得AC=QUOTE=QUOTE,BC=QUOTE=QUOTE.计算出AC和BC后,再在△ABC中,应用余弦定理计算出A,B两点间的距离AB=QUOTE.角度2两点在障碍物两侧的距离问题

【典例】如图所示,要测量一水塘两侧A,B两点间的距离,先选定适当的位置C,用经纬仪测出角α,再分别测出AC,BC的长b,a,则可求出A,B两点间的距离.即AB=QUOTE.若测得CA=400m,CB=600m,∠ACB=60°,试计算AB的长.【思路导引】在△ABC中,运用余弦定理求解.【解析】在△ABC中,由余弦定理得AB2=AC2+BC2-2AC·BCcos∠ACB,所以AB2=4002+6002-2×400×600cos60°=280000.所以AB=200QUOTE(m).即A,B两点间的距离为200QUOTE三角形中与距离有关的问题的求解策略(1)解决与距离有关的问题,若所求的线段在一个三角形中,则干脆利用正、余弦定理求解即可;若所求的线段在多个三角形中,要依据条件选择适当的三角形,再利用正、余弦定理求解.(2)解决与距离有关的问题的关键是转化为求三角形中的边,分析所解三角形中已知哪些元素,还须要求出哪些元素,敏捷应用正、余弦定理来解决.1.(2024·成都高一检测)某船在A处测得灯塔D在其南偏东60°方向上,该船接着向正南方向行驶5海里到B处,测得灯塔D在其北偏东60°方向上,然后该船向东偏南30°方向行驶2海里到C处,此时船到灯塔D的距离为_______海里()

A.QUOTEB.QUOTEC.6D.5【解析】选A.依据题意可画图形(如图),因为在A处测得灯塔D在其南偏东60°方向上,即∠BAD=60°,船接着向正南方向行驶5海里到B处,即AB=5,在B处测得灯塔D在其北偏东60°方向上,即∠ABD=60°,所以△ABD为一个等边三角形,即AB=BD=5,船向东偏南30°方向行驶2海里到C处,依据图形可得∠DBC=60°且BC=2,在△BCD中,由余弦定理可得CD2=BD2+BC2-2BD·BC·cos∠DBC=25+4-2×5×2×QUOTE=19,解得CD=QUOTE.2.(2024·合肥高一检测)炮兵阵地A在视察哨M的南偏东30°方向,在视察哨N的南偏西15°方向,若视察哨N在M的正东方向相距akm处,现视察哨M发觉炮击目标B在M的北偏东45°方向,视察哨N发觉目标B位于N的北偏西75°方向,则阵地A到目标B的距离为()A.QUOTEkmB.QUOTEkmC.QUOTEkmD.QUOTEkm【解析】选A.依题意可得如下图形:则在△AMN中∠AMN=60°,A=45°,由正弦定理QUOTE=QUOTE,解得AN=QUOTEa,在△BMN中∠BMN=45°,B=120°,由正弦定理可得QUOTE=QUOTE,即QUOTE=QUOTE,所以BN=QUOTEa,在△BNA中∠ANB=180°-(15°+75°)=90°,所以AB2=AN2+BN2=QUOTE+QUOTE=QUOTEa2,所以AB=QUOTEa.【补偿训练】(2024·武汉高一检测)如图所示,为了测量A、B处岛屿的距离,小明在D处观测,A、B分别在D处的北偏西15°、北偏东45°方向,再往正东方向行驶10海里至C处,观测B在C处的正北方向,A在C处的北偏西60°方向,则A、B两岛屿的距离为_______海里.()

A.5QUOTEB.10QUOTEC.10QUOTED.20QUOTE【解析】选A.连接AB,由题意可知:CD=10,∠ADC=105°,∠BDC=45°,∠BCD=90°,∠ACD=30°,所以∠DAC=45°,∠ADB=60°.在△ADC中,由正弦定理可知:QUOTE=QUOTE⇒AD=5QUOTE.在Rt△BCD中cos∠BDC=QUOTE⇒BD=10QUOTE.在△ABD中,由余弦定理可知:AB=QUOTE=5QUOTE.课堂检测·素养达标1.学校体育馆的人字屋架为等腰三角形,如图,测得AC的长度为4m,∠A=30°,则其跨度AB的长为()A.12m B.8m C.3QUOTEm D.4QUOTEm【解析】选D.由题意知,∠A=∠B=30°,所以∠C=180°-30°-30°=120°,由正弦定理得QUOTE=QUOTE,即AB=QUOTE=QUOTE=4QUOTEm.2.一艘船自西向东匀速航行,上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°距塔68nmile的M处,下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处,则这只船的航行速度为()A.QUOTEnmile/h B.34QUOTEnmile/hC.QUOTEnmile/h D.34QUOTEnmile/h【解析】选A.如图所示,在△PMN中,QUOTE=QUOTE,所以MN=QUOTE=34QUOTE,所以v=QUOTE=QUOTEnmile/h.3.如图所示,设A,B两点在河的两岸,一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C,测出AC的距离为50m,∠ACB=45°,∠CAB=105°后,就可以计算出A,B两点的距离为()A.50QUOTEm B.50QUOTEmC.25QUOTEm D.QUOTEm【解析】选A.由正弦定理得QUOTE=QUOTE,又因为∠ABC=30°,所以AB=QUOTE=QUOTE=50QUOTE(m).4.(教材二次开发:练习改编)如图,渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处,且与岛屿A相距12km,渔船乙以10km/h的速度从岛屿A动身沿正北方向航行,若渔船甲同时从B处动身沿北偏东α的方向追逐渔船乙,刚好用2小时追上.则渔船甲的速度为_______,sinα=_______.

【解析】(1)由已知得AB=12km,AC=20km,∠BAC=120°,所以BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos∠BAC=122+202-2×12×20×QUOTE=784,所以BC=28km,所以渔船甲的速度v甲=QUOTE=14(km/h).(2)在△ABC中∠BCA=α,由正弦定理得QUOTE=QUOTE,所以QUOTE=QUOTE,所以sinα=QUOTE.答案:14km/hQUOTE课时素养评价三正弦定理与余弦定理的应用(15分钟30分)1.海上有A,B两个小岛相距10nmile,从A岛望C岛和B岛成60°的视角,从B岛望C岛和A岛成75°的视角,则B,C间的距离是 ()A.10QUOTEnmile B.QUOTEnmileC.5QUOTEnmile D.5QUOTEnmile【解析】选D.在△ABC中C=180°-60°-75°=45°.由正弦定理得QUOTE=QUOTE,所以QUOTE=QUOTE,解得BC=5QUOTE(nmile).2.(2024·成都高一检测)某船在海平面A处测得灯塔B在北偏东60°方向,与A相距6千米处.该船由A处向正北方向航行8千米到达C处,这时灯塔B与船相距 ()A.2QUOTE千米 B.2QUOTE千米C.6千米 D.8千米【解析】选A.由题意,画示意图如图:已知AB=6,AC=8,∠A=60°,由余弦定理得BC2=AC2+AB2-2AC·AB·cosA=64+36-2×8×6×QUOTE=52,所以BC=QUOTE=2QUOTE.所以灯塔B与船之间的距离为2QUOTE3.(2024·天津高一检测)如图,某景区欲在两山顶A,C之间建缆车,须要测量两山顶间的距离.已知山高AB=1km,CD=3km,在水平面上E处测得山顶A的仰角为30°,山顶C的仰角为60°,∠BED=120°,则两山顶A,C之间的距离为 ()A.2QUOTEkm B.QUOTEkmC.QUOTEkm D.3QUOTEkm【解析】选C.AB=1,CD=3,∠AEB=30°,∠CED=60°,∠BED=120°,所以BE=QUOTE=QUOTE=QUOTE,DE=QUOTE=QUOTE=QUOTE;在△BED中,由余弦定理得BD2=BE2+DE2-2·BE·DE·cos∠BED=3+3-2×QUOTE×QUOTE×QUOTE=9,所以BD=3;所以AC=QUOTE=QUOTE=QUOTE,即两山顶A,C之间的距离为QUOTEkm.4.(2024·襄阳高一检测)如图,有一辆汽车在一条水平的马路上向正西行驶,汽车在A点测得马路北侧山顶D的仰角为30°,汽车行驶300m后到达B点测得山顶D在北偏西30°方向上,且仰角为45°,则山的高度CD为 ()A.150QUOTEm B.150mC.300QUOTEm D.300m【解析】选D.由题意可知:∠DAC=30°,∠DBC=45°,因为汽车到B点,测得D在北偏西30°方向上,所以∠ABC=120°.设山的高度为h,在Rt△DCA中,tan∠DAC=QUOTE⇒AC=QUOTEh.在Rt△DBC中,tan∠DBC=QUOTE⇒BC=h.在△BCA中,由余弦定理可得:AC2=BC2+AB2-2·BC·AB·cos∠ABC⇒h2-150h-45000=0⇒h=300,h=-150(舍去).5.某人从A处动身,沿北偏东60°行走3QUOTEkm到B处,再沿正东方向行走2km到C处,则A,C两地的距离为km.

【解析】如图所示,由题意可知AB=3QUOTE,BC=2,∠ABC=150°.由余弦定理得AC2=27+4-2×3QUOTE×2×cos150°=49,AC=7.则A,C两地的距离为7km.答案:76.如图所示,为了测定河的宽度,在一岸边选定两点A,B,望对岸标记物C,测得∠CAB=30°,∠CBA=75°,AB=120m,求河的宽度.【解析】在△ABC中,∠CAB=30°,∠CBA=75°,所以∠ACB=75°,∠ACB=∠ABC,所以AC=AB=120(m).如图作CD⊥AB,垂足为D,则CD即为河的宽度.由正弦定理得QUOTE=QUOTE,所以QUOTE=QUOTE,所以CD=60,所以河的宽度为60m.(30分钟60分)一、单选题(每小题5分,共20分)1.要测量底部不能到达的东方明珠电视塔的高度,在黄浦江西岸选择甲、乙两观测点,在甲、乙两点测得塔顶的仰角分别为45°,30°,在水平面上测得电视塔与甲地连线及甲、乙两地连线所成的角为120°,甲、乙两地相距500m,则电视塔在这次测量中的高度是 ()A.100QUOTEm B.400m C.200QUOTEm D.500m【解析】选D.由题意画出示意图,设高AB=h,在Rt△ABC中,由已知得BC=h,在Rt△ABD中,由已知得BD=QUOTEh,在△BCD中,由余弦定理得BD2=BC2+CD2-2BC·CD·cos∠BCD,即3h2=h2+5002+h·500,解得h=500或h=-250(舍).2.如图所示为起重机装置示意图.支杆BC=10m,吊杆AC=15m,吊索AB=5QUOTEm,则起吊的货物与岸的距离AD为 ()A.30m B.QUOTEm C.15QUOTEm D.45m【解析】选B.在△ABC中,AC=15m,AB=5QUOTEm,BC=10m,由余弦定理得cos∠ACB=QUOTE=QUOTE=-QUOTE,所以sin∠ACB=QUOTE.又∠ACB+∠ACD=180°,所以sin∠ACD=sin∠ACB=QUOTE.在Rt△ADC中,AD=AC·sin∠ACD=15×QUOTE=QUOTEm.3.(2024·六安高一检测)小赵开车从A处动身,以每小时40千米的速度沿南偏东40°的方向直线行驶,30分钟后到达B处,此时,小王发来微信定位,显示他自己在A的南偏东70°方向的C处,且A与C的距离为15QUOTE千米,若此时,小赵以每小时52千米的速度开车直线到达C处接小王,则小赵到达C处所用的时间大约为QUOTE()A.10分钟 B.15分钟 C.20分钟 D.25分钟【解析】选B.依据条件可得∠BAC=30°,AB=20,AC=15QUOTE,由余弦定理可得BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos30°=175,则BC=5QUOTE≈13(千米),由B到达C所需时间约为QUOTE=0.25小时=15分钟.4.(2024·郑州高一检测)马尔代夫群岛是世界上风景最为美丽的群岛之一,如图所示,为了测量A,B两座岛之间的距离,小船从初始位置C动身,已知A在C的北偏西45°的方向上,B在C的北偏东15°的方向上,现在船往东开2百海里到达E处,此时测得B在E的北偏西30°的方向上,再开回C处,由C向西开2QUOTE百海里到达D处,测得A在D的北偏东22.5°的方向上,则A,B两座岛之间的距离为百海里 ()

A.3 B.3QUOTE C.4 D.4QUOTE【解析】选B.由题意,∠ADC=67.5°,∠ACD=45°,∠BCE=75°,∠BEC=60°,在△ADC中,可得∠DAC=180°-45°-67.5°=67.5°,所以AC=DC=2QUOTE,在△BCE中,可得∠CBE=180°-∠BCE-∠BEC=45°,由正弦定理可得QUOTE=QUOTE,可得BC=QUOTE=QUOTE=QUOTE,在△ABC中,由余弦定理可得AB2=AC2+BC2-2AC·BCcos∠ACB=QUOTE+QUOTE-2×2QUOTE×QUOTEcos60°=18,所以AB=3QUOTE.【补偿训练】(2024·福州高一检测)甲船在岛B的正南方A处,AB=10千米,甲船以每小时4千米的速度向正北航行,同时乙船自B动身以每小时6千米的速度向北偏东60°的方向驶去,当甲、乙两船相距最近时,它们所航行的时间是 ()A.QUOTE分钟B.QUOTE分钟C.21.5分钟 D.2.15分钟【解析】选A.假设经过x小时两船相距最近,甲、乙分别行至C,D,如图所示,可知BC=10-4x,BD=6x,∠CBD=120°CD2=BC2+BD2-2BC·BD·cos∠CBD=(10-4x)2+36x2+2×(10-4x)×6x×QUOTE=28x2-20x+100,当x=QUOTE小时,即航行QUOTE分钟时距离最小.二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)5.某人在A处向正东方向走xkm后到达B处,他向右转150°,然后朝新方向走3km到达C处,结果他离动身点恰好QUOTEkm,那么x的值可能是 ()A.QUOTEB.2QUOTEC.3QUOTED.3【解析】选AB.由题意得∠ABC=30°,由余弦定理得cos30°=QUOTE,解得x=2QUOTE或x=QUOTE.6.甲、乙两人在同一地平面上的不同方向观测20m高的旗杆,甲观测的仰角为50°,乙观测的仰角为40°,用d1,d2分别表示甲、乙两人离旗杆的距离,那么有 ()A.d1>d2B.d1<d2C.d1<20m D.d2<20m【解析】选BC.如图,设旗杆高为h,则d1=QUOTE,d2=QUOTE.因为tan50°>tan40°,所以d1<d2.又因为tan50°>tan45°=1,所以d1<20m.【补偿训练】(2024·济南高一检测)《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作,全书十八卷共八十一个问题,分为九类,每类九个问题,《数书九章》中记录了秦九韶的很多创建性成就,其中在卷五“三斜求积”中提出了已知三角形三边a,b,c求面积的公式,这与古希腊的海伦公式完全等价,其求法是:“以小斜幂并大斜幂减中斜幂,余半之,自乘于上,以小斜幂乘大斜幂减上,余四约之,为实,一为从隅,开平方得积.”若把以上这段文字写成公式,即S=QUOTE.现有△ABC满意sinA∶sinB∶sinC=2∶3∶QUOTE,且△ABC的面积S△ABC=6QUOTE,请运用上述公式推断下列命题正确的是()A.△ABC周长为10+2QUOTEB.△ABC三个内角A,C,B成等差数列C.△ABC外接圆直径为QUOTED.△ABC中线CD的长为3QUOTE【解析】选ABC.由正弦定理可得a∶b∶c=2∶3∶QUOTE,设a=2m,b=3m,c=QUOTEmQUOTE,所以S=QUOTE=QUOTEm2=6QUOTE,解得m=2(负值舍去),所以△ABC的周长为a+b+c=4+6+2QUOTE=10+2QUOTE,A正确;由余弦定理得cosC=QUOTE=QUOTE=QUOTE,所以C=QUOTE,因为A+B+C=π,所以A+B=QUOTE,即2C=A+B,所以三个内角A,C,B成等差数列,B正确;由正弦定理知外接圆直径为2R=QUOTE=QUOTE=QUOTE,C正确;由中线定理得a2+b2=QUOTEc2+2CD2,即CD2=QUOTE×QUOTE=19,所以CD=QUOTE,D错误.三、填空题(每小题5分,共10分)7.如图,A,B两地之间有一座山,汽车原来从A地到B地须经C地沿折线A-C-B行驶,现开通隧道后,汽车干脆沿直线AB行驶.已知AC=10km,∠A=30°,∠B=45°,则隧道开通后,汽车从A地到B地比原来少走.(结果精确到0.1km)(参考数据:QUOTE≈1.41,QUOTE≈1.73)

【解析】过点C作CD⊥AB,垂足为D.在Rt△CAD中,∠A=30°,AC=10km,CD=AC·sin30°=5(km),AD=AC·cos30°=5QUOTE(km).在Rt△BCD中,∠B=45°,BD=CD=5(km),BC=QUOTE=5QUOTE(km).AB=AD+BD=(5QUOTE+5)(km),AC+BC-AB=10+5QUOTE-(5QUOTE+5)=5+5QUOTE-5QUOTE≈5+5×1.41-5×1.73=3.4(km).答案:3.4km8.地平面上一旗杆设为OP,为测得它的高度h,在地平面上取一基线AB,AB=200m,在A处测得P点的仰角∠OAP=30°,在B处测得P的仰角∠OBP=45°,又测得∠AOB=60°,则旗杆的高h为m.

【解析】如图,OP=h,∠OAP=30°,∠OBP=45°,∠AOB=60°,AB=200m.在△AOP中,因为OP⊥OA,所以∠AOP=90°,则OA=QUOTE=QUOTEh,同理,在△BOP中,∠BOP=90°,且∠OBP=45°,所以OB=OP=h.在△OAB中,由余弦定理得AB2=OA2+OB2-2OA·OB·cos∠AOB,即2002=3h2+h2-2QUOTEh2·cos60°,解得h=QUOTE.答案:QUOTE四、解答题(每小题10分,共20分)9.(2024·上海高一检测)如图,为测量山高MN,选择水平地面上一点A和另一座山的山顶C为测量观测点,从A点测得M点的仰角∠MAN=60°,C点的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°;从C点测得∠MCA=60°.已知山高BC=100m,求山高MN.【解析】在△ABC中,因为∠BAC=45°,∠ABC=90°,BC=100,所以AC=QUOTE=100QUOTE.在△AMC中∠MAC=75°,∠MCA=60°,所以∠AMC=45°.由正弦定理得QUOTE=QUOTE,即QUOTE=QUOTE,所以AM=100QUOTE.在Rt△AMN中,MN=AMsin∠MAN=100QUOTE×sin60°=150,故山高MN是150m.10.(2024·济南高一检测)如图,某公园有三条观光大道AB,BC,AC围成直角三角形,其中直角边BC=200m,斜边AB=400m.现有甲、乙、丙三位小挚友分别在AB,BC,AC大道上游戏,(1)若甲、乙都以每分钟100m的速度从点B动身在各自的大道上奔跑,乙比甲迟2分钟动身,当乙动身1分钟后到达E,甲到达D,求此时甲、乙两人之间的距离;(2)甲、乙、丙所在位置分别记为点D,E,F.设∠CEF=θ,乙、丙之间的距离是甲、乙之间距离的2倍,且∠DEF=QUOTE,请将甲、乙之间的距离y表示为θ的函数,并求甲、乙之间的最小距离.【解析】(1)依题意得BD=300,BE=100,在△ABC中cosB=QUOTE=QUOTE,所以B=QUOTE,在△BDE中由余弦定理得DE2=BD2+BE2-2BD·BEcosB=3002+1002-2×300×100×QUOTE=70000,所以DE=100QUOTE.答:甲、乙两人之间的距离为100QUOTE(2)由题意得EF=2DE=2y,∠BDE=∠CEF=θ,在Rt△CEF中,CE=EF·cos∠CEF=2ycosθ,在△BDE中,由正弦定理得QUOTE=QUOTE,即QUOTE=QUOTE所以y=QUOTE=QUOTE,0≤θ≤QUOTE,所以当θ=QUOTE时,y有最小值50QUOTE.答:甲、乙之间的最小距离为50QUOTE1.如图,从气球A上测得其正前下方的河流两岸B,C的俯角分别为75°,30°,此时气球的高度AD是60m,则河流的宽度BC是 ()A.240(QUOTE-1)m B.180(QUOTE-1)mC.120(QUOTE-1)m D.30(QUOTE+1)m【解析】选C