浙江省宁波市余姚市高风中学2023-2024学年九年级上学期期中考试数学试卷

2023-2024学年浙江省宁波市余姚市高风中学九年级（上）期中数学试卷一.选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）下列函数中，是二次函数的是A． B． C． D．2．（3分）二次函数的图象的顶点坐标是A． B． C． D．3．（3分）的值等于A． B． C．1 D．4．（3分）下列各事件中，是必然事件的是A．是实数，则 B．掷一枚硬币时，正面朝上 C．三角形内角和是 D．任意买一张电影票，座位号是单号5．（3分）已知线段，，则线段和的比例中项为A．6.5 B． C．6 D．6．（3分）如图，，，，则的长为A．9 B．15 C．18 D．127．（3分）已知点，是抛物线上的两点，则，的大小关为A． B． C． D．无法确定8．（3分）如图，四边形内接于，为的直径，点为的中点，若，则的度数为A． B． C． D．9．（3分）如图，△中，，，，以点为圆心、为半径画弧，交于点，以点为圆心、为半径画弧，交于点，则阴影部分的面积为A． B． C． D．10．（3分）如图，，、，分别是矩形四边上的点，连结，相交于点，且，，设矩形、矩形、矩形、矩形的面积分别为、、，，矩形矩形，连接交，于点，．下列一定能求出△面积的条件是A． B． C． D．二.填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）11．（4分）若抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，则所得的抛物线的解析式是．12．（4分）某商店现推出三款杭州亚运会吉祥物盲盒，内分别含有吉祥物“宸宸”、“琮琮”、“莲莲”，则小明任意抽一个盲盒，抽到“宸宸”的概率是．13．（4分）若扇形的圆心角为，半径为6，则扇形的弧长为．14．（4分）如图，△的顶点都是边长为1的小正方形组成的网格的格点，则的正弦值为．15．（4分）如图，在平行四边形中，为中点，延长至，使，连结交于点，则．16．（4分）如图，△内接于，，，是的中点，则的半径为，的长度的最小值是．三.解答题（本大题共7小题，共66分）17．（6分）城市小区生活垃圾分为、、、四种不同的类型．（1）甲投放了一袋垃圾，恰好是的概率是．（2）甲、乙分别投放了一袋垃圾，利用树状图或列表求恰好是同一类型垃圾的概率．18．（8分）如图所示，是的一条弦，，垂足为，交于点，点在上．（1）若，求的度数；（2）若，，求的长．19．（8分）二次函数、为实数）的图象经过点，点．（1）求该二次函数的表达式及顶点坐标．（2）当时，求该二次函数的最大值与最小值．20．（10分）某商家进购了一批钥匙扣，每个进价为5元．若该钥匙扣每个售价是7元时，每天可售出160个；经市场调研，若每个售价提高1元，则每天少卖20个．（1）设该钥匙扣每个售价定为元时为正整数，且，求该商品利润与之间的函数关系式；（2）物价局规定利润率不得高于，求每个售价定为多少元时，每天销售钥匙扣所获利润最大？最大利润是多少元？21．（10分）高风中学校门口安装有汽车出入道闸．道闸关闭时，如图1，四边形为矩形，长3米，长1米，与水平地面垂直．道闸打开的过程中，边固定，连杆，分别绕点，转动，且边始终与边平行．（1）如图2，当道闸打开至时，边上一点，到的距离为2米，到地面的距离为1.1米，求点到地面的距离的长．（2）在（1）的条件下，一辆轿车过道闸，已知轿车的宽为1.9米，高为1.5米．当道闸打开至时，轿车能否驶入校区？请说明理由．（参考数据：，，22．（12分）定义：四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似（不全等），就把这条对角线叫做这个四边形的“相似对角线”．理解：（1）如图1，△的三个顶点均在正方形网格中的格点上，若四边形是以为“相似对角线”的四边形，请用无刻度的直尺在网格中画出点（保留作图痕迹，找出2个即可）；（2）如图2，在四边形中，，，，对角线平分．那么是四边形的“相似对角线”吗？请说明理由；运用：（3）如图3，已知是四边形的“相似对角线”，，平分．连接，若△的面积为，求的长．23．（12分）如图，射线射线，、在射线上，在射线上，连结，．若，，设．过点，，的圆交的垂线于点，连结，直线，交于点．（1）求．（2）连结，记△的面积为．①求关于的函数表达式；②当时，求此时的值．（3）点关于直线的对称点为，若落在△内部（不包括边界）时，请直接写出的取值范围．

2023-2024学年浙江省宁波市余姚市高风中学九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一.选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）下列函数中，是二次函数的是A． B． C． D．【分析】根据二次函数的定义求解，二次函数的一般式是，其中．【解答】解：、，是正比例函数，故本选项不符合题意；、，是反比例函数，故本选项不符合题意；、，符合定义，故本选项符合题意；、，是一次函数，故本选项不符合题意；故选．【点评】此题考查了二次函数的定义，熟记二次函数的定义及一般形式是解题的关键．2．（3分）二次函数的图象的顶点坐标是A． B． C． D．【分析】二次函数的顶点坐标是．【解答】解：根据二次函数的顶点式方程知，该抛物线的顶点坐标：．故选：．【点评】本题考查了二次函数的性质和二次函数的三种形式．解答该题时，需熟悉二次函数的顶点式方程中的、所表示的意义．3．（3分）的值等于A． B． C．1 D．【分析】直接根据特殊角的三角函数值作答即可．【解答】解：．故选：．【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解答本题的关键．4．（3分）下列各事件中，是必然事件的是A．是实数，则 B．掷一枚硬币时，正面朝上 C．三角形内角和是 D．任意买一张电影票，座位号是单号【分析】根据随机事件，必然事件，不可能事件的特点逐一判断即可解答．【解答】解：、是实数，则，是不可能事件，故不符合题意；、掷一枚硬币时，正面朝上，是随机事件，故不符合题意；、三角形内角和是，是必然事件，故符合题意；、任意买一张电影票，座位号是单号，是随机事件，故不符合题意；故选：．【点评】本题考查了随机事件，绝对值的非负性，三角形内角和定理，熟练掌握这些数学知识是解题的关键．5．（3分）已知线段，，则线段和的比例中项为A．6.5 B． C．6 D．【分析】根据比例中项的概念，当两个比例内项相同时，就叫比例中项，再列出比例式即可得出答案．【解答】解：设线段和的比例中项为，根据比例中项的概念，得，，线段不能是负数，应舍去，取．故选：．【点评】本题考查了比例线段，掌握比例中项的概念是解决问题的关键．6．（3分）如图，，，，则的长为A．9 B．15 C．18 D．12【分析】利用相似三角形的性质求解即可．【解答】解：，△△，，，，，．故选：．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题．7．（3分）已知点，是抛物线上的两点，则，的大小关为A． B． C． D．无法确定【分析】依据题意，由抛物线为，从而抛物线开口向上，且抛物线的对称轴是直线，故此抛物线上的点离对称轴越近函数值越小，结合，进而可以判断得解．【解答】解：抛物线为，抛物线开口向上，且抛物线的对称轴是直线．抛物线上的点离对称轴越近函数值越小．又，．故选：．【点评】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．8．（3分）如图，四边形内接于，为的直径，点为的中点，若，则的度数为A． B． C． D．【分析】连接，根据圆周角定理得到，，根据直角三角形的性质计算即可．【解答】解：连接，四边形内接于，，，，点为的中点，，是直径，，，故选：．【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，圆周角定理，掌握直径所对的圆周角是直角是解题的关键．9．（3分）如图，△中，，，，以点为圆心、为半径画弧，交于点，以点为圆心、为半径画弧，交于点，则阴影部分的面积为A． B． C． D．【分析】求出，根据三角函数求出；利用扇形的面积公式，根据“阴影部分的面积扇形的面积扇形的面积三角形的面积”计算即可．【解答】解：，，，，，，阴影部分的面积为．故答案为：．【点评】本题考查扇形面积的计算、含30度角的直角三角形、勾股定理，掌握特殊角的三角函数、扇形和三角形面积计算公式是解题的关键．10．（3分）如图，，、，分别是矩形四边上的点，连结，相交于点，且，，设矩形、矩形、矩形、矩形的面积分别为、、，，矩形矩形，连接交，于点，．下列一定能求出△面积的条件是A． B． C． D．【分析】根据相似矩形设相似比，再运用相似三角形得出关键线段长，运用三角形面积公式即可求解．【解答】解：矩形矩形，设矩形与矩形的相似比为，即，设，，则在矩形、矩形中，，，矩形、矩形、矩形的对边互相平行，，，，，△△，△△，，，，，，，故选：．【点评】本题考查了矩形的性质、相似矩形、相似三角形的性质及判定，找到关键线段的长运用三角形面积公式是解题的关键．二.填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）11．（4分）若抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，则所得的抛物线的解析式是．【分析】根据“左加右减，上加下减”的原则进行解答即可．【解答】解：平移后的抛物线的解析式是．故答案为：．【点评】本题考查的是二次函数图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的原则是解答此题的关键．12．（4分）某商店现推出三款杭州亚运会吉祥物盲盒，内分别含有吉祥物“宸宸”、“琮琮”、“莲莲”，则小明任意抽一个盲盒，抽到“宸宸”的概率是．【分析】由题意知，共有3种等可能的结果，其中抽到“宸宸”的结果有1种，利用概率公式可得答案．【解答】解：由题意知，共有3种等可能的结果，其中抽到“宸宸”的结果有1种，小明任意抽一个盲盒，抽到“宸宸”的概率是．故答案为：．【点评】本题考查概率公式，熟练掌握概率公式是解答本题的关键．13．（4分）若扇形的圆心角为，半径为6，则扇形的弧长为．【分析】根据弧长公式计算即可．【解答】解：，扇形的弧长为．故答案为：．【点评】本题考查弧长的计算，掌握弧长的计算公式是解题的关键．14．（4分）如图，△的顶点都是边长为1的小正方形组成的网格的格点，则的正弦值为．【分析】在△中，利用勾股定理可得，然后利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．【解答】解：如图：在△中，，，，，故答案为：．【点评】本题考查了解直角三角形，勾股定理，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．15．（4分）如图，在平行四边形中，为中点，延长至，使，连结交于点，则．【分析】先根据平行四边形的性质得到，，再证明，接着证明△△，然后根据相似三角形的性质解决问题．【解答】解：四边形为平行四边形，，，，，为中点，，即，，△△，．故答案为：．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；灵活运用相似三角形的性质是解决问题的关键．也考查了平行四边形的性质．16．（4分）如图，△内接于，，，是的中点，则的半径为6，的长度的最小值是．【分析】连接并延长交于，连接，则，，得到延长到，使，作于，连接，，，根据三角形的中位线定理得到，当长最小时，长最小，当的延长线过圆心时，长最小，根据勾股定理得到，于是得到结论．【解答】解：连接并延长交于，连接，则，，，，即的半径为6，当时，的长度的最小，是的中点，延长到，使，作于，连接，，，是的中点，是△的中位线，，当长最小时，长最小，当的延长线过圆心时，长最小，，，，，，，，，，，，的长度的最小值是，故答案为：6，．【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，求线段长的最大值，圆周角定理，勾股定理，关键是延长到使，连接构造△的中位线，当过圆心时，即可求得长的最小值．三.解答题（本大题共7小题，共66分）17．（6分）城市小区生活垃圾分为、、、四种不同的类型．（1）甲投放了一袋垃圾，恰好是的概率是．（2）甲、乙分别投放了一袋垃圾，利用树状图或列表求恰好是同一类型垃圾的概率．【分析】（1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中恰好是的结果有1种，利用概率公式可得答案．（2）列表可得出所有等可能的结果数以及恰好是同一类型垃圾的结果数，再利用概率公式可得出答案．【解答】解：（1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中恰好是的结果有1种，甲投放了一袋垃圾，恰好是的概率是．故答案为：．（2）列表如下：共有16种等可能的结果，其中恰好是同一类型垃圾的结果有4种，恰好是同一类型垃圾的概率为．【点评】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．18．（8分）如图所示，是的一条弦，，垂足为，交于点，点在上．（1）若，求的度数；（2）若，，求的长．【分析】（1）由垂径定理得，由圆周角定理推论可求；（2）由垂径定理得，应用勾股定理即可计算．【解答】解：（1），，；（2），，，，，．【点评】本题考查圆周角定理的推论，垂径定理和勾股定理，关键是掌握并熟练应用以上知识点．19．（8分）二次函数、为实数）的图象经过点，点．（1）求该二次函数的表达式及顶点坐标．（2）当时，求该二次函数的最大值与最小值．【分析】（1）利用待定系数法确定函数的解析式，利用配方法即可求得顶点坐标；（2）根据的取值范围可知抛物线的顶点二次函数可取得最大值，再由二次函数的对称性和图象，即可得出找到最小值．【解答】解：（1）二次函数的图象经过点，，，解得，该二次函数的解析式，，顶点坐标为；（2）的顶点坐标为，当时，函数的最大值为5，根据二次函数的对称性，由图象可知：当时，函数有最小值，最小值．【点评】本题主要考查了求二次函数的解析式、二次函数的图象和性质，利用二次函数图象上点的坐标特征，确定二次函数的极值和函数的解析式是解题的关键．20．（10分）某商家进购了一批钥匙扣，每个进价为5元．若该钥匙扣每个售价是7元时，每天可售出160个；经市场调研，若每个售价提高1元，则每天少卖20个．（1）设该钥匙扣每个售价定为元时为正整数，且，求该商品利润与之间的函数关系式；（2）物价局规定利润率不得高于，求每个售价定为多少元时，每天销售钥匙扣所获利润最大？最大利润是多少元？【分析】（1）因为售出每个钥匙扣可获利润元，每天可售出个，所以，即为正整数，且；（2）因为，由利润率不得高于，可求得，所以当时，，即每个售价定为9元时，每天销售钥匙扣所获利润最大，最大利润是560元．【解答】解：（1）根据题意得，整理得，答：该商品利润与之间的函数关系式为为正整数，且．（2），利润率不得高于，，，，当时，，答：每个售价定为9元时，每天销售钥匙扣所获利润最大，最大利润是560元．【点评】此题重点考查二次函数的应用，正确地求出该商品利润与之间的函数关系式是解题的关键．21．（10分）高风中学校门口安装有汽车出入道闸．道闸关闭时，如图1，四边形为矩形，长3米，长1米，与水平地面垂直．道闸打开的过程中，边固定，连杆，分别绕点，转动，且边始终与边平行．（1）如图2，当道闸打开至时，边上一点，到的距离为2米，到地面的距离为1.1米，求点到地面的距离的长．（2）在（1）的条件下，一辆轿车过道闸，已知轿车的宽为1.9米，高为1.5米．当道闸打开至时，轿车能否驶入校区？请说明理由．（参考数据：，，【分析】（1）先根据锐角三角函数求出的长，再求出的长即可解答；（2）当时，，求出此时的长，再与轿车的宽进行比较即可解答．【解答】解：（1）过点作于点，如图；在△中，，，，，；（2）轿车不能驶入小区，理由如下：当时，，，，，在△中，，，，轿车不能驶入小区．【点评】本题考查解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数是解题关键．22．（12分）定义：四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似（不全等），就把这条对角线叫做这个四边形的“相似对角线”．理解：（1）如图1，△的三个顶点均在正方形网格中的格点上，若四边形是以为“相似对角线”的四边形，请用无刻度的直尺在网格中画出点（保留作图痕迹，找出2个即可）；（2）如图2，在四边形中，，，，对角线平分．那么是四边形的“相似对角线”吗？请说明理由；运用：（3）如图3，已知是四边形的“相似对角线”，，平分．连接，若△的面积为，求的长．【分析】（1）根据“相似对角线”的定义，可知为△的直角边，且两条直角边之比为，则可找出符合要求的点；（2）由角平分线的定义得，则，从而得出△△，即可证明结论；（3）作于点，根据相似三角形的性质可得，再利用含角的直角三角形的性质得，从而得出，即可解决问题．【解答】解：（1）如图1所示（答案不唯一）（2）是四边形的“相似对角线”，理由如下：平分，，，，，△△，是四边形的“相似对角线”；（3）如图3，作于点，”，平分，．又是四边形的“相似对角线”，