新教材同步系列2024春高中数学第六章计数原理6.3二项式定理6.3.2二项式系数的性质课件新人教A版选择性必修第三册

第六章计数原理6.3二项式定理6.3.2二项式系数的性质学习目标素养要求1.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题逻辑推理2.理解二项式系数的性质并灵活运用数学运算自学导引二项式系数的性质等距离2n-1【答案】(1)×

(2)×二项展开式中系数最大项是中间一项(共奇数项)或中间两项(共偶数项)，这种说法对吗？提示：错误．二项展开式中项的系数与二项式系数是不同的，二项式系数最大项是中间一项(共奇数项)或中间两项(共偶数项)，但是项的系数的最大值与项其他数字因数的大小有关．课堂互动(1)试求199510除以8的余数；(2)求证：32n+2－8n－9(n∈N*)能被64整除．(1)解：199510＝(8×249＋3)10.∵其展开式中除末项为310外，其余各项均含有8这个因数，∴199510除以8的余数与310除以8的余数相同．又∵310＝95＝(8＋1)5，其展开式中除末项为1外，其余各项均含有8这个因数，∴310除以8的余数为1，即199510除以8的余数也为1.题型1整除问题利用二项式定理可以解决求余数和整除的问题，通常需将底数化成两数的和与差的形式，且这种转化形式与除数有密切的关系．1．已知n∈N*，求证：1＋2＋22＋…＋25n-1能被31整除．已知(2x－1)5＝a0x5＋a1x4＋a2x3＋a3x2＋a4x＋a5，求a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5.解：令x＝1，得(2×1－1)5＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5，∴a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝1.题型2二项展开式的系数的和问题【例题迁移1】

(改变问法)例2条件不变，将问题改为“求|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|＋|a5|”．解：∵(2x－1)5的展开式中偶数项的系数为负值，∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|＋|a5|＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5.令x＝－1，得[2×(－1)－1]5＝－a0＋a1－a2＋a3－a4＋a5，即a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝－(－3)5＝35，∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|＋|a5|＝35＝243.【例题迁移2】

(改变问法)例2条件不变，将问题改为“求a1＋a3＋a5”．1．赋值法是求二项展开式系数及有关问题的常用方法，注意取值要有利于问题的解决，可以取一个值或几个值，也可以取几组值，解决问题时要避免漏项．2．在二项式(2x－3y)9的展开式中，求：(1)二项式系数之和；(2)各项系数之和；(3)所有奇数项系数之和．题型3求展开式中系数或二项式系数的最大项【例题迁移1】

(改变问法)在本例条件下，问题改为“求系数最大的项与系数最小的项”．求二项式系数的最大项，根据二项式系数的性质对(a＋b)n中的n进行讨论(1)当n为奇数时，中间两项的二项式系数最大．(2)当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大．解：(1)令x＝1，则二项式各项系数的和为f(1)＝(1＋3)n＝4n，又展开式中各项的二项式系数之和为2n.由题意知，4n－2n＝992.∴(2n)2－2n－992＝0，易错警示二项式系数和概念不清致误答案：A正解：设(2x－1)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，且奇次项的系数和为A，偶次项的系数和为B．则A＝a1＋a3＋a5＋…，B＝a0＋a2＋a4＋a6＋….答案：B素养达成1．求展开式中的系数或展开式中的系数的和、差的关键是给字母赋值，赋值的选择则需根据所求的展开式系数和特征来确定．一般地，对字母赋的值为0，1或－1，但在解决具体问题时要灵活掌握．2．注意两点：(1)区分开二项式系数与项的系数；(2)求解有关系数最大时的不等式组时，注意其中k∈{0，1，2，…，n}．1．(题型2)已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7，则a1＋a2＋…＋a7的值为

(

)A．－1 B．1C．－2 D．2【答案】C【解析】令x＝1，则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝－1；令x＝0，则a0＝1.所以a1＋a2＋a3＋…＋a7＝－2.2．(题型3)(1＋x)2n+1的展开式中，二项式系数最大的项所在的项数是

(

)A．n，n＋1 B．n－1，nC．n＋1，n＋2 D．n＋2，n＋3【答案】C【答案】A5．(题型2)已知(2x－1)n(n∈N*)的展开式中，奇次项系数的和比偶次项系数的和小316，求展开式中奇数项的二项式系数的和．解：设f(x)＝(2x－1)n＝a0＋a1x＋…＋anxn，且奇次项系数的和为A，偶次