新教材同步系列2024春高中数学第七章随机变量及其分布7.3离散型随机变量的数字特征7.3.2离散型随机变量的方差课件新人教A版选择性必修第三册

第七章随机变量及其分布7.3离散型随机变量的数字特征7.3.2离散型随机变量的方差学习目标素养要求1.通过具体的实例，理解离散型随机变量的分布列及方差的概念数学抽象2.能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题数据分析自学导引设离散型随机变量X的分布列为离散型随机变量的方差、标准差Xx1x2…xnPp1p2…pn方差标准差【预习自测】1．离散型随机变量的方差和标准差反映了随机变量的什么性质？提示：离散型随机变量的方差和标准差度量了随机变量取值与其均值的偏离程度，反映了随机变量取值的离散程度．2．离散型随机变量的方差越大，随机变量越稳定还是方差越小越稳定？提示：离散型随机变量的方差越小，随机变量越稳定．(1)D(aX＋b)＝__________；(2)若X服从两点分布，则D(X)＝__________．【预习自测】设随机变量X的方差D(X)＝1，则D(2X＋1)的值为 (

)A．2 B．3C．4 D．5【答案】C【解析】D(2X＋1)＝4D(X)＝4×1＝4.a2D(X)几个常见的结论p(1－p)课堂互动(1)设随机变量X的分布列为题型1离散型随机变量的方差(2)某运动员投篮的命中率p＝0.8，则该运动员在一次投篮中命中次数X的方差为________．【答案】(1)C(2)0.16【解析】依题意知X服从两点分布，所以D(X)＝0.8×(1－0.8)＝0.16.求离散型随机变量的方差的类型及解决方法(1)已知分布列类型(非两点分布)：直接利用定义求解．先求均值，再求方差．(2)未知分布列类型：求解时可先借助已知条件及概率知识先求得分布列，然后转化成(1)中的情况．(3)已知分布列是两点分布：直接套用公式D(X)＝p(1－p)求解．已知X的分布列如下：题型2方差的性质的应用(1)求X2的分布列；(2)计算X的方差；(3)若Y＝4X＋3，求Y的均值和方差．方差的计算需要一定的运算能力，公式的记忆不能出错，注意方差性质的应用，如D(aX＋b)＝a2D(X)，这样处理既避免了求随机变量aX＋b的分布列，又避免了复杂的计算．2．已知η的分布列为(1)求η的方差及标准差；(2)设Y＝2η－E(η)，求D(Y).为选拔奥运会射击选手，对甲、乙两名射手进行选拔测试．已知甲、乙两名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的随机变量ξ，η.甲、乙两名射手在每次射击中击中的环数均大于6环，且甲射中10，9，8，7环的概率分别为0.5，3a，a，0.1，乙射中10，9，8环的概率分别为0.3，0.3，0.2.(1)求ξ，η的分布列；(2)求ξ，η的均值与方差，并以此比较甲、乙的射击技术并从中选拔一人．题型3方差的实际应用解：(1)依据题意知，0.5＋3a＋a＋0.1＝1，解得a＝0.1.∵乙射中10，9，8环的概率分别为0.3，0.3，0.2，∴乙射中7环的概率为1－(0.3＋0.3＋0.2)＝0.2.∴ξ，η的分布列分别为ξ10987P0.50.30.10.1η10987P0.30.30.20.2(2)结合(1)中ξ，η的分布列，可得E(ξ)＝10×0.5＋9×0.3＋8×0.1＋7×0.1＝9.2，E(η)＝10×0.3＋9×0.3＋8×0.2＋7×0.2＝8.7，D(ξ)＝(10－9.2)2×0.5＋(9－9.2)2×0.3＋(8－9.2)2×0.1＋(7－9.2)2×0.1＝0.96，D(η)＝(10－8.7)2×0.3＋(9－8.7)2×0.3＋(8－8.7)2×0.2＋(7－8.7)2×0.2＝1.21.∵E(ξ)＞E(η)，说明甲平均射中的环数比乙高．又∵D(ξ)<D(η)，说明甲射中的环数比乙集中，比较稳定．∴甲的射击技术好，选择甲．1．解题时可采用比较分析法，通过比较两个随机变量的均值和方差得出结论．2．均值体现了随机变量取值的平均大小，在两种产品相比较时，只比较均值往往是不恰当的，还需比较它们与其均值的偏离程度，即通过比较方差，才能得出更准确的判断．3．甲、乙两个野生动物保护区有相同的自然环境，且野生动物的种类和数量也大致相等，而两个保护区内每个季度发生违反保护条例的事件次数的分布列分别为ξ0123P0.30.30.20.2η012ηP0.10.50.4P试评定两个保护区的管理水平．解：甲保护区的违规次数ξ的均值和方差分别为E(ξ)＝0×0.3＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.2＝1.3；D(ξ)＝(0－1.3)2×0.3＋(1－1.3)2×0.3＋(2－1.3)2×0.2＋(3－1.3)2×0.2＝1.21.乙保护区的违规次数η的均值和方差分别为E(η)＝0×0.1＋1×0.5＋2×0.4＝1.3；D(η)＝(0－1.3)2×0.1＋(1－1.3)2×0.5＋(2－1.3)2×0.4＝0.41.因为E(ξ)＝E(η)，D(ξ)＞D(η)，所以两个保护区内每个季度发生的违规事件的平均次数相同，但甲保护区的违规事件次数相对分散和波动，乙保护区内的违规事件次数更集中和稳定．故乙保护区的管理水平更高．分析：根据题目中给出的条件，利用方差与均值公式列出方程组求解．思想方法方程思想在方差中的应用点评：由于离散型随机变量的分布列、均值、方差之间存在着紧密的联系，所以在解决此类问题时要熟练掌握公式，利用题目中所给出的条件，合理地列出方程或方程组求解，同时也应注意合理选择公式，简化问题的解答过程．素养达成2．求离散型随机变量X的均值、方差的步骤：(1)理解X的意义，写出X的所有可能的取值；(2)求X取每一个值的概率；(3)写出随机变量X的分布列；(4)由均值、方差的定义求E(X)，D(X).1．(题型2)若离散型随机变量X的标准差为8，则2X－1的标准差为

(

)A．8 B．15C．16 D．32【答案】C【答案】ABC【答案】D5．(题型3)已知甲、乙两家工厂生产的灯泡的寿命X和Y(单位：时)的分布如下表所示：X90010001100P0.10.80.1Y95010001050P0.30.40.3试问哪家工厂生产的灯泡质量较好？解：由期望的定义，得E(X)＝900×0.1＋1000×0.8＋1100×0.1＝1000，E(Y)＝950×0.3＋1000×0.4＋1050×0.3＝1000.由方差的定义，得D(X)＝(900－1000)2×0.1＋(1000－1000)2×0.8＋(1100－1000)2×0.1＝2000，D(Y)