新教材同步系列2024春高中数学第六章平面向量及其应用6.2平面向量的运算6.2.3向量的数乘运算课件新人教A版必修第二册

第六章平面向量及其应用6.2平面向量的运算6.2.3向量的数乘运算学习目标素养要求1．掌握向量的数乘运算，理解向量数乘的几何意义，掌握向量数乘的运算律数学抽象、数学运算2．理解两向量共线的含义，会判断或证明两个向量共线逻辑推理3．了解向量线性运算性质及其几何意义数学抽象|自学导引|向量的数乘运算1．定义：规定实数λ与向量a的积是一个________，这种运算叫做向量的数乘，记作λa，它的长度和方向规定如下：(1)|λa|＝|λ||a|；(2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向________；当λ＜0时，λa的方向与a的方向________．特别地，当λ＝0或a＝0时，0a＝0或λ0＝0．向量相同相反2．运算律：设λ，μ为任意实数，则有：(1)λ(μa)＝(λμ)a；(2)(λ＋μ)a＝λa＋μa；(3)λ(a＋b)＝λa＋λb．特别地，有(－λ)a＝－λa＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb．3．线性运算：向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，向量的线性运算的结果仍是向量．对于任意向量a，b以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b．【预习自测】我们知道，x＋x＋x＝3x，那么a＋a＋a能否写成3a呢？【提示】能．共线向量定理向量a(a≠0)与b共线的充要条件：存在唯一一个实数λ，使b＝λa．【预习自测】判断下列命题是否正确．(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)若向量b与a共线，则存在唯一的实数λ，使b＝λa． (

)(2)若b＝λa，则a与b共线． (

)(3)若λa＝0，则a＝0． (

)【答案】(1)×

(2)√

(3)×【解析】(1)当b＝0，a＝0时，实数λ不唯一．(2)由共线向量定理可知其正确．(3)若λa＝0，则a＝0或λ＝0．定理中把“a≠0”去掉可以吗？【提示】定理中a≠0不能去掉．若a＝b＝0，则实数λ可以是任意实数；若a＝0，b≠0，则不存在实数λ，使得b＝λa．|课堂互动|向量线性运算的基本方法(1)类比方法：向量的数乘运算可类似于代数多项式的运算．例如，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是在这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数．(2)方程方法：向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用代数方程的方法求解，同时在运算过程中要多注意观察，恰当运用运算律，简化运算．2．设向量a，b不共线，向量λa＋b与a＋2b共线，则实数λ＝__________．用已知向量表示其他向量的两种方法(1)直接法：(2)方程法：当直接表示比较困难时，可以首先利用三角形法则或平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程．【答案】D错解：如图，连接BE并延长，交CD于点G，连接AG．正解：如图，取AB的中点P，连接EP，FP．在△ABC中，EP是中位线，|素养达成|1．(题型1)(多选)下列各式计算正确的有 (

)A．(－7)·6a＝－42a B．7(a＋b)－8b＝7a＋15bC．a－2b＋a＋2b＝2a D．4(2a＋b)＝8a＋4b【答案】ACD【解析】B错，7(a＋b)－8b＝7a＋7b－8b＝7a－b．A，C，D均正确．【答案】C3．(题型2)(2023年天水月考)设e1与e2是不共线的向量，若ke1＋4e2与e1＋ke2共线且方向相反，则k的值是_______．【答案】－24．(题型1)若3(x＋a)＋2(x－2a)－4(x－a＋b)＝0，则x＝__________．