圆的一般方程+同步练习 高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

课时精练25圆的一般方程一、基础巩固选择题每小题5分，共25分1.圆x2＋y2＋4x－6y－3＝0的圆心和半径长分别为()(4，－6)，16 (2，－3)，4(－2，3)，4 (2，－3)，162.方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则a的取值范围是()(－∞，－2) eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)，0))(－2，0) eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，\f(2,3)))3.已知点A(2，1)在圆C：x2＋y2－2x＋my＋2＝0的外部，则实数m的取值范围为()(－3，－2)∪(2，＋∞)(－2，2)∪(3，＋∞)(－2，＋∞)(－3，＋∞)4.若Rt△ABC的斜边的两端点A，B的坐标分别为(－3，0)和(7，0)，则直角顶点C的轨迹方程为()x2＋y2＝25(y≠0)x2＋y2＝25(x－2)2＋y2＝25(y≠0)(x－2)2＋y2＝255.(多选)圆x2＋y2－4x－1＝0()关于点(2，0)对称关于直线y＝0对称关于直线x＋3y－2＝0对称关于直线x－y＋2＝0对称6.过三点O(0，0)，M(1，1)，N(4，2)的圆的方程为________.7.到点O(0，0)的距离是到点A(3，0)的距离的eq\f(1,2)的点M的轨迹方程为________.8.点M，N在圆x2＋y2＋kx＋2y－4＝0上，且点M，N关于直线x－y＋1＝0对称，则该圆的面积为________.9.(10分)下列方程各表示什么图形？若表示圆，求出其圆心和半径.(1)x2＋y2－4x＝0.(2)x2＋y2－4x－2y＋5＝0.(3)2x2＋2y2－3x＋4y＋6＝0.10.(10分)已知线段AB的端点B的坐标为(8，6)，端点A在圆C：x2＋y2＋4x＝0上运动，求线段AB的中点P的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么？二、综合运用选择题每小题5分，共10分11.若圆C的方程为x2＋y2＋mx＋2my＋(m－2)＝0，则圆C的最小周长为()eq\f(36π,5) eq\f(18\r(5)π,5)eq\f(12\r(5)π,5) eq\f(6\r(5)π,5)12.圆C：x2＋y2－4x＋2y＝0关于直线y＝x＋1对称的圆的方程是()(x＋1)2＋(y－2)2＝5(x＋4)2＋(y－1)2＝5(x＋2)2＋(y－3)2＝5(x－2)2＋(y＋3)2＝513.(15分)已知A(1，2)，B(0，1)，C(7，－6)，D(4，3)，判断这四点是否在同一个圆上.三、创新拓展14.(15分)已知方程x2＋y2－2x－4y＋m＝0.(1)若此方程表示圆，求m的取值范围；(2)若(1)中的圆与直线x＋2y－4＝0相交于M，N两点，且OM⊥ON(O为坐标原点)，求m的值；(3)在(2)的条件下，求以MN为直径的圆的方程.参考答案1.C[由x2＋y2＋4x－6y－3＝0，得(x＋2)2＋(y－3)2＝16，故圆心为(－2，3)，半径长为4.]2.D[由方程表示圆的条件得a2＋(2a)2－4(2a2＋a－1)>0，即3a2＋4a－4<0，解得－2<a<eq\f(2,3).]3.A[将A(2，1)代入方程左侧，则应满足22＋12－2×2＋m×1＋2>0，解得m>－3.又因为(－2)2＋m2－4×2>0，解得m>2或m<－2，∴－3<m<－2或m>2.]4.C[设顶点为C(x，y)，eq\o(CA,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))＝0，即(－3－x，－y)·(7－x，－y)＝0，化简得(x－2)2＋y2＝25(y≠0).]5.ABC[x2＋y2－4x－1＝0⇒(x－2)2＋y2＝5，即圆心的坐标为(2，0).A项，圆是关于圆心对称的中心对称图形，而点(2，0)是圆心，故正确；B项，圆是关于直径所在直线对称的轴对称图形，直线y＝0过圆心，故正确；C项，圆是关于直径所在直线对称的轴对称图形，直线x＋3y－2＝0过圆心，故正确；D项，圆是关于直径所在直线对称的轴对称图形，直线x－y＋2＝0不过圆心，故不正确.]6.x2＋y2－8x＋6y＝0[设过三点O(0，0)，M(1，1)，N(4，2)的圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(F＝0，,1＋1＋D＋E＋F＝0，,16＋4＋4D＋2E＋F＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(D＝－8，,E＝6，,F＝0，))故所求圆的方程为x2＋y2－8x＋6y＝0.]7.(x＋1)2＋y2＝4[设点M的坐标是(x，y)，则eq\f(|MO|,|MA|)＝eq\f(1,2).∴eq\f(\r(x2＋y2),\r(（x－3）2＋y2))＝eq\f(1,2).化简，得x2＋y2＋2x－3＝0，即所求轨迹方程为(x＋1)2＋y2＝4.]8.9π[圆x2＋y2＋kx＋2y－4＝0的圆心坐标是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(k,2)，－1))，由圆的性质知直线x－y＋1＝0经过圆心，∴－eq\f(k,2)＋1＋1＝0，得k＝4，圆x2＋y2＋4x＋2y－4＝0的半径为eq\f(1,2)eq\r(42＋22＋16)＝3，∴该圆的面积为9π.]9.解(1)由方程可知D＝－4，E＝F＝0.∵D2＋E2－4F＝D2＝16>0，∴方程表示圆，即有－eq\f(D,2)＝2，－eq\f(E,2)＝0，∴圆心为(2，0)，圆的半径r＝eq\f(1,2)eq\r(D2＋E2－4F)＝2.(2)由方程可知D＝－4，E＝－2，F＝5.∵D2＋E2－4F＝16＋4－20＝0.∴方程表示一个点，又－eq\f(D,2)＝2，－eq\f(E,2)＝1，∴方程表示的点的坐标是(2，1).(3)原方程可化为x2＋y2－eq\f(3,2)x＋2y＋3＝0，易知D＝－eq\f(3,2)，E＝2，F＝3.∵D2＋E2－4F＝eq\f(9,4)＋4－12<0，∴该方程无实数解，方程不表示任何图形.10.解设点P的坐标为(x，y)，点A的坐标为(x0，y0)，由于点B的坐标为(8，6)，且P为线段AB的中点，∴x＝eq\f(x0＋8,2)，y＝eq\f(y0＋6,2)，于是有x0＝2x－8，y0＝2y－6.∵点A在圆C上运动，∴点A的坐标满足方程x2＋y2＋4x＝0，即xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)＋4x0＝0，∴(2x－8)2＋(2y－6)2＋4(2x－8)＝0，化简整理，得x2＋y2－6x－6y＋17＝0，即(x－3)2＋(y－3)2＝1.故点P的轨迹是以(3，3)为圆心，1为半径的圆.11.D[由题意知，圆C的半径r＝eq\f(\r(m2＋（2m）2－4（m－2）),2)＝eq\f(\r(5\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m－\f(2,5)))\s\up12(2)＋\f(36,5)),2)≥eq\f(1,2)×eq\f(6\r(5),5)＝eq\f(3\r(5),5)，当且仅当m＝eq\f(2,5)时等号成立，则圆C的最小周长为2πrmin＝eq\f(6\r(5)π,5).]12.C[把圆C的方程化为标准方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝5，∴圆心C(2，－1).设圆心C关于直线y＝x＋1的对称点为C′(x0，y0)，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(y0－（－1）,x0－2)＝－1，,\f(y0－1,2)＝\f(x0＋2,2)＋1，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x0＝－2，,y0＝3，))故C′(－2，3)，∴圆C关于直线y＝x＋1对称的圆的方程为(x＋2)2＋(y－3)2＝5.]13.解法一线段AB，BC的斜率分别是kAB＝1，kBC＝－1，得kAB≠kBC，则A，B，C三点不共线，设过A，B，C三点的圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.因为A，B，C三点在圆上，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(D＋2E＋F＋5＝0，,E＋F＋1＝0，,7D－6E＋F＋85＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(D＝－8，,E＝4，,F＝－5，))所以过A，B，C三点的圆的方程为x2＋y2－8x＋4y－5＝0，将点D的坐标(4，3)代入圆的方程，得42＋32－8×4＋4×3－5＝0，即点D在圆上，故A，B，C，D四点在同一个圆上.法二因为kAB×kBC＝eq\f(2－1,1－0)×eq\f(1＋6,0－7)＝－1，所以AB⊥BC，所以AC是过A，B，C三点的圆的直径，|AC|＝eq\r(（1－7）2＋（2＋6）2)＝10，线段AC的中点M(4，－2)即为圆心.因为|DM|＝eq\r(（4－4）2＋（3＋2）2)＝5＝eq\f(1,2)|AC|.所以点D在圆M上，所以A，B，C，D四点在同一个圆上.14.解(1)已知x2＋y2－2x－4y＋m＝0，则D＝－2，E＝－4，F＝m.若此方程表示圆，则D2＋E2－4F＝20－4m>0，所以m<5.即m的取值范围为(－∞，5).(2)将x＝4－2y代入x2＋y2－2x－4y＋m＝0，得5y2－16y＋8＋m＝0，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，所以y1＋y2＝eq\f(16,5)，y1y2＝eq\f(8＋m,5).因为OM⊥ON，所以x1x2＋y1y2＝0，所以5y1y2－8(y1＋y2)＋16＝0，所以m＝eq\f(8,5).(3)设圆心为(a，