湖北省问津教育联合体2024-2025学年高二上学期10月联考数学试卷

2024-2025学年湖北省“问津教育联合体”高二10月联考数学试卷❖一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若直线l:x+my+1=0的倾斜角为5πA.3 B.-3 C.2.已知直线l1:x-y+1=0，l2:2x-A.3x-4y-1=0 B.33.已知n1=(-1,9,1)，n2=(m,-3,2)，n3A.3 B.1 C.5 D.74.已知事件A、B，如果A与B互斥，那么P(AB)=p1;如果A与B相互独立，且P(A)=0.6，P(A.p1=0，p2=0.9 B.p1=0.42，p2=0.9

C.5.如图，平面ABCD⊥平面ABEF，四边形ABEF为正方形，四边形ABCD为菱形，∠DAB=60∘，则直线AC，FB所成角的余弦值为A.64 B.53 C.6.在一个袋子中装有分别标注1，2，3，4，5，6的6个小球，这些小球除标注的数字外完全相同，现从中随机取出2个小球，则取出标注的数字之差的绝对值为2或4的小球的概率是(

)A.110 B.310 C.257.如图所示，一个组合体的上面部分是一个高为0.5m长方体，下面部分是一个正四棱锥，公共面是边长为1m的正方形，已知该组合体的体积为23m3，则其表面积为(

)A.(2+2)m2 B.(3+8.已知点P(a,b)与点①2②当a≠0时，ba③存在正实数m，使得a2④当a>0且a≠1，b>0时，其中正确的命题是(

)A.①② B.②③ C.②④ D.③④二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9.下图为2024年中国大学生使用APP偏好及目的统计图，根据统计图，下列关于2024年中国大学生使用APP的结论正确的是(

)

A.超过14的大学生更爱使用购物类APP

B.超过半数的大学生使用APP是为了学习与生活需要

C.使用APP偏好情况中7个占比数字的极差是23%

D.APP使用目的中6个占比数字的40%分位数是10.设k∈R，过定点A的动直线l1:x+ky=0与过定点BA.|PA|2+|PB|2=16 B.三角形PAB面积的最大值为11.在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P，E，F分别为棱AA1，A.直线AC//平面PEF B.三棱锥O-PEF的体积为23

C.直线PF与平面POE所成角的正切值为55三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知直线l的倾斜角为α，sinα=35，且这条直线l经过点P(5,3)，则直线l13.甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束).根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”设甲队主场取胜的概率为0.8，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4:1获胜的概率为__________.14.正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E是AA1的中点，点F为正方形AA1B1B内一动点，且四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)已知三角形ABC的顶点C(4,3)，边AC上的高BH所在直线方程为x-2y-5=0(1)求边AC所在直线的方程;(2)求点B的坐标.16.(本小题12分)

如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，AB⊥AD，PA=PD(1)求证：PD⊥平面(2)在棱PA上是否存在点M，使得BM//平面PCD?若存在，求出AMAP的值;17.(本小题12分)甲、乙、丙三位重剑爱好者决定进行一场比赛，每局两人对战，没有平局，已知每局比赛甲赢乙的概率为13，甲赢丙的概率为14，丙赢乙的概率为15.因为甲是最弱的，所以让他决定第一局的两个比赛者((1)若甲指定第一局由乙丙对战，求“只进行三局甲就成为冠军”的概率;(2)请帮助甲进行第一局的决策(甲乙、甲丙或乙丙比赛)，使得甲最终获得冠军的概率最大.18.(本小题12分)

已知三棱锥P-ABC(如图一)的平面展开图(如图二)中，四边形ABCD为正方形，△ABE和△BCF均为正三角形，在三棱锥(1)证明：平面PAC⊥平面(2)若点M在棱PC上运动，当直线BM与平面PAC所成的角最大时，求面PBA和面MBA夹角的余弦值.19.(本小题12分)已知A(4,8),B(1)证明直线l经过某一定点，并求此定点坐标;(2)若直线l等分三角形ABC的面积，求直线l的一般式方程;(3)若P(1,2)，李老师站在点P用激光笔照出一束光线，依次由BC(反射点为K)、AC(反射点为I)反射后，光斑落在P点，求入射光线答案和解析1.【答案】A

【解析】【分析】

本题主要考查直线的一般方程以及直线倾斜角，考查学生对数学基础知识的掌握，属于基础题.

将直线方程化成斜截式方程，求得斜率，再借助于直线的斜率定义即可求得m值.【解答】

解：由题知，-1m故选：A2.【答案】C

【解析】【分析】本题主要考查直线的一般式方程与直线的垂直关系，属于基础题．根据已知条件，先求出两直线的交点，再结合直线垂直的性质，即可求解．

【解答】解：∵直线l1:x-y+1=0，l2:2x-y-1=0，

∴x-y+1=02x-y-1=0，解得x=2，3.【答案】B

【解析】【分析】本题主要考查了空间向量的基底的概念，属于基础题.

由题意得出存在实数λ,μ，使得：n2=【解答】

解：{n1,n2,n3}不能构成空间的一个基底，则存在实数λ,μ，使得：n2=λ4.【答案】C

【解析】【分析】本题考查了互斥事件，独立事件的概率公式，属于中档题.

根据互斥事件的定义可求p1，根据相互独立事件的概率公式求p2【解答】

解：如果事件A与B互斥，则P(AB)=0，所以p1=0.

如果事件A与B相互独立，则事件A与B也相互独立，

且P(B)=1-P(B5.【答案】A

【解析】【分析】本题考查面面垂直的性质，利用向量法求直线与直线所成角，考查学生的分析和运算能力，属于中档题.

首先建立空间直角坐标系，再利用向量的夹角即可求解.【解答】解：取AB的中点O，连接OD，因为四边形ABCD为∠DAB=60因为平面ABCD⊥平面ABEF，且两平面交线为AB，DO⊥AB，DO所以DO⊥平面ABEF，

又四边形ABEF为正方形，故建立如图所示的空间直角坐标系，

不妨设正方形的边长为2，则A0,-1,0故AC=(0,3,则cos ⟨AC,BF⟩=AC⋅BF|AC|⋅|BF|=-623×226.【答案】C

【解析】【分析】本题考查古典概型，属于基础题．这是一个古典概型，只要做出事件总数和满足条件的事件数就可以得到结果，从6个球中任取两个有15种情况，数字之差的绝对值为2或4的有6种情况，根据概率公式得到结果．

【解答】解：从6个小球中任取2个小球有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，共15种情况，

数字之差的绝对值为2或4的有(1,3)，(1,5)，(2,4)，(2,6)，(3,5)，(4,6)，共6种情况，

∴所求概率P=615=7.【答案】B

【解析】【分析】

本题考查简单组合体(柱、锥、台)的表面积与体积，属于中档题.

根据组合体的体积求出正四棱锥的高，再求出正四棱锥的斜高，利用组合体表面积的求解方法，即可求出结果.

【解答】

解：设长方体高为h1，四棱锥高为h2，

由题意可知h1=0.5m，底面边长a=1m，

因为该组合体的体积为23m3，

所以12×0.5+18.【答案】D

【解析】【分析】

本题主要考查直线的斜率，点到直线的位置关系，属较难题．

由已知点P(a,b)与点Q(1,0)在直线2x-3y+1=0的两侧可得2a-3b+1<0，结合不等式的性质可得当a>0时，ba>23+13a，从而对①②作出判断；对于③，根据a2+b2

的取值即可得出；对于④，ba-1表示点(a,b)与点(1,0)连线的斜率，计算可得到结果.

【解答】

解：由已知(2a-3b+1)(2-0+1)<0，即2a-3b+1<0，∴①错；

当a>0时，由3b>2a+1，可的

ba>23+139.【答案】AC

【解析】解：对于A，根据图表知，大学生使用购物类APP占比为25.7%，故A正确；

对于B，根据图表知，大学生使用APP是为了学习与生活需要的占比为34.3%+14.0%=48.3%，故B错误；

对于C，根据图表知，使用APP偏好情况中7个占比数字的极差是25.7%-2.7%=23%，故C正确；

对于D，根据图表知，APP使用目的中6个占比数字从小到大分别为0.6%，8.4%，14.0%，16.3%，26.4%，34.3%，

又6×40%=2.4，

∴40%分位数是14.0%，故D错误．

故选：AC.

选项A和B，根据图表中数据，即可判断出正误；选项C，根据图表中数据，利用极差的定义，即可求解；选项D，将占比数字从小到大排列，再利用百分位数的求法，即可求解．

10.【答案】BCD

【解析】【分析】

本题考查直线过定点问题、由基本不等式求最值或取值范围、点到圆上点的最值问题，属于中档题.

根据已知条件可得出两直线过定点，且两直线垂直，进而得出P在以AB为直径的圆上，根据圆的性质可判断A错误，得出|PA|2+|PB|2=|AB|2=10后利用基本不等式可判断B、C，利用点到圆上点的最值问题即可判定D.

【解答】

解：因为过定点A的动直线l1:x+ky=0与过定点B的动直线l2:kx-y+3-k=0交于点P，

所以l1过定点A(0,0)，l2过定点B(1,3)，且直线l1与l2垂直，

所以动点P在以AB为直径的圆上，

A中：由A(0,0)，B(1,3)知：|PA|2+|PB|2=|AB|2=10，故A错误；

B中：S11.【答案】ACD

【解析】【分析】

本题考查线面平行的向量表示、直线与直线所成角的向量求法、棱锥的体积、球的表面积、球的切、接问题，属于中档题.

建立空间直角坐标系，写出各点的坐标，得出各直线的方向向量和平面的法向量，求出相应三棱锥的体积和外接球的表面积，即可得出结论.

【解答】

解：由题意，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为2，P，E，F分别为棱AA1，CC1，BC的中点，

O为侧面AA1B1B的中心，建立空间直角坐标系如图所示，

则A(2,0,2)，B(2,2,2)，C(0,2,2)，D(0,0,2)，A1(2,0,0)，

B1(2,2,0)，C1(0,2,0)，D1(0,0,0)，O(2,1,1)，P(2,0,1)，E(0,2,1)，F(1,2,2)，

A选项，AC=(-2,2,0)，EP=(2,-2,0)，EF=(1,0,1)，

设平面PEF的一个法向量为n=(x,y,z)，

则n⋅EP=2x-2y=0n⋅EF=x+z=0，令x=1，则y=1，z=-1，

所以平面PEF的一个法向量为n=(1,1,-1)，

则n⋅AC=-2+2+0=0，

因为直线AC⊄面PEF，所以直线AC//面PEF，故A正确;

B选项，如图：

VO-PEF=VF-POE=13S△POE⋅h=13×1×22×1=13，故B不正确;

C选项，如图：

12.【答案】3x-4【解析】本题考查同角三角函数的基本关系、直线的点斜式方程和一般式方程，属于基础题.

求出tanα，利用点斜式，即可求出结果.【解答】

解：∵直线l的倾斜角为α，sinα=35，

∴cosα=±1-sin2α=±45，

∴tanα=sinαcosα=±13.【答案】0.32

【解析】【分析】

本题考查相互独立事件同时发生的概率，属于基础题.

“甲队以4:1获胜”，则甲队共比赛五场，且第五场甲队获胜，前四场甲队胜三场负一场，利用独立事件同时发生的概率公式计算即可.

【解答】

解：记事件M为“甲队以4:1获胜”，则甲队共比赛五场，且第五场甲队获胜，前四场甲队胜三场负一场，

所以PM=0.8×0.14.【答案】2【解析】【分析】

本题考查空间向量的应用，利用它解决线面的平行和求异面直线所成的角，属于较难题.

建立空间建立空间直角坐标系，设A(2,0,0)，F(2,m,n)，求出平面DEC1的一个法向量为n=(1,2,-2)，找到m-n-1=0，再求出cosθ=22m2-6m+9，分析当m=1或2时，cosθ最小即可解答.

【解答】

解：分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，

设A(2,0,0)，F(2,m,n)，0≤m≤2,0≤n≤2，

则D(0,0,0)，E(2,0,1)，C(0,2,0)，C1(0,2,2)，故CF=(2,m-2,n)，

DE=(2,0,2)，DC1=(0,2,2)，DA=(2,0,0)15.【答案】解：(1)因为边AC上的高BH所在直线方程为x-2y-5=0，

所以边AC所在直线的斜率为-2，直线经过点C(4,3)，

所以边AC所在直线的方程为y-3=-2(x-4)，

即AC所在直线的方程为2x+y-11=0；

(2)设点B的坐标为(x0,y0)，

因为边AC上的高BH所在直线方程为x-2y-5=0，

又因为点(1,-2)是边AB的中点，

所以点【解析】本题考查了直线的一般式方程与点斜式方程，以及两条直线的交点坐标，两条直线垂直的判定及应用，属于中档题．

(1)根据已知可得边AC所在直线的斜率，利用点斜式即可求得边AC所在直线的方程；

(2)设点B的坐标为(x0,y0)，由点(1,-2)是边AB的中点，可得点A的坐标，点B在直线BH上，点A在直线16.【答案】(1)证明：∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，

且AB⊥AD，AB⊂平面ABCD，

∴AB⊥平面PAD，

∵PD⊂平面PAD，

∴AB⊥PD，

又PD⊥PA，且PA∩AB=A，PA,AB⊂平面PAB

∴PD⊥平面PAB；

(2)解：取AD中点为O，连接CO，PO则P(0,0,1)，B(1,1,0)，D(0,-1,0)，C(2,0,0)，

则PB=(1,1,-1),PD=(0,-1,-1)，PC=(2,0,-1),CD=(-2,-1,0)，得-y0-z则n=(1,-2,2)假设存在M点使得BM//平面PCD设AMAP=λ0≤λ则AP=(0,-1,1)，AM=(0,y1可得M(0,1-λ,λ)，

∴BM=(-1,-λ,λ)，

即-1+2解得λ=14，

综上，存在点M，即当AMAP

【解析】本题考查线面垂直的判定，面面垂直的性质，考查利用空间向量解决线面平行的问题，属较难题．

(1)由已知结合面面垂直的性质可得AB⊥平面PAD，进一步得到AB⊥PD，再由PD⊥PA，由线面垂直的判定得到PD⊥平面PAB；

(2)取AD中点为O，连接CO，PO，由已知可得CO⊥AD，PO⊥AD.以O为坐标原点，建立空间直角坐标系，求出平面PCD的一个法向量17.【答案】解：(1)若甲指定第一局由乙丙对战，“只进行三局甲就成为冠军”共有两种情况：①乙丙比乙胜，甲乙比甲胜，甲丙比甲胜，其概率为

45×②乙丙比丙胜，甲丙比甲胜，甲乙比甲胜，其概率为

15所以“只进行三局甲就成为冠军”的概率为

460+160所以甲能获得冠军的概率为

13×若第一局为甲丙比，则同上可得甲获得冠军的概率为

14×若第一局为乙丙比，那么甲获得冠军只能是连赢两局，则甲获得冠军的概率即第(1)问的结果

112，

因为

29180>

【解析】【分析】

本题主要考查了相互独立事件同时发生得概率，互斥事件的概率加法公式，考查学生的分析与运算能力，属于中档题.(1)若甲指定第一局由乙丙对战，“只进行三局甲就成为冠军”共有两种情况：①乙丙比乙胜，甲乙比甲胜，甲丙比甲胜，②乙丙比丙胜，甲丙比甲胜，甲乙比甲胜，分别求出概率，再相加即可；(2)分别求出甲能获得冠军的概率，若第一局为甲丙比，则同上可得甲获得冠军的概率，若第一局为乙丙比，那么甲获得冠军只能是连赢两局，则甲获得冠军的概率即第(1)问的结果112.18.【答案】(1)证明：取AC的中点O，连接OB，OP，

由图二可知，OB⊥AC，OP=OB=22a，PB=BE=a，

∴OP2+OB2=PB2，即OP⊥OB，

又AC∩OP=O，AC、OP⊂平面PAC，

∴OB⊥平面PAC，

∵OB⊂平面ABC，

∴平面PAC⊥平面ABC.

(2)解：由(1)知，OB⊥平面PAC