河南省许平汝名校2024-2025学年高三上学期10月期中考试数学试题

高三数学考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。4.本卷命题范围：集合与常用逻辑用语，不等式，函数，导数，三角函数，三角恒等变换，解三角形，平面向量。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则的真子集个数为（）A.2 B.3 C.4 D.52.已知，，向量，满足，则“，不共线”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3.已知，，，则（）A. B. C. D.4.若曲线与轴，直线的交点分别为A，B，O为坐标原点，则向量与夹角的余弦值为（）A. B. C. D.5.已知，是以AB为直径的圆上一点，，为BC的中点，则（）A. B. C. D.6.已知角的始边为轴的非负半轴，终边过点，则（）A. B. C. D.7.已知函数（为常数），若在上的最大值为，最小值为，且，则（）A.6 B.4 C.3 D.28.在中，角A，B为锐角，的面积为4，且，则周长的最小值为（）A. B.C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知函数，则（）A.为偶函数 B.的最小正周期为C.在区间上单调递诚 D.在上有4个零点10.若实数x，y满足，则（）A. B.C. D.11.已知函数，则（）A.的图象关于点对称 B.为奇函数C.是的极小值点 D.在上有极值三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知，则曲线在点处的切线方程为______.13.若定义在上的函数满足：，且，则______.14.如图的“心形”曲线恰好是半圆，半圆，曲线，组合而成的，则曲线所围成的“心形”区域的面积等于______.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）（1）已知是第三象限角，且是方程的一个实根，求的值；（2）已知，且，求的值.16.（本小题满分15分）已知函数，且图象的一个对称中心到与其相邻的对称轴的距离为.（1）求的值及的单调递增区间；（2）将图象上的所有点的横坐标向右平移个单位长度（纵坐标不变），再向上平移个单位长度，再将纵坐标伸长为原来的2倍，得到函数的图象，若函数在上存在零点，求的取值范围.17.（本小题满分15分）在中，角A，B，C的对边分别为，，，.（1）求；（2）已知，为的平分线，交AC于点，且，为线段AC上一点，且，求的周长.18.（本小题满分17分）如图，我们把由平面内夹角成的两条数轴Ox，Oy构成的坐标系，称为“完美坐标系”.设，分别为Ox，Oy正方向上的单位向量，若向量，则把实数对叫做向量的“完美坐标”.（1）若向量的“完美坐标”为，求；（2）已知，分别为向量，的“完美坐标”，证明：；（3）若向量，的“完美坐标”分别为，，设函数，，求的值域.19.（本小题满分17分）已知函数.（1）证明：当时，只有1个零点；（2）当时，讨论的单调性；（3）若，设，证明：，.高三数学参考答案、提示及评分细则1.B由和，得，所以的真子集个数为.故选B.2.A若，不共线，由及平面向量基本定理，得；若，无论，共线与否，都有.综上，“，不共线”是“”的充分不必要条件.故选A.3.D因为，，，所以.故选D.4.C由，得，由，得，解得，则；由，得，解得，则.，，所以.故选C.5.B取AB的中点，因为为BC的中点，所以，所以.故选B.6.D由三角函数的定义，得，，所以，，.故选D.7.D令，则，且原函数变为，令，易知，所以为上的奇函数，则，，所以，由奇函数性质可知，所以，所以.故选D.8.A由，可得，即，因为，，所以当时，，，则，不符合题意；当时，，，，不符合题意，所以，从而，由，得，所以的周长，当且仅当时取等号.故选A.9.AB.显然为偶函数，故A正确；对于B，最小正周期，故B正确；对于C，当时，，因为在上单调递减，所以在上单调递增，故C错误；对于D，由，得，所以在上的零点有，，，共3个，故D错误.故选AB.10.AC设，则，代人，整理得，由，解得，即，则A正确；，即，则C正确；取，满足，此时，，则B和D错误.综上，故选AC.11.ABC，所以的图象关于点对称，故A正确；为奇函数，故B正确；，则，当时，，，；当时，，，，所以是的极小值点，故C正确；由，得，又在上单调递减，所以在上单调递减，故在上无极值，故D错误.故选ABC.12.由题意得，所以切线斜率，又，所以曲线在点处的切线方程为，即.13.3因为，所以，所以，4为的一个周期，则，又，取，得，所以，故.14.如图，设，，连接AB交曲线于点.根据曲线的性质，则A，B关于对称，曲线关于点对称，所以可将曲线与轴、轴围成的区域割补为直角的区域，于是曲线与轴、轴围成的区域的面积就是直角的面积，即；根据对称性，可得曲线与x，y轴围成的区域的面积也为，又半圆，半圆的面积都为，故曲线所围成的“心形”区域的面积为.15.解：（1）由，得，或.因为是方程的一个实根，且是第三象限角，所以，所以.（2）因为，所以，则，因为，所以，，故，.16.解：（1），因为的图象的一个对称中心到与其相邻的对称轴的距离为，所以，所以.所以，由，得，所以的单调递增区间为.（2）由题意可知，所以，由题意，关于的方程在上有解，因为，所以，所以的值域为，令，，则的值域为，所以，解得，所以的取值范围为.17.解：（1），，，，，，，又，.（2）因为BD为的平分线，，所以，又，，所以，即，①由余弦定理，得，即，②由①②可得（舍去负值），，所以a，c是关于的方程的两个实根，解得.又因为BD为的平分线，所以，又，，所以，，所以的周长为.18.（1）解：因为的“完美坐标”为，则，又因为，分别为Ox，Oy正方向上的单位向量，且夹角为，所以，所以.（2）证明：由（1）知，所以，即.（3）解：因为向量，的“完美坐标”分别为，，由（2）得.令，则，因为，所以，即，令，因为的图象是对称轴为，开口向上的抛物线的一部分，所以当时，取得最小值，当时，取得最大值，所以的值域为.19.（1）证明：时，，定义域为，，因为，所以，又，所以在上恒成立，所以在上单调递减，又，所以只有1个零点.（2）解：的定义域为，，令，则，由于，当，