06材料力学剪切与扭转

第6章剪切与扭转扭转1扭转目录6.1外力偶矩的计算·扭矩及扭矩图6.2薄壁圆筒的扭转6.3圆轴扭转时的应力和强度计算6.4圆轴扭转时的变形和刚度计算6.5圆轴的扭转应变能6.6圆轴扭转超静定问题6.7非圆截面杆扭转的概念2一、连接件的受力特点和变形特点：1、连接件在构件连接处起连接作用的部件，称为连接件。例如：螺栓、铆钉、键等。连接件虽小，却起着传递载荷的作用。特点：可传递一般力，可拆卸。PP螺栓剪切§5.9连接件的实用强度计算3PP铆钉特点：可传递一般力，不可拆卸。如桥梁桁架结点处用它连接。无间隙m轴键齿轮特点：传递扭矩。m剪切42、受力特点和变形特点：剪切nn（合力）（合力）PP以铆钉为例：①受力特点：构件受两组大小相等、方向相反、作用线相距很近（差一个几何平面）的平行力系作用。②变形特点：构件沿两组平行力系的交界面发生相对错动。5剪切nn（合力）（合力）PP③剪切面：构件将发生相互的错动面，如n–n

。④剪切面上的内力：

内力—剪力Q

，其作用线与剪切面平行。PnnQ剪切面6剪切nn（合力）（合力）PP3、连接处破坏的三种形式：

①剪切破坏沿铆钉的剪切面剪断，如沿n–n面剪断

。

②挤压破坏铆钉与钢板在相互接触面上因挤压而使溃压连接松动，发生破坏。

③拉伸破坏PnnQ剪切面钢板在受铆钉孔削弱的截面处，应力增大，易在连接处拉断。7剪切二、剪切的实用计算

1、实用计算方法：根据构件的破坏可能性，采用能反映受力基本特征，并简化计算的假设，计算其名义应力，然后根据直接试验的结果，确定其相应的许用应力，以进行强度计算。

2、

适用：构件体积不大，真实应力相当复杂情况，如连接件等。

3、实用计算假设：假设剪应力在整个剪切面上均匀分布，等于剪切面上的平均应力。8剪切1)、剪切面--AQ：错动面。

剪力--Q：剪切面上的内力。2)、名义剪应力--

：3)、剪切强度条件（准则）：nn（合力）（合力）PPPnnQ剪切面工作应力不得超过材料的许用应力。9三、挤压的实用计算1)、挤压力―Pjy

：接触面上的合力。剪切1、挤压：构件局部面积的承压现象。2、挤压力：在接触面上的压力，记Pjy

。假设：挤压应力在有效挤压面上均匀分布。102)、挤压面积：接触面在垂直Pjy方向上的投影面的面积。3)、挤压强度条件（准则）：

工作挤压应力不得超过材料的许用挤压应力。剪切挤压面积11四、应用剪切12剪切

[例19]图(a)为拖拉机挂钩，已知牵引力F＝15kN，挂钩的厚度为mm，被连接的板件厚度为mm，插销的材料为20钢，材料的许用切应力为，直径d＝20mm。试校核插销的剪切强度。13剪切解插销受力如图(b)所示。根据受力情况，插销中段相对于上、下两段，沿m-m、n-n两个面向右错动。所以有两个剪切面，成为双剪切。由平衡方程可求得剪力插销横截面上的切应力为故插销的剪切强度足够。

14

[例20]

木榫接头如图所示，a=b

=12cm，h=35cm，c=4.5cm,P=40KN，试求接头的剪应力和挤压应力。解：

受力分析如图∶

剪应力和挤压应力剪切面和剪力为∶挤压面和挤压力为：剪切PPPPPPbachh15解：

键的受力分析如图

[例21]

齿轮与轴由平键（b×h×L=20×12×100）连接，它传递的扭矩m=2KNm，轴的直径d=70mm，键的许用剪应力为[

]=60MPa，许用挤压应力为[

jy]=100MPa，试校核键的强度。

剪切mbhLmdP16综上，键满足强度要求。

剪应力和挤压应力的强度校核剪切bhLdmQ17解：

键的受力分析如图

[例22]

齿轮与轴由平键（b=16mm，h=10mm）连接，它传递的扭矩m=1600Nm，轴的直径d=50mm，键的许用剪应力为[

]=80MPa，许用挤压应力为[

jy]=240MPa，试设计键的长度。

剪切bhLmdPmm18剪切bhL

剪应力和挤压应力的强度条件

综上dmQ19解：

受力分析如图

[例23]

一铆接头如图所示，受力P=110kN，已知钢板厚度为t=1cm，宽度

b=8.5cm，许用应力为[

]=160MPa；铆钉的直径d=1.6cm，许用剪应力为[

]=140MPa，许用挤压应力为[

jy]=320MPa，试校核铆接头的强度。（假定每个铆钉受力相等）

剪切bPPttdPPP112233P/420

钢板的2--2和3--3面为危险面

剪应力和挤压应力的强度条件综上，接头安全。剪切ttdPPP112233P/421剪切

[例24]已知钢板的厚度为mm，其剪切极限为

MPa。用冲床将钢板冲出直径为d=20mm的孔，问需要多大的冲剪力F？解剪切面是钢板内被冲头冲出的圆饼体的圆柱形侧面，如图b)所示。其面积为

m2冲孔所需的冲剪力应为F≥kN22

[例25]

已知螺栓材料的许用剪应力[τ]与许用拉应力[σ]之间的关系为[τ]=0.6[σ]，试求螺栓直径d与螺栓头高度h的合理比值。

剪切解：23本章结束24扭转轴：工程中以扭转为主要变形的构件。如：机器中的传动轴、石油钻机中的钻杆等。扭转：外力的合力为一力偶，且力偶的作用面与直杆的轴线垂直，杆发生的变形为扭转变形。扭转角（

）：任意两截面绕轴线转动而发生的角位移。剪应变（

）：直角的改变量。ABOmm

OBA

§6.1外力偶矩的计算·扭矩和扭矩图25扭转一、传动轴的外力偶矩

传递轴的传递功率、转数与外力偶矩的关系：其中：P—功率，千瓦（kW）

n—转速，转/分（rpm）其中：P—功率，马力（PS）

n—转速，转/分（rpm）1PS=735.5N·m/s，1kW=1.36PS263扭矩的符号规定：

“T”的转向与截面外法线方向满足右手螺旋规则为正，反之为负。扭转二、扭矩及扭矩图

1扭矩：

构件受扭时，横截面上的内力偶矩，记作“T”。

2截面法求扭矩mmmTx27扭转4扭矩图：

表示沿杆件轴线各横截面上扭矩变化规律的图线。

目的①扭矩变化规律；②|T|max值及其截面位置强度计算（危险截面）。xT

m28扭转

[例1]已知一传动轴，n=300r/min，主动轮输入P1=500kW，从动轮输出P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW，试绘制扭矩图。nABCDm2

m3

m1

m4解：①计算外力偶矩29扭转nABCDm2

m3

m1

m4112233②求扭矩（扭矩按正方向设）x30扭转③绘制扭矩图BC段为危险截面。xTnABCDm2

m3

m1

m44.789.566.37

–31扭转§6.2薄壁圆筒的剪切

薄壁圆筒：壁厚（r0：为平均半径）一、实验：1.实验前：①绘纵向线，圆周线；②施加一对外力偶m。32扭转2.实验后：①圆周线不变；②纵向线变成斜直线。3.结论：

①圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未改变，只是绕轴线作了相对转动。②各纵向线均倾斜了同一微小角度

。

③所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形。33扭转

acddxbdy´´

①无正应力②横截面上各点处，只产生垂直于半径的均匀分布的剪应力

，沿周向大小不变，方向与该截面的扭矩方向一致。4.

与的关系：

微小矩形单元体如图所示：34扭转二、薄壁圆筒剪应力

大小：

A0：平均半径所作圆的面积。35扭转三、剪应力互等定理：

上式称为剪应力互等定理。该定理表明：在单元体相互垂直的两个平面上，剪应力必然成对出现，且数值相等，两者都垂直于两平面的交线，其方向则共同指向或共同背离该交线。acddxb

dy´´tz

36扭转四、剪切胡克定律：

单元体的四个侧面上只有剪应力而无正应力作用，这种应力状态称为纯剪切应力状态。l37扭转

T=m

剪切胡克定律：当剪应力不超过材料的剪切比例极限时（τ≤τp)，剪应力与剪应变成正比关系。38扭转式中：G是材料的一个弹性常数，称为剪切弹性模量，因

无量纲，故G的量纲与

相同，不同材料的G值可通过实验确定，钢材的G值约为80GPa。弹性模量、剪切弹性模量和泊松比是表明材料弹性性质的三个常数。对各向同性材料，这三个弹性常数之间存在下列关系（推导详见后面章节）：可见，在三个弹性常数中，只要知道任意两个，第三个量就可以推算出来。39扭转§6.3圆轴扭转时的应力和强度计算等直圆杆横截面应力①变形几何方面②物理关系方面③静力学方面

1.横截面变形后仍为平面；

2.轴向无伸缩；

3.纵向线变形后仍为平行。一、等直圆杆扭转实验观察：40扭转41扭转二、等直圆杆扭转时横截面上的应力：1.变形几何关系：距圆心为

任一点处的

与该点到圆心的距离

成正比。——扭转角沿长度方向变化率。42扭转Ttmaxtmax2.物理关系：虎克定律：代入上式得：43扭转3.静力学关系：令代入物理关系式得：TOτp

dA44扭转横截面上距圆心为

处任一点剪应力计算公式。4.公式讨论：①仅适用于各向同性、线弹性材料，在小变形时的等圆截面直杆。②式中：T—横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩求得。

—该点到圆心的距离。

Ip—截面极惯性矩，纯几何量，无物理意义。45扭转单位：mm4，m4。③尽管由实心圆截面杆推出，但同样适用于空心圆截面杆，只是IP值不同。a.对于实心圆截面：D

d

O46扭转b.对于空心圆截面：dDO

d

47扭转④应力分布TtmaxtmaxtmaxtmaxT（实心截面）（空心截面）工程上采用空心截面构件：提高强度，节约材料，重量轻，结构轻便，应用广泛。48扭转⑤确定最大剪应力：由知：当WP—抗扭截面系数（抗扭截面模量），几何量，单位：mm3或m3。对于实心圆截面：对于空心圆截面：49扭转三、等直圆杆扭转时斜截面上的应力低碳钢试件：沿横截面断开。铸铁试件：沿与轴线约成45

的螺旋线断开。因此还需要研究斜截面上的应力。50扭转1.点M的应力单元体如图(b)：(a)M(b)tt´tt´(c)2.斜截面上的应力；取分离体如图(d)：(d)

t´t

tasax51扭转(d)

t´t

tasaxnt转角

规定：x轴正向转至截面外法线逆时针：为“+”顺时针：为“–”由平衡方程：解得：52扭转分析：当

=0°时，当

=45°时，当

=–45°时，当

=90°时，tt´smaxsmin45°由此可见：圆轴扭转时，在横截面和纵截面上的剪应力为最大值；在方向角

=

45

的斜截面上作用有最大压应力和最大拉应力。根据这一结论，就可解释前述的破坏现象。53扭转四、圆轴扭转时的强度计算强度条件：对于等截面圆轴：([

]

称为许用剪应力。)强度计算三方面：①校核强度：②设计截面尺寸：③计算许可载荷：54扭转

[例2]

功率为150kW，转速为15.4转/秒的电动机转子轴如图，许用剪应力[

]=30MPa,试校核其强度。Tm解：①求扭矩及扭矩图②计算并校核剪应力强度③此轴满足强度要求。D3

=135D2=75D1=70ABCmmx55扭转§6.4圆轴扭转时的变形和刚度计算一、扭转时的变形由公式知：长为

l一段杆两截面间相对扭转角

为56扭转二、单位长度扭转角

：或三、刚度条件或

GIp

反映了截面尺寸和材料性能抵抗扭转变形的能力，称为圆轴的抗扭刚度。[

]称为许用单位长度扭转角。57扭转刚度计算的三方面：①校核刚度：②设计截面尺寸：③计算许可载荷：有时，还可依据此条件进行选材。58扭转

[例3]

长为L=2m的圆杆受均布力偶m=20Nm/m的作用，如图，若杆的内外径之比为

=0.8，G=80GPa，许用剪应力[

]=30MPa，试设计杆的外径；若[

]=2º/m，试校核此杆的刚度，并求右端面转角。解：①设计杆的外径59扭转40NmxT代入数值得：D

0.0226m。②由扭转刚度条件校核刚度60扭转40NmxT③右端面转角为：61

[例4]

某传动轴设计要求转速n=500r/min，输入功率N1=500马力，输出功率分别N2=200马力及

N3=300马力，已知：G=80GPa，[

]=70MPa，[

]=1º/m

，试确定：

①AB段直径

d1和BC段直径

d2

？②若全轴选同一直径，应为多少？

③主动轮与从动轮如何安排合理？扭转解：①图示状态下,扭矩如图，由强度条件得：

500400N1N3N2ACBTx–7.024–4.21(kNm)62扭转由刚度条件得：500400N1N3N2ACBTx–7.024–4.21(kNm)63扭转

综上：②全轴选同一直径时64扭转

③轴上的绝对值最大的扭矩越小越合理，所以，1轮和2轮应

该换位。换位后,轴的扭矩如图所示,此时,轴的最大直径才

为75mm。Tx–4.21(kNm)2.81465扭转

[例5]图示阶梯圆轴，受力如图。已知该轴大端直径为D=60mm，小端直径为d=40mm，材料的许用应力为，试校核该轴的强度。解：1．内力分析：画扭矩图如图所示。66扭转2．应力分析及强度条件：

故强度不够。

67扭转

[例6]横截面相等的两根圆轴，一根为实心，许用剪应力为，另一根为空心，内外直径比，许用剪应力为，若仅从强度条件考虑，哪一根圆轴能承受较大的扭矩。解：两根圆轴横截面相等，即

(1)∵∴

(2)68联合(1)、(2)式得：说明第二根圆轴能承受较大的扭矩。

扭转

[例7]图示阶梯圆轴，受力如图。已知该轴大端直径为D=60mm，小端直径为d=30mm，已知G=80GPa，。试求：1)．校核该轴刚度；2)．A截面相对于C截面的扭转角。解：1．内力分析：画扭矩图如图所。

69扭转2．变形分析及刚度条件：70扭转§6.5圆杆的扭转应变能一、应变能与应变能密度acddxb

dy´´dzz

xy单元体微功：应变比能：71扭转二、圆柱形密圈螺旋弹簧的计算1.应力的计算=+tQtTQT近似值：PQT72扭转2.弹簧丝的强度条件:精确值：（修正公式，考虑弹簧曲率及剪力的影响）其中：称为弹簧