高考总复习理数（人教版）第02章函数的概念与基本初等函数第8节函数与方程

第八节函数与方程考点高考试题考查内容核心素养函数的零点2017·全国卷Ⅱ·T11·5分已知函数零点的个数求参数的值数学运算逻辑推理2014·全国卷Ⅰ·T11·5分由函数的零点的个数求参数取值范围数学运算逻辑推理命题分析利用函数零点的存在性定理或函数的图象，对函数是否存在进行判断或利用零点的存在情况求相关参数的范围，是高考的热点，以选择题、填空题为主，分值5分.1．函数的零点(1)定义：对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0成立的实数x叫作函数y＝f(x)(x∈D)的零点．(2)函数零点与方程根的关系：方程f(x)＝0有实根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点.(3)零点存在性定理：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在x0∈(a，b)，使得f(x0)＝0.2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与零点的关系Δ＝b2－4Δ>0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与x轴的交点(x1,0)，(x2,0)(x1,0)无交点3．用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤(1)确定区间[a，b]验证f(a)f(b)<0，给定精确度ε.(2)求区间(a，b)的中点值c.(3)计算f(c)：①若f(c)＝0，则c就是函数的零点；②若f(a)f(c)<0，则令b＝c(此时零点x0∈(a，c))；③若f(c)f(b)<0，则令a＝c(此时零点x0∈(c，b))．(4)判断是否达到精确度ε.若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复第(2)(3)(4)步．提醒：(1)辨明两个易误点①函数f(x)的零点是一个实数，是方程f(x)＝0的根，也是函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标．②函数零点存在性定理是零点存在的一个充分条件，而不是必要条件．(2)明确三个等价关系(三者相互转化)(3)用二分法求方程的近似解时注意以下两点①并非所有函数都可以用二分法求其零点，只有满足：a．在区间[a，b]上连续不断；b．f(a)·f(b)＜0.上述两条的函数，方可采用二分法求得零点的近似值．②求函数零点的近似值时，所要求的精确度不同，得到的结果也不相同．应注意精确度对近似值的影响．1．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．()(2)函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)·f(b)<0.()(3)只要函数有零点，我们就可以用二分法求出零点的近似值．()(4)若函数y＝f(x)在区间(a，b)内，有f(a)·f(b)<0成立，那么y＝f(x)在(a，b)内存在唯一的零点．()(5)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac<0时没有零点(6)已知函数f(x)＝x2＋x＋a在区间(0,1)上有零点，则实数a的取值范围是(－2,0)．()答案：(1)×(2)×(3)×(4)×(5)√(6)√2．(教材习题改编)下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是()解析：选A根据二分法的概念可知A不能用二分法求零点.3．(教材习题改编)函数f(x)＝ex＋3x的零点个数是()A．0 B．1C．2 D．3解析：选B∵f(－1)＝eq\f(1,e)－3＜0，f(0)＝1＞0，∴f(x)在(－1,0)内有零点，又f(x)为增函数，∴函数f(x)有且只有一个零点．4．(2018·湖北七市(州)联考)已知函数f(x)与g(x)的图象在R上连续不断，由下表知方程f(x)＝g(x)有实数解的区间是()x－10123f(x)－0.6773.0115.4325.9807.651g(x)－0.5303.4514.8905.2416.892A．(－1,0) B．(0,1)C．(1,2) D．(2,3)解析：选B记h(x)＝f(x)－g(x)，依题意，注意到h(0)＜0，h(1)＞0，因此函数h(x)的零点属于(0,1)，即方程f(x)＝g(x)有实数解的区间是(0,1)，故选B.5．已知函数f(x)＝lnx－x＋2有一个零点所在的区间为(k，k＋1)(k∈N*)，则k的值为________.解析：f(1)＝1>0，f(2)＝ln2>0，f(3)＝ln3－1>0，f(4)＝ln4－2<0，故f(3)·f(4)<0，所以函数的一个零点所在区间为(3,4)，因此k＝3.答案：3判断函数零点所在的区间[明技法]确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法(1)利用函数零点的存在性定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)＜0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点．(2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断．[提能力]【典例】(2018·郑州检测)函数f(x)＝eq\f(1,2)lnx＋x－eq\f(1,x)－2的零点所在的区间是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，1)) B．(1,2)C．(2，e) D．(e,3)解析：选C因为feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)))＝－eq\f(1,2)＋eq\f(1,e)－e－2<0，f(1)＝－2<0，f(2)＝eq\f(1,2)ln2－eq\f(1,2)<0，f(e)＝eq\f(1,2)＋e－eq\f(1,e)－2>0，所以f(2)f(e)<0，所以函数f(x)＝eq\f(1,2)lnx＋x－eq\f(1,x)－2的零点所在的区间是(2，e)，故选C.[刷好题]1．(金榜原创)设f(x)＝lnx＋x－2，则函数f(x)的零点所在的区间为()A．(0,1) B．(1,2)C．(2,3) D．(3,4)解析：选B方法一函数f(x)的零点所在的区间可转化为函数g(x)＝lnx，h(x)＝－x＋2图象交点的横坐标所在的取值范围．作图如下：可知f(x)的零点所在的区间为(1,2)．方法二由于f(1)＝－1<0，f(2)＝ln2>0，f(1)f(2)<0，所以函数f(x)＝lnx＋x－2的零点在区间(1,2)内．2．(2018·南充质检)方程|x|＝cosx在(－∞，＋∞)内()A．没有根 B．有且仅有一个根C．有且仅有两个根 D．有无穷多个根解析：选C构造两个函数y＝|x|和y＝cosx，在同一个坐标系内画出它们的图象，草图如图所示，观察知图象有两个公共点，故已知方程有且仅有两个根．函数零点个数问题[明技法]判断函数零点个数的方法(1)解方程法：所对应方程f(x)＝0有几个不同的实数解就有几个零点．(2)零点存在性定理法：利用零点存在性定理并结合函数的性质进行判断．(3)数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题．先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的个数，就是函数零点的个数．[提能力]【典例】(2018·武汉模拟)偶函数f(x)满足f(x－1)＝f(x＋1)，且在x∈[0,1]时，f(x)＝x2，则关于x的方程f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,10)))x在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(10,3)))上的根的个数是()A．1 B．2C．3 D．4解析：选C因为f(x)为偶函数，所以当x∈[－1,0]时，－x∈[0,1]，所以f(－x)＝x2，即f(x)＝x2.又f(x－1)＝f(x＋1)，所以f(x＋2)＝f(x)，故f(x)是以2为周期的周期函数，据此在同一坐标系中作出函数y＝f(x)与y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,10)))x在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(10,3)))上的图象如图所示，数形结合得两图象有3个交点，故方程f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,10)))x在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(10,3)))上有三个根．故选C.[母题变式]若将本例中“eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,10)))x”变为“eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,10)))|x|”，则方程f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,10)))|x|在[－3,3]上所有根的和为________.解析：由本例解析知f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,10)))|x|在[－3,3]上有六个不同根，不妨设为x1<x2<x3<x4<x5<x6，由图象关于y轴的对称性知x1＋x6＝0，x2＋x5＝0，x3＋x4＝0，所以x1＋x2＋x3＋x4＋x5＋x6＝0.答案：0[刷好题]1．(2018·梅州质检)已知f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋3，x≤1，,－x2＋2x＋3，x>1，))则函数g(x)＝f(x)－ex的零点个数为________.解析：函数g(x)＝f(x)－ex的零点个数即为函数y＝f(x)与y＝ex的图象的交点个数．作出函数图象可知有2个交点，即函数g(x)＝f(x)－ex有2个零点．答案：22．函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1，x≤0，,log2x，x＞0，))则函数y＝f[f(x)]＋1的所有零点所构成的集合为________.解析：由题意知f[f(x)]＝－1，由f(x)＝－1得x＝－2或x＝eq\f(1,2)，则函数y＝f[f(x)]＋1的零点就是使f(x)＝－2或f(x)＝eq\f(1,2)的x值，解f(x)＝－2得x＝－3或x＝eq\f(1,4)；解f(x)＝eq\f(1,2)得x＝－eq\f(1,2)或x＝eq\r(2)，从而函数y＝f[f(x)]＋1的零点构成的集合为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－3，－\f(1,2)，\f(1,4)，\r(2))).答案：eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－3，－\f(1,2)，\f(1,4)，\r(2)))函数零点的综合问题[析考情]函数零点的应用主要是利用函数零点的存在性及零点个数求相关参数的值或范围，体现了化归的数学思想题目难度较大，以选择题、填空题形式出现．[提能力]命题点1：利用函数的零点比较大小【典例1】(2018·大连质检)设函数f(x)＝ex＋2x－4，g(x)＝lnx＋2x2－5，若实数a，b分别是f(x)，g(x)的零点，则()A．g(a)<0<f(b) B．f(b)<0<g(a)C．0<g(a)<f(b) D．f(b)<g(a)<0解析：选A依题意，f(0)＝－3<0，f(1)＝e－2>0，且函数f(x)是增函数，因此函数f(x)的零点在区间(0,1)内，即0<a<1，g(1)＝－3<0，g(2)＝ln2＋3>0，函数g(x)的零点在区间(1,2)内，即1<b<2，于是有f(b)>f(1)>0.又函数g(x)在(0,1)内是增函数，因此有g(a)<g(1)<0，所以g(a)<0<f(b)．命题点2：由函数的零点求参数问题【典例2】(2017·全国卷Ⅲ)已知函数f(x)＝x2－2x＋a(ex－1＋e－x＋1)有唯一零点，则a＝()A．－eq\f(1,2) B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,2) D．1解析：选C方法一f(x)＝x2－2x＋a(ex－1＋e－x＋1)＝(x－1)2＋a[ex－1＋e－(x－1)]－1，令t＝x－1，则g(t)＝f(t＋1)＝t2＋a(et＋e－t)－1.∵g(－t)＝(－t)2＋a(e－t＋et)－1＝g(t)，∴函数g(t)为偶函数．∵f(x)有唯一零点，∴g(t)也有唯一零点．又g(t)为偶函数，由偶函数的性质知g(0)＝0，∴2a－1＝0，解得a＝eq\f(1,2).故选C.方法二f(x)＝0⇔a(ex－1＋e－x＋1)＝－x2＋2x.ex－1＋e－x＋1≥2eq\r(ex－1·e－x＋1)＝2，当且仅当x＝1时取“＝”．－x2＋2x＝－(x－1)2＋1≤1，当且仅当x＝1时取“＝”．若a>0，则a(ex－1＋e－x＋1)≥2a要使f(x)有唯一零点，则必有2a＝1，即a＝eq\f(1,2).若a≤0，则f(x)的零点不唯一．故选C.命题点3：二次函数零点的应用【典例3】已知f(x)＝x2＋(a2－1)x＋(a－2)的一个零点比1大，一个零点比1小，则实数a的取值范围是________.解析：方法一设方程x2＋(a2－1)x＋(a－2)＝0的两根分别为x1，x2(x1<x2)，则(x1－1)(x2－1)<0，∴x1x2－(x1＋x2)＋1<0，由根与系数的关系，得(a－2)＋(a2－1)＋1<0，即a2＋a－2<0，∴－2<a<1.故实数a的取值范围为(－2,1)．方法二函数f(x)的图象大致如图，则有f(1)<0，即1＋(a2－1)＋a－2<0，得a2＋