猜题03勾股定理（拔尖必刷45题9种题型专项训练）

第3章勾股定理（拔尖必刷45题9种题型专项训练）一．由勾股定理探究图形面积（共5小题）二．由勾股定理求两条线段平方和（共4小题）三．利用勾股定理证明线段平方关系（共3小题）四．利用勾股定理解决规律探究问题（共6小题）五．利用勾股定理解决最值问题（共5小题）六．勾股定理与坐标轴综合应用（共4小题）七．勾股定理的证明方法（共3小题）八．利用勾股定理构建图形解决实际问题（共4小题）九．利用勾股定理解决几何体的最短距离问题（共6小题）一．由勾股定理探究图形面积（共5小题）1．（2023上·江苏常州·八年级校考期中）勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是数形结合的重要细带．数学家欧几里得利用如图验证了勾股定理．以直角三角形ABC的三条边为边长向外作正方形ACKJ，正方形ABFE，正方形BCIH，连接AH，CF，具中正方形BCIH面积为1，正方形ABFE面积为5，则以CF为边长的正方形面积为（

）A．4 B．5 C．6 D．10【答案】D【分析】此题考查的是勾股定理的证明；过点C作CM⊥EF于点M，交AB于点N，由正方形的性质可知BC、AB的长，利用直角三角形面积公式可得CN的长，再勾股定理可得BN、FM的长，最后利用勾股定理可得答案．正确作出辅助线是解决此题的关键．【详解】解：过点C作CM⊥EF于点M，交AB于点N，∵正方形ABFE面积为5，正方形BCIH面积为1，∴CN⊥AB，BC=1，AB=MN=5，BN=FM∵△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，∴AC=A∴12即12∴CN=2∴BN=FM=B∴CM=CN+MN=2∴CF∴以CF为边长的正方形面积为10．故选：D．2．（2023上·广东深圳·八年级统考期中）如图，阴影部分表示以Rt△ABC的各边为直径的三个半圆所组成的两个新月形，面积分别记作S1和S2．若AC=6，BC=8A．9π B．12.5π C．14 D．24【答案】D【分析】本题考查了勾股定理，以直角三角形三边为图形的面积，正确表示出阴影部分的面积是解题的关键．由勾股定理求出AB的长，再根据阴影部分面积S1【详解】解：由勾股定理得，AB=A由图形可知，阴影部分面积S==24，故选：D．3．（2023上·江苏连云港·八年级连云港市新海实验中学校考期中）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4．分别以AB、AC、BC为边在AB的同侧作正方形ABEF、ACPQ、BCMN，四块阴影部分的面积分别为S1、S2、S3、S4

A．18 B．20 C．22 D．24【答案】A【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，矩形的判定，勾股定理．过F作FD⊥AM于D，先证明△ADF≌△BCA得到FD=AC，再证明△DFK≌△CAT，得到S2=S△ABC，进一步证明S3【详解】解：过F作FD⊥AM于D，连接PF，

∴∠FDA=90°=∠FAB，∴∠FAD+∠CAB=90°，∴∠ABC=∠FAD，又∵AF=AB，∠ACB=∠FDA=90°，∴△ADF≌△BCAAAS∴FD=AC，同理可证△DFK≌△CAT，∴S2

由△DFK≌△CAT可得：FK=AT，∴KE=FT，∵FD=AC，即FD=PC，且FD⊥AM，∠PCD=∠ACB=90°，∴FD∥PC，又∴四边形PCNF是平行四边形，又∠PCD=90°，∴平行四边形PCDF是矩形，∴∠FPT=90°，又∵∠FPT=∠M=90°，∴△FPT≌△EMKAAS∴S3同理可得△AQF≌△ACB，∴S1∵△ABC≌△EBN，∴S4∴S==3=3×=18；故选：A．4．（2023上·浙江金华·八年级校联考期中）如图，Rt△ABC的两条直角边BC=6，AC=8．分别以Rt△ABC的三边为边作三个正方形．若四个阴影部分面积分别为S1

A．4 B．3 C．2 D．0【答案】D【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质．证明△ABK≌△BGHASA和△ABK≌△BGHASA得到S△ABC【详解】解：由正方形的性质可得，AE=AC，∴△EAD≌△CABSAS∵AB=BG，∴△ABK≌△BGHASA∴S△ABK∴S△ABC∴S△ABC设S四边形∴S3+S4+x=A∵AC∴S3∴S2∴S2故选：D．5．（2023上·浙江金华·八年级校联考期中）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，分别以AB、AC、BC为边在AB的同侧作正三角形ABD、ACE、BCF，图中四块阴影部分的面积分别为S1，S2，S3，S【答案】6【分析】本题考查勾股定理的知识，将勾股定理和等边三角形的面积公式进行灵活的结合和应用是解题的关键．过点E作EG⊥AC于点G，利用等边三角形的性质和勾股定理可求S△ACE=34AC2，S△ABD=【详解】解：如图，过点E作EG⊥AC于点G，∵△ACE是等边三角形，∴AG=12AC∴EG=A∴S△ACE同理S△ABD=3∵∠C=90°，∴AC∴S△ACE由图可知：S=====6．故答案为：6．二．由勾股定理求两条线段平方和（共4小题）6．（2023上·辽宁沈阳·八年级校联考阶段练习）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O．若AC⊥BD，AB=4，CD=5，则

【答案】21【分析】根据勾股定理即可解答．【详解】解：∵AC⊥BD，AB=4，CD=5∴在Rt△AOB中，O∴在Rt△COD中，O又∵在Rt△AOD中，O在Rt△BOC中，O∴B===A=16+5=21．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，灵活应用勾股定理是解题关键．7．（2023下·山西大同·八年级统考期末）如图，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，CA=CB=2，CE=CD=3，△ABC的顶点A在△ECD的斜边DE上，则AE2+A

【答案】8【分析】根据常见的“手拉手全等模型”，结合勾股定理即可求解．【详解】解：连接BD，如图所示：

因为△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，CA=CB=2，CE=CD=3∴∠ACB=∠ECD,∠E=∠ADC=∠CAB=∠ABC=45°∵∠ACB=∠ECD=90°∴∠ACB-ACD=∠ECD-ACD即∠ACE=∠BCD∵AC=BC,EC=DC∴△ACE≌△BCD∴AE=BD,∠AEC=∠BDC=45°∴∠ADB=∠ADC+∠BDC=90°故A故答案为：8【点睛】本题综合考查全等三角形的判定与性质以及勾股定理的应用．掌握相关几何知识是解题的关键．8．（2023上·陕西西安·八年级陕西师大附中校考开学考试）已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D是AB边上一个动点，连接CD，以CD为直角边作等腰Rt

(1)如图1，①求证：AD=BE．②线段AD、DB、(2)如图2，若AC=BC=5，在动点D运动过程中，当△CDE周长取得最小值时，求此时CD的长．【答案】(1)①见解析；②A(2)5【分析】（1）①先判断出∠ACD=∠BCE，得出△ADC≌△BEC(SAS)②先判断出∠A=∠ABC=45°，进而判断出∠DBE=90°，再用勾股定理得出BE（2）先判断出DE=2CD，进而得出△CDE的周长为(2+2)CD，进而判断出当【详解】（1）①证明：∵∠ACB=∠DCE=90°，∴∠ACD=∠BCE，在△ADC和△BEC中，AC=BC∠ACD=∠BCE∴△ADC≌△BEC(SAS)∴AD=BE；②AD证明：在Rt△ABC中，BC=AC∴∠A=∠ABC=45°，由（1）知，△ADC≌△BEC，∴∠CBE=∠A=45°，∴∠DBE=∠ABC+∠CBE=90°，在Rt△DBE中，根据勾股定理得，B由（1）知，AD=BE，∵∠DCE=90°，CD=CE，∴DE∴AD（2）解：在Rt△CDE中，CD=CE∴DE=2∴△CDE的周长为CD+CE+DE=(2+2要使△CDE的周长最小，则CD最短，当CD⊥AB时，CD最短，在Rt△ABC中，BC=AC=5，根据勾股定理得，AB=5∵CD⊥AB，∴CD=1【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，判断出CD⊥AB时，CD最短是解本题的关键．9．（2023下·全国·八年级专题练习）【图形定义】我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．(1)【性质探究】如图1，四边形ABCD是垂美四边形，试探究两组对边AB，CD与BC，AD之间的数量关系，并证明你的结论；(2)【拓展应用】如图2，Rt△ABC中，∠ACB=90°，分别以AC和AB为直角边向外作等腰Rt△ACD和等腰Rt△ABE，连接DE，若AC=4，AB=5，求DE的长．【答案】(1)AD(2)73【分析】（1）根据题中给出的垂美四边形的定义，得知对角线互相垂直，在直角三角形里利用勾股定理解答即可；（2）根据垂美四边形的性质、勾股定理结合（1）的结论计算即可．【详解】（1）解：结论：垂美四边形的两组对边的平方和相等．（或：AD证明：设AC与BD相交于点E．∵AC⊥BD，∴∠AED=∠AEB=∠BEC=∠CED=90°，由勾股定理得，ADAB∴AD（2）连接CE，BD相交于点N，CE交AB于点M．∵∠CAD=∠BAE=90°，∴∠CAD+∠BAC=∠BAE+∠BAC，即∠DAB=∠CEA，又∵AB=AE，AD=AC，∴△DAB≌△CEA，∴∠ADB=∠AEC，又∠AEC+∠AME=90°，∴∠ABD+∠AME=90°，即CE⊥BD，∴四边形CDEB是垂美四边形，由（1）得，CD2∵AC=4，AB=5，∴BC=3，CD=42，BE=5∴DE∴DE=73【点睛】本题考查了新定义、勾股定理以及全等三角形的判定的知识点，利用给出的垂美四边形定义求解是解题的关键．10．（2023上·浙江·八年级期末）如图，在△ABC中，AB=BC=AC，AE=CD，AD与BE相交于点P，BQ⊥AD于Q．则BP与BQ的关系为（）A．BP2=2BQ2 B．3BP【答案】B【分析】此题考查了等边三角形的性质，勾股定理及全等三角形的判定及性质等知识点的综合运用能力，证明△ADC≌【详解】解：∵AB=BC=AC，∴△ABC是等边三角形．∴∠BAC=∠C=60°∵AB=AC∴△ADC≌△BEA（∴∠ABE=∠CAD．∵∠CAD+∠BAD=60°，∴∠ABE+∠BAD=60°．∴∠BPQ=60°．∵BQ⊥AD，∴∠PBQ=30°．∴BP=2PQ，∵∠BQP=90°，∴BP∴B∴3B故选：B．三．利用勾股定理证明线段平方关系（共3小题）11．（2023上·辽宁沈阳·八年级校考阶段练习）如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，点F是直线AB上一个动点，作等腰Rt△FCP，且∠PCF=90°，连接

(1)找出图中全等三角形______．(2)如图求证：FB(3)若AF=2，则PF=______【答案】(1)△PCA≌△FCB(2)见解析(3)2【分析】（1）可证∠PCA=∠FCB，从而得证△PCA≌△FCB(SAS（2）由全等得，AP=FB,∠PAC=∠FBC=45°，得∠PAF=∠PAC+∠CAB=90°，根据勾股定理得证结论；（3）Rt△ACB中，勾股定理求得AB=22，得BF=2【详解】（1）解：如图，∠ACB=∠PCF=90°,∴∠ACB-∠ACF=∠PCF-∠ACF．∴∠PCA=∠FCB．又PC=FC,AC=BC，∴△PCA≌△FCB(SAS故全等三角形为△PCA≌△FCB．（2）解：∵△PCA≌△FCB，∴AP=FB,∠PAC=∠FBC=45°．∴∠PAF=∠PAC+∠CAB=90°．∴PA∴FB（3）解：Rt△ACB中，AC=2∴AB=2∵AF=2∴BF=AB-AF=2∴AP=2∴PF=A【点睛】本题考查勾股定理，全等三角形的判定和性质；由全等三角形推证线段相等、角相等是解题的关键．12．（2023下·辽宁抚顺·八年级统考阶段练习）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AB中点，点E在BC边上（点E不与点B，C重合），连接DE，过点D作DF⊥DE交AC于点F，连接EF

(1)求证：A(2)若AC=7，BC=5，EC=1，直接写出线段AF的长．【答案】(1)见解析(2)AF=【分析】（1）延长ED至G使DG=DE，连接AG，证明△BDE≌△ADG，从而得DE=AG，AG⊥AC，由DF⊥DE得DF为GE中垂线，故GF=EF，在Rt△AGF（2）结合（1）中的结论可得AG=BE=4，EF=GF，在Rt△GAF【详解】（1）证明：作AG⊥AC，AG交ED延长线于G，连接FG

∵AG⊥AC，∴∠CAG=90∴∠CAG+∠ACB=90∴AG∥BE，∴∠AGD=∠DEB，在△AGD和△BED中，∠AGD=∠DEB∠ADG=∠BDE∴△AGD≌△BEDAAS∴AG=BE，DG=DE，∵DF⊥EG，∴FG=EF，∵∠FAG=90∴AF∴AF（2）解：设AF=x，∵AC=7，BC=5，CE=1，则CF=AC-AF=7-x，BE=BC-CE=4，∵∠C=90°，∴CF即：EF由（1）知：MF=EF，∠BAF=90°，AM=BE，∴MF2=∵∠BAF=90°，∴AF即：x2解得：x=17即：AF=17【点睛】本题考查了全等三角形的判定和勾股定理，中垂线的性质，其中倍长中线是解决问题的关键．13．（2023上·广东茂名·八年级校考阶段练习）如图，E．F是等腰Rt△ABC的斜边BC上的两动点，∠EAF=45°，CD⊥BC且CD=BE

(1)△ABE≌△ACD；(2)EF(3)连接DE，若BC=8，求DE的最小值．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)4【分析】（1）利用SAS证明△ABE≌△ACD即可；（2）证明△AFE≌△AFD，得到EF=DF，结合DF（3）易证△ADE是等腰直角三角形，得到DE=2AE，进而得到当AE⊥BC时，AE最小，此时DE最小，求出【详解】（1）证明：∵△ABC是等腰直角三角形，∴AB=AC，∠B=∠ACB=45°，∵CD⊥BC，∴∠BCD=90°，∴∠ACD=∠BCD-∠ACB=45°=∠B，在△ABE和△ACD中，AB=AC∠B=∠ACD∴△ABE≌△ACD；（2）证明：由（1）知，△ABE≌△ACD，∴AE=AD，∠BAE=∠CAD，∵∠BAC=90°，∴∠EAD=∠CAE+∠CAD=∠CAE+∠BAE=∠BAC=90°，∵∠EAF=45°，∴∠DAF=∠DAE-∠EAF=45°=∠EAF，在△AEF与△ADF中，AE=AD∠EAF=∠DAF∴△AEF≌△ADF，∴DF=EF，在Rt△DCF中，根据勾股定理得，D∵CD=BE，∴EF（3）连接DE，

∵AE=AD，∠EAD=90°，∴△ADE是等腰直角三角形，∴D∴DE=2当AE取最小值时，DE最小，∴当AE⊥BC时，AE最小，此时DE最小，∵AB=AC，BC=8，AE⊥BC，∴BE=1∵∠ABC=45°，∴AE=BE=4，∴DE的最小值为2×4=4【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理．熟练掌握全等三角形的判定方法，证明三角形全等，是解题的关键．四．利用勾股定理解决规律探究问题（共6小题）15．（2023·河南焦作·统考二模）如图，正方形ABCD边长为1，以AC为边作第2个正方形ACEF，再以CF为边作第3个正方形FCGH，…，按照这样的规律作下去，第2023个正方形的面积为（

）

A．224044 B．224046 C．【答案】C【分析】根据勾股定理得出正方形的对角线是边长的2，从而得到正方形的边长，计算出正方形的面积，找到规律即可得出答案．【详解】解：由题知，第1个正方形的边长AB=1，面积为12根据勾股定理得，第2个正方形的边长AC=2，面积为(根据勾股定理得，第3个正方形的边长CF=(2)根据勾股定理得，第4个正方形的边长GF=(2)…根据勾股定理得，第2023个正方形的边长为(2)2022故选：C．【点睛】本题考查了勾股定理以及图形的变化规律，根据勾股定理求出各个正方形的边长和面积得出规律是解本题的关键．16．（2022下·四川成都·八年级校考期中）如图，∠MON=30°，点B1在边OM上，且OB1=2，过点B1作B1A1⊥OM交ON于点A1，以A1B1为边在A1B1右侧作等边三角形A1B1C1；过点C1作OM的垂线分别交OM、ON于点B2、A2，以A2B2为边在A2B2的右侧作等边三角形△A2

【答案】27163【分析】根据特殊直角三角形的性质，求出△A3B3C3的边长，即可求出【详解】解：∵∠MON=30°，∠A∴OA∵OB∴OB∴A∵OB∴△A1B

在Rt△B1C1∴C1B2∴OB在Rt△OA2B2在Rt△B2C2∴C2B3∴OB在Rt△OB3A=3……，∴△AnB∴△A3B△AnB故答案为：27163，【点睛】本题考查了图形类规律探究，等边三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质，勾股定理，三角形的面积等知识，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型．17．（2023上·江苏无锡·八年级无锡市侨谊实验中学校考期中）课堂上学习了勾股定理后知道：直角三角形三边长是整数时我们称之为“勾股数”．王老师给出一组数让学生观察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，学生发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过，于是王老师提出以下问题让学生解决．若两直角边为a,ba<b，斜边为c(1)请你根据上述的规律写出下一组勾股数：11、______、______；(2)当a=n（n为奇数，且n≥3）时，若b=______，c=______时可以构造出勾股数（用含n的代数式表示）；并证明你的猜想；(3)当a=n（n为偶数，且n>4）时，若b=______，c=______时可以构造出勾股数（用含n的代数式表示）；(4)构造勾股数的方法很多，请你寻找当a=20时，c=______．【答案】(1)60，61(2)n(3)n24(4)25或52或101或29【分析】（1）分析所给四组的勾股数：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；可得下一组一组勾股数：11，60，61；发现规律是解题的关键；（2）根据所提供的例子发现股是勾的平方减去1的二分之一，弦是勾的平方加1的二分之一可得b、c，然后计算验证即可；发现规律是解题的关键；（3）根据所提供的例子发现股是勾的平方的四分之一减一，弦是勾的平方的四分之一加一可得b、c，然后计算验证即可；发现规律是解题的关键；（4）由勾股定理可得：a2+b【详解】（1）解：∵3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，∴11，60，61；故答案为：60，61．（2）解：观察发现：当a=n（n为奇数，且n≥3）时，则股是勾的平方减去1的二分之一，弦是勾的平方加1的二分之一；则用含n的代数式表示每组第二个数和第三个数分别为：n2证明如下：∵n2∴n2又∵n为奇数，且n≥3，∴n,n2（3）解：观察发现：当a=n（n为偶数，且n≥5）时，则股是勾的平方的四分之一减一，弦是勾的平方的四分之一加一；则用含n的代数式表示每组第二个数和第三个数分别为：n24-1证明如下：∵n2∴n2又∵n为偶数，且n≥5，∴n,n24-1（4）解：由勾股定理可得：a2当a=n=20，则有:c2-b当c-b=10c+b=40，解得：c=25当c-b=4c+b=100，解得：c=52当c-b=2c+b=200，解得：c=101当c-b=8c+b=50，解得：c=29综上，c的值为25或52或101或29．18．（2023下·广西河池·八年级统考期末）当直角三角形的三边长都是正整数时，我们称这三个数为勾股数，如：3，4，5都是正整数，且32+42=523，4，5；9，40，41；5，12，13；……；7，24，25；a，b，c．(1)当a=11时，求b，c的值(2)判断10，24，26是否为一组勾股数？若是，请说明理由．【答案】(1)b=60，c=61(2)10，24，26是勾股数，见解析【分析】（1）先观察已有的勾股数，得到c=b+1，再利用勾股定理进行求解即可；（2）利用勾股数的定义进行判断即可．【详解】（1）解：观察已有的勾股数可得c=b+1，∴a2把a=11代入a2解得b=60（负值已舍掉），∴c=60+1=61；（2）10，24，26是勾股数．∵102又∵10，24，26都是正整数根据勾股数的定义，可知10，24，26是勾股数．【点睛】本题考查勾股数．熟练掌握勾股数的定义，是解题的关键．19．（2022下·福建厦门·八年级校考期中）已知n组正整数：第一组：3，4，5；第二组：8，6，10；第三组：15，8，17；第四组：24，10，26；第五组：35，12，37；第六组：48，14，50；(1)以上每组中的三个整数存在某种等量关系且各组符合一定规律，请依据规律写出第七组数并验证存在的等量关系；(2)以任意一个大于2的偶数为一条直角边的长，是否一定可以画出一个直角三角形，使该直角三角形的另两条边的长都是正整数？若可以，请说明理由；若不可以，请举出反例．【答案】(1)第七组：63，16，65；等量关系：63(2)一定可以画出，理由见解析【分析】（1）根据题意得出规律及等量关系，以此可得出第七组及等量关系；（2）由于m2【详解】（1）解：第一组：3，4，5，即：1×3，2×2，22+1；等量关系：第二组：8，6，10，即：2×4，2×3，32+1；等量关系：第三组：15，8，17，即：3×5，2×4，42+1；等量关系：第四组：24，10，26，即：4×6，2×5，52+1；等量关系：第五组：35，12，37，即：5×7，2×6，62+1；等量关系：第六组：48，14，50，即：6×8，2×7，72+1；等量关系：……规律：nn+2，2n+1，n+12+1，即：n2+2n，2n+2，∴第七组：7×9，2×8，82+1，即63，16，验证：632+16∴632∴第七组：63，16，65；等量关系：632（2）以任意一个大于2的偶数为一条直角边的长，一定可以画出一个直角三角形，使得该直角三角形的另两条边的长都是正整数．理由如下：对于一组数：m2-1，2m，m2+1（∵m2∴若一个三角形三边长分别为m2-1，2m，m2+1（∵当m≥2，且m为整数时，2m表示任意一个大于2的偶数，m2-1，∴以任意一个大于2的偶数为一条直角边的长，一定可以画出一个直角三角形，使得该直角三角形的另两条边的长都是正整数．【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，解题的关键是掌握勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2五．利用勾股定理解决最值问题（共5小题）20．（2023上·江苏连云港·八年级校考期中）如图，△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10．将△ABC沿射线BM折叠，使点A与BC边上的点D重合，E为射线BM上一个动点，当△CDE周长最小时，CE的长为．【答案】5【分析】本题考查了翻折变换，勾股定理的逆定理，轴对称的性质，掌握相关性质是解答本题的关键．根据翻折的性质和勾股定理的逆定理，得到△ABC为直角三角形，设CE=x，则AE=DE=AC-CE=8-x，再利用勾股定理得到答案．【详解】解：由题意得：A，D两点关于射线BM对称，∴C△CDE∵CD为定值，要使△CDE周长最小，即DE+CE最小，∴如图，当点E为AC与射线BM的交点时，△CDE周长最小，∵AB=6，AC=8，BC=10，ABBC∴AB∴△ABC为直角三角形，∴∠BAC=∠BDE=∠CDE=90°，∵AB=BD=6，∴CD=BC-BD=10-6=4，设CE=x，则AE=DE=AC-CE=8-x，在Rt△CDECE即x2解得：x=5，∴CE=5，故答案为：5．21．（2023下·广西柳州·八年级校考期中）有一架竖直靠在直角墙面的梯子正在下滑，一只猫紧紧盯住位于梯子正中间的老鼠，等待与老鼠距离最小时扑捉．把墙面、梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或点，∠ABC=90°，点M，N分别在AB,BC上，MN长度始终保持不变．MN=4，E为MN的中点，点D到BA,BC的距离分别为3和2，猫与老鼠的距离DE的最小值为．

【答案】13【分析】连接BE,DE，根据勾股定理求出BD，根据直角三角形斜边中线的性质求出BE，根据DE≥BD-BE得到当B,E,D三点共线时，DE的值最小，计算即可．【详解】解：连接BE,BD，

由题意和勾股定理得：BD=32在Rt△MBN中，点E是MN∴BE=1∵DE≥BD-BE，∴当B,E,D三点共线时，DE∴DE的最小值为：13-2故答案为：13-2【点睛】本题考查勾股定理的应用，直角三角形斜边中线的性质，解题的关键是确定DE最小时，点E的位置．22．（2023上·重庆·八年级重庆市商务学校（重庆市第九十四初级中学校）校考阶段练习）在△ABC中，AC=2AB，点D为直线BC上一点，AD=AE,∠BAC=∠DAE，连接ED交AC于F．(1)如图1，F为AC中点，若EF=3，求BD的长；(2)如图2，延长CB至点M，使得BM=BD，连接AM,CE，求证：AM=CE；(3)如图3，若∠BAC=90°,∠ADB=45°,DE=2，点P是线段BC上的一个动点，当AP+EP最小时，直接写出这个最小值．【答案】(1)3(2)证明见解析(3)AP+PE的最小值为：10．【分析】（1）证明得△ABD≌△AFE，得到EF=BD，即可求得BD=3；（2）延长AB至H，使BH=AB，连接DH，由SAS证明△ABM≌△HBD，得到AM=DH，由SAS证明△AHD≌△ACE，得到CE=DH，从而得证；（3）过A作AH⊥DE于H，证明∠ADB=45°=∠ADE，AH=DH=12DE=1，可得BD⊥DE，如图，作E关于直线BC的对称点E'，连接PE'，可得当A，P，【详解】（1）解：∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAD=∠FAE∵AC=2AB，F为AC中点，∴AB=AF在△ABD和△AFE中AB=AF∴△ABD≌△AFE∴EF=BD，∵EF=3，∴BD=3；（2）延长AB至H，使BH=AB，连接DH，在△ABM和△HBD中，MB=DB∠ABM=∠HBD∴△ABM≌△HBDSAS∴AM=DH，∵∠HAD+∠DAC=∠HAC，∴∠HAD=∠CAE，∵AC=2AB，∴AH=AC，在△AHD和△ACE中，AH=AC∠HAD=∠CAE∴△AHD≌△ACESAS∴CE=HD，∴CE=AM；（3）过A作AH⊥DE于H，∠BAC=90°，点D为直线BC上一点，AD=AE,∠BAC=∠DAE，DE=2，∴∠ADB=45°=∠ADE，AH=DH=1∴BD⊥DE，如图，作E关于直线BC的对称点E'，连接PE∴PE=PE'，DE=DE∴AP+PE=AP+PE∴当A，P，E'三点共线时，AP+PE最短，即A由勾股定理可得：AE∴AP+PE的最小值为：10．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理的应用，轴对称的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键．23．（2023上·福建福州·八年级校联考期末）如图1，△ABC，AC=9，AB=10，∠BAC=30°．

(1)求△ABC的面积；(2)如图2，点M在边AC上，点N在边AB上，求BM+MN的最小值；(3)如图3，点P是在边AC上，过点P分别作直线AB、直线BC的对称点D、E，当△DBE周长最小时，求线段CP的长．【答案】(1)452(2)BM+MN的最小值为53(3)线段CP的长为9-53【分析】（1）作CD⊥AB于点D，利用含30度角的直角三角形的性质求得CD的长，再利用三角形面积公式即可求解；（2）作点B关于AC的对称点B'，连接AB'，作B'N⊥AB交AC于点M，交AB于点N，则BM+MN（3）利用轴对称的性质求得△DBE是等腰三角形，且顶角为定角，当BD取最小值时，△DBE的周长有最小值，即当BP⊥AC时，△DBE的周长有最小值，利用含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理即可求解．【详解】（1）解：作CD⊥AB于点D，

∵AC=9，∠BAC=30°，∴CD=1∴△ABC的面积为12（2）解：作点B关于AC的对称点B'，连接AB'，作B'N⊥AB交AC于点M

此时MB'=MB，BM+MN=B'∵点B与点B'关于AC∴BB'⊥AC∵∠BAC=30°，∴∠B∴△ABB∴BN=AN=1∴B'∴BM+MN的最小值为53（3）解：∵点D、E是点P关于直线AB和BC的对称点，∴BP=BD，BP=BE，∠DBA=∠PBA，∠CBE=∠CBP，∴BE=BD，∠DBE=2∠ABC，∴△DBE是等腰三角形，且顶角为定角，∴当BD取最小值时，△DBE的周长有最小值，∴当BP⊥AC时，△DBE的周长有最小值，

∵∠BAC=30°，AB=10，∴BP=1∴AP=A∴CP=AC-AP=9-53∴线段CP的长为9-53【点睛】本题考查了轴对称的性质，等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．24．（2022上·江苏常州·八年级校考期中）数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化，数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的．(1)【思想应用】已知m，n均为正实数，且m+n=2，求m2+1+n2+4的最小值．通过分析，小明想到了利用下面的构造解决此问题：如图，AB=2，AC=1，BD=2，AC⊥AB，BD⊥AB，点E是线段AB上的动点，且不与端点重合，连接CE，①用含m的代数式表示CE=，用含n的代数式表示DE=；②据此写出m2+1+(2)【类比应用】根据上述的方法，代数式x2+25+(3)【拓展应用】①已知a，b，c为正数，且a+b+c=1，试运用构图法，画出图形，并写出a2②若a，b为正数，写出以a2+b2，4a【答案】(1)①m2+1，n2(2)20(3)①画图见解析，2；②3【分析】（1）①利用勾股定理可得CE和DE的长；②利用三角形三边的关系得到CE+DE≥CD（当且仅当C、E、D共线时取等号），作DH⊥CA交CA的延长线于H，易得四边形ABDH为长方形，利用勾股定理计算出CD=13（2）利用（1）中的方法画出图形，设AB=16，CA=5，BD=7，AE=x，则BE=16-x，利用勾股定理得到，CE=x2+25，DE=(x-16)2+49；根据三角形三边的关系得到而CE+DE≥CD（当且仅当C、E、D共线时取等号），作DH⊥CA交CA的延长线于H，易得四边形（3）①利用类比的方法，仿照（1）的方法画出边长为1的正方形，再利用两点之间线段最短即可得出结论；②利用类比的方法，仿照（1）的方法画出边长2a，2b的长方形，利用勾股定理构图解答即可．【详解】（1）解：①在Rt△ACE中，CE=在Rt△BDE中，DE=故答案为：m2+1，②连接CD，由①得：m2而CE+DE≥CD（当且仅当C、E、D共线时取等号），作DH⊥CA交CA的延长线于H，如图1，可得四边形ABDH为长方形，∴AH=BD=2，DH=AB=2，在Rt△CHD中，CD=∴CE+DE的最小值为13，即m2+1+故答案为：13；（2）如图，设AB=16，CA=5，BD=7，AE=x，则BE=16-x，在Rt△ACE中，CE=在Rt△BDE中，DE=∴x2而CE+DE≥CD（当且仅当C、E、D共线时取等号），作DH⊥CA交CA的延长线于H，易得四边形ABDH为矩形，∴AH=BD=7，DH=AB=16，在Rt△CHD中，CD=∴CE+DE的最小值为20，即x2+25+故答案为：20；（3）画出边长为1的正方形，在边上截取出长为a，b．c的线段，作图如下：则a+b+c=1，AB=a2+b2∴AB+BC+CD=a利用两点之间线段最短可知：AB+BC+CD≥AD（当且仅当A、B、C、D共线时取等号），∵AD=1∴AB+BC+CD的最小值为2，∴a2+b②分别以2a，2b为边长作出矩形ABCD，则AB=2a，AD=2b，取AB的中点为E，AD的中点为F，连接EF，FC，EC，如图，则AE=EB=a，AF=FD=b，CD=AB=2a，BC=AD=2b，∴EF=AFC=FEC=B∴以a2+b2，4a∵=2a⋅2b-=4ab-=3∴以a2+b2，4a故答案为：32【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题：灵活运用两点之间线段最短或垂线段最短解决此类问题．也考查了勾股定理和类比的方法．六．勾股定理与坐标轴综合应用（共4小题）25．（2023·河北沧州·模拟预测）如图，已知四边形OABC在平面直角坐标系中，点A4，0，B第一步：找出四边形OABC的任一直角顶点，第二步：与直角顶点相对的点为所作直角三角形的斜边中点，第三步：剩余两个顶点分别在所作直角三角形两条直角边上．佳佳画出了如图所示符合要求的直角三角形AEF．

解决下列问题：（1）点F的坐标为；（2）EF的长为；（3）琪琪认为还存在一个符合要求的直角三角形，那么这个直角三角形的斜边长为．【答案】-4，0【分析】（1）连接AC，求得点A与点F关于原点对称，据此即可求解；（2）利用勾股定理求得AC=25（3）由OC⊥OA，根据题意即可求解．【详解】解：（1）连接AC，∵△AEF是直角三角形，且点C是斜边的中点，∴AC=CF=12EF，∴点A与点F关于原点对称，∵A4∴F-4

故答案为：-4，（2）∵A4，0∴AC=2∴EF=2AC=45故答案为：45（3）如图所示符合要求的直角△OHG，同理，HG=2OB=24

故答案为：10．【点睛】本题考查了坐标与图形，直角三角形的性质，勾股定理，掌握“直角三角形斜边中线等于斜边的一半”是解题的关键．26．（2021下·福建龙岩·八年级校考阶段练习）如图，在平面坐标系中，点A、点B分别在x轴、y轴的正半轴上，且OA=OB，另有两点C(a,b)和D(b,-a)（a、b均大于0）；

(1)连接OD、CD，求证：∠ODC=45°；(2)连接CO、CB、CA，若CB=2，CO=4，CA=6，求∠OCB的度数；(3)若点E在线段OA上，且AE=2，CE=5，AC=41，动点P以每秒2个单位的速度从点E出发沿射线EO方向运动，运动时间为t秒，在点P的运动过程中，△APC能否成为等腰三角形？若能，求出t【答案】(1)证明过程见解析(2)135°(3)△APC能成为等腰三角形，t=2120或t=【分析】（1）过点C、D向x轴、y轴作垂线，证明△OCM≌△ODNSAS，得出∠COM=∠DON，证明∠COM+∠MOD=90°（2）连接AD，证明△OCB≌△ODASAS，可得AD=BC=2，而OC=OD=4，利用勾股定理求得CD=42，根据勾股定理的逆定理可知∠ADC=90°，易得（3）如图3，过点C作CF⊥OA于点F，设EF=x，由CF2=CE2-EF2，CF2=AC2-AF2【详解】（1）证明：如图1，过点C、D向x轴、y轴作垂线，垂足分别为M、N，∵Ca,b，Db,-a（a、b均大于∴OM=ON=a，CM=DN=b，∴△OCM≌△ODNSAS∴∠COM=∠DON，∵∠DON+∠MOD=90°，∴∠COM+∠MOD=90°，∵OC=OD=a∴△COD是等腰直角三角形，∴∠ODC=45°；

（2）解：如图2，连接AD，

∵∠BOA=∠COD=90°，∴∠BOC=∠AOD，在△OCB和△ODA中，OB=AO∠BOC=∠AODOC=OD∴△OCB≌△ODASAS∴AD=BC=2，∠OCB=∠ODA，∵OC=OD=4，∴CD=4∵AD∵AC∴AD∴∠ADC=90°，∴∠OCB=∠ODA=90°+45°=135°；（3）解：△APC能成为等腰三角形，理由如下：如图3，过点C作CF⊥OA于点F，设EF=x，则CF又∵CF∴CF∴25-x解得x=3，∴EF=3，CF=4，①当AP=PC时，PC=AP=2+2t，∵AF=5，∴PF=5-2+2t由PF2+C解得t=21②当AP=AC时，2+2t=41解得t=41③当AC=PC时，AP=2AF，即2+2t=10，解得t=4，综上所述，当t=2120或t=41-22

【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理及勾股定理的逆定理、解一元一次方程，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．27．（2019上·广东深圳·八年级统考期中）如图（1），是两个全等的直角三角形（直角边分别为a，b，斜边为c）（1）用这样的两个三角形构造成如图（2）的图形，利用这个图形，证明：a2+b2＝c2；（2）用这样的两个三角形构造图3的图形，你能利用这个图形证明出题（1）的结论吗？如果能，请写出证明过程；（3）当a＝3，b＝4时，将其中一个直角三角形放入平面直角坐标系中，使直角顶点与原点重合，两直角边a，b分别与x轴、y轴重合（如图4中Rt△AOB的位置）．点C为线段OA上一点，将△ABC沿着直线BC翻折，点A恰好落在x轴上的D处．①请写出C、D两点的坐标；②若△CMD为等腰三角形，点M在x轴上，请直接写出符合条件的所有点M的坐标．【答案】（1）见解析；（2）能，见解析；（3）①C、D两点的坐标为C（0，32），D（2，0）；②符合条件的所有点M的坐标为：（716，0）、（92，0）；、（﹣2，0）、（﹣1【分析】（1）根据梯形的面积的两种表示方法即可证明；（2）根据四边形ABCD的面积的两种表示方法即可证明；（3）①根据翻折的性质和勾股定理即可求解；②根据等腰三角形的性质分四种情况求解即可．【详解】解：（1）∵S梯形ABCD=2×S梯形ABCD=1∴2×∴2ab+∴c（2）连接BD，如图：S四边形ABCD=12S四边形ABCD=12∴12∴c（3）①设OC=a，则AC=4-a，又AB=5，根据翻折可知：BD=AB=5，CD=AC=4-a，OD=BD-OB=5-3=2．在RtΔ(4-a)2解得a=3∴C(0,32)答：C、D两点的坐标为C(0,32)②如图：当点M在x轴正半轴上时，CM=DM，设CM=DM=x，则x2=(2-x)∴2-x=7∴M(716，CD=MD，=4-32=∴M(92，当点M在x轴负半轴上时，CM=CD，∵OM=OD=2，∴M(-2,0)；DC=DM，=4-3∴OM=5∴M(-12，∴符合条件的所有点M的坐标为：(716，0)、(92，0)、(-2,0)、【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，勾股定理，折叠的性质，是三角形的综合题，解决本题的关键是分情况讨论思想的运用．28．（2023上·山东济南·八年级统考期中）【复习旧知】

结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：数轴上表示4和1的两点之间的距离是3：而4-1=3；表示-3和2两点之间的距离是5：而-3-2=5；表示-4和-7两点之间的距离是3：而一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离公式为│m－n│．

（1）数轴上表示数-4的点与表示-1的点之间的距离为________；【探索新知】如图①，我们在“格点”直角坐标系上可以清楚看到：要找AB或DE的长度，显然是化为求Rt△ABC或Rt

下面：以求DE为例来说明如何解决．从坐标系中发现：D-7,5，E4,-3．所以DF=5--3=8（2）在图②中：设Ax1,y1AC=____________，BC=____________，AB=____________．得出的结论被称为“平面直角坐标系中两点间距离公式”．【学以致用】

请用此公式解决如下题目：（3）已知A-2,3、B4,-5，试求A、（4）已知一个三角形各顶点坐标为A-1,1、B-3,3、【答案】（1）3；（2）y1-y2；x1-x2；x1【分析】（1）根据距离公式计算即可．（2）根据数形结合思想，结合阅读学习的知识，利用坐标的特点，计算求解即可．（3）根据两点间的距离公式，计算即可．（4）根据两点间的距离公式，结合勾股定理的逆定理，计算即可．【详解】（1）数轴上表示数-4的点与表示-1的点之间的距离为-1--4故答案为：3．（2）∵Ax1,∴CxAC=y1-y2故答案为：y1-y2；（3）∵A-2,3、B∴AB=-2-4（4）△ABC为直角三角形，理由为：∵A-1,1、B-3,3、∴AB=-1-AC=-1-2BC=-3-2∵222则△ABC为直角三角形．【点睛】本题考查了数轴上两点间的距离计算，平面内两点间的距离公式，勾股定理的逆定理，灵活运用数形结合思想，平行x轴直线上两个点间距离计算，平行y轴直线上两个点间距离计算是解题的关键．29．（2023上·山西太原·八年级校联考期中）请阅读下列材料，并完成相应的任务．勾股定理又称毕达哥拉斯定理、商高定理、百牛定理等，是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，大约有五百多种证明方法，下面是我国三国时期的数学家赵爽和意大利著名画家达·芬奇的证明方法．赵爽利用4个全等的直角三角形拼成如图1所示的“弦图”（史称“赵爽弦图”），其中a，b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，四边形ABDE和四边形CFGH是正方形．

达·芬奇用如图2所示的方法证明，其中剪开前的空白部分由2个正方形和2个全等的直角三角形组成，面积记为S1；剪开翻转后的空白部分由2个全等的直角三角形和1个正方形组成，面积记为S任务：(1)下面是小颖利用赵爽弦图验证勾股定理的过程，请你帮她补充完整．证明：由图1，知S正方形ABDE=4S△ABC∵S正方形ABDE=c2，S∴c2=4×1(2)请你参照小颖的验证过程，利用图2及图中标明的字母写出勾股定理的验证过程．【答案】(1)a-b，12ab(2)见解析【分析】本题考查了直角三角形和正方形的面积公式，根据题目读懂题意，列出等量关系，验证勾股定理是解答本题的关键．（1）依题分析，直角三角形两个直角边长分别a，b，正方形CFGH的边长为a-b，根据直角三角形和正方形的面积公式，得到三角形面积为12ab，正方形CFGH的面积为（2）剪开前，直角三角形的两直角边长分别为a，b，两个正方形边长分别为a，b；剪开后正方形的边长为c，直角三角形的两直角边长分别为a，b，根据直角三角形和正方形的面积公式，列出剪开前后的面积公式，两个面积相等，得到验证．【详解】（1）解：由图知，直角三角形的两个边长为a，b，正方形CFGH的边长为a-b，∴S△ABC=12ab∴S∴c故答案为a-b，12ab（2）根据题意，得S1S2∵S1∴a2+30．（2023上·山东枣庄·八年级校考阶段练习）利用图形整体面积等于部分面积之和可以证明勾股定理．

①如图（1）所示可以证明勾股定理，因为大正方形面积表示为a+b2，又可表示为c2+4×12ab，所以②美国第20届总统伽菲尔德利用图（2）证明了勾股定理，请你用①的方法证明勾股定理；③如图（3）请你用①的方法证明勾股定理；④如图（4）请你用①的方法证明勾股定理．【答案】②见解析；③见解析；④见解析；【分析】②梯形的面积可以由梯形的面积公式求出，也可利用三个直角三角形面积求出，两次求出的面积相等列出关系式，化简即可得证；③连结DB，过点D作BC边上的高DF，则DF=EC=b-a，根据S四边形④根据题意，我们可在图中找等量关系，由中间的小正方形的面积等于大正方形的面积减去四个直角三角形的面积，列出等式化简即可得出勾股定理的表达式．【详解】解：②梯形的面积为12也可利用表示为12∴1即a2即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；③连结DB，过点D作BC边上的高DF，则DF=EC=b-a，

∵S四边形又∵S四边形∴12∴a2即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；④如图，分别过点I，H作PM⊥BC,PN⊥AC，分别交CB,CA延长线于点M，N，PM,PN交于点P，则∠M=∠N=∠ACB=∠P=90°，∴∠CAB+∠ABC=90°，在正方形ABIH中，AB=BI=IH=AH，∠ABI=90°，∴∠ABC+∠IBM=90°，∴∠CAB=∠IBM，∴△ABC≌△BIM，∴BM=AC=b,MI=a，∴S△BIM=1同理S△ANH∴中间小正方形的面积c2即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．【点睛】本题主要考查了勾股定理的证明，熟练掌握勾股定理的证明方法是解题的关键．31．（2023上·河南平顶山·八年级统考期中）阅读下列材料，并完成相应任务．勾股定理表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，是我国古代数学的骄傲，它神秘而美妙，证法多样，勾股定理的验证过程多数采用的方法是“用两种不同的方法和含有a,b,c的式子表示同一个图形的面积”，由于同一个图形的面积相等，从而得到含a，b,c的恒等式，通过化简即可完成勾股定理的验证．数学上把这种方法称之为“双求法”．下面是利用“双求法”验证勾股定理的一种思路：如图1，将两个全等的直角三角形△ABC与△DAE如图摆放，其中∠ACB=∠DEA=90°,BC=AE=a,AC=DE=b,AB=AD=c．连接BD，过点D作BC延长线的垂线，垂足为F．容易得出：DF=CE,∠BAD=90°,S四边形ABCD(1)任务一：请你根据上述材料中的思路验证勾股定理；(2)任务二：请你用“双求法”解决下列问题：如图2，△ABC中，∠ACB=90°,CD是AB边上的高，若AC=10+2【答案】(1)证明见解析；(2)23【分析】（1）利用面积和差即可求证；（2）由勾股定理的应用及等面积法即可求解；本题考查了勾股定理的证明及应用、三角形的面积等知识，理解材料信息，掌握勾股定理的证明是解题的关键．【详解】（1）由S△ABCS△ABD∴12化简得：a2（2）在Rt△ABCA=(=12+220=24，∴AB=24由12∴CD=10七．勾股定理的证明方法（共3小题）32．（2023上·河南郑州·八年级校考阶段练习）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后世也称“赵爽弦图”（如左图所示），实际上，赵爽弦图与完全平方公式有着密切的联系．如图是由8个全等的直角三角形拼成，其中直角边分别为a，b，请回答以下问题：(1)如右图，正方形ABCD的面积是_______，正方形IJKL的面积是_______；（用含a，b的式子表示）；(2)记正方形ABCD的面积、正方形EFGH、正方形IJKL的面积分别为S1,S2,S3，若S【答案】(1)a+b2，(2)a-b【分析】（1）根据图形得出方形ABCD的边长为a+b，正方形IJKL的边长为a-b，再根据正方形面积公式，即可求解；（2）由图可得S1=8S△AEH+a-b2，S【详解】（1）解：由图可知：正方形ABCD的边长为a+b，正方形IJKL的边长为a-b，∴正方形ABCD的面积是a+b2，正方形IJKL的面积是a-b故答案为：a+b2，a-b（2）解：由图可知：S1S2S3∵S1∴8S整理得：12S∵S△AEH∴12×3+3a-b解得：a-b2【点睛】本题主要考查了“赵爽弦图”和完全平方公式，解题的关键是仔细观察图形，根据图形得出数量关系．33．（2023上·浙江·八年级专题练习）“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的大正方形．赵爽利用几何图形的截、割拼、补来证明代数式之间的恒等关系，在验明勾股定理，为中国古代以形证数形数统一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范．

(1)如图1所示，是小华制作的一个“赵爽弦图”纸板，其直角三角形的短直角边BC的长为1．若中间小正方形黑色的面积占总面积的15，求直角三角形的长直角边AC(2)小华将刚刚制作的“赵爽弦图”纸板中的四个直角三角形中长直角边分别向外延长一倍，得到如图2所示的“数学风车”，求这个风车的周长．【答案】(1)2(2)8+4【分析】（1）将大正方形面积设出来，利用面积占比表示出小正方形面积，从而得到三角形面积，即可得到AC，从而得出CD，再利用CD（2）利用AC求出AE，再利用勾股定理求出BE，依次相加即可求解．【详解】（1）解：如图，

设大正方形面积为5x∴AB=5∵小正方形的面积占总面积的15∴小正方形面积为x2∴CD=x，∵四个直角三角形全等，∴AD=BC=1，∴AC=AD+CD=x+1，在Rt△ABCAC即x+12解得：x=-12（舍)或∴AC=x+1=1+1=2；（2）解：如图，

∵四个直角三角形中长直角边分别向外延长一倍，∴AE=AC=2，∴CE=AC+AE=4，在Rt△BCEBE=B这个风车的周长为：4×(AE+BE)=8+417【点睛】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是设未知数求出CD，再依次求出AE，BE．34．（2023下·江西上饶·八年级统考阶段练习）课本再现（1）如图1，四个全等的直角三角形拼成－一个大正方形，中间空白部分也是正方形．已知直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c．课堂上，老师结合图形，用不同的方式表示大正方形的面积，证明了勾股定理．请证明：a类比迁移（2）现将图1中的两个直角三角形向内翻折，得到图2，若a=3，b=4，则空白部分的面积为．方法运用（3）小贤将四个全等的直角三角形拼成图3的“帽子”形状，若AH=3，BH=4，请求出“帽子”外围轮廓（实线）的周长．（4）如图4，分别以Rt△ABC的三条边向外作三个正方形，连接EC，BG，若设S△EBC=S1，S△BCG=S2，S【答案】（1）见解析；（2）13；（3）20；（4）2(【分析】（1）用两种方法求出正方形的面积，即可求解；（2）根据S空白（3）求出BI=2，进而求出BC=2.5，CD=2.5，即可求解；（4）过点E作EM⊥BM，过点G作GN⊥CN，表示出EM=BE⋅ABBC，【详解】（1）SS∴a∴a（2）∵a=3，b=4∴c=5∴S（3）∵AH=3，BH=4∴AB=5∵△AHB≌△AID∴AI=AH=3∴BI=2由图易证：△AHB∽△CIB∴BI即：2∴BC=2.5∴根据勾股定理得：CI=1.5∴CD=2.5∴AB+BC+CD=10∴根据对称性可知：“帽子”外围轮廓（实线）的周长为：2（4）如图：过点E作EM⊥BM，过点G作GN⊥CN，∵△EMB∽△BAC∴EM∴EM=∵△GNC∽△CAB∴GN∴GN=∴SS∵A∴2(∴2(【点睛】本题考查勾股定理的几何应用，解题的关键是能够根据题目的条件，进行推理．35．（2023下·山西大同·七年级统考开学考试）回看古人数学成就，领略数学先贤智慧．认真阅读并理解下面的材料，完成填空．材料一：勾股定理，被称为“几何学的基石”．在一个直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方，这个结论就是勾股定理．在古时候，我国数学家称直角三角形为勾股形，较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．成书于公元前1世纪的《周髀算经》中有“勾三股四弦五”的记载，意思是在一个直角三角形中，如果较短直角边的长度为3，较长直角边的长度为4，斜边的长度则为5（如图1），可根据勾股定理32材料二：在西方，最早提出并证明勾股定理的是古希腊的毕达哥拉斯，因此也被称为毕达哥拉斯定理．他根据勾股定理，在初始的大正方形上，做出了两个相邻的小正方形，两个相邻的小正方形面积的和等于相邻的一个大正方形的面积（如图2），再以此类推，无限重复地做出各种大小不一的正方形，就形成了茂密的“毕达哥拉斯树”（如图3）．

(1)在一个直角三角形中，如果两条直角边的长度分别为6厘米和8厘米，根据勾股定理：62+82=（

(2)如图4所示，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．其中，最大的正方形的边长是7厘米，则正方形A、B、C、D的面积和是（

）平方厘米．【答案】(1)10，10；(2)49．【分析】（1）在一个直角三角形中，如果两条直角边的长度分别为6厘米和8厘米，根据勾股定理：62（2）根据材料二可得：A+B+C+D=最大正方形面积．【详解】（1）62故答案为：10，10；（2）根据材料二可得：A+B=E，C+D=F，E+F=7

∴A+B+C+D=E+F=49，故答案为：49．【点睛】此题考查了勾股定理，理解勾股定理的意义及“毕达哥拉斯树”的特征是解决本题的关键．八．利用勾股定理构建图形解决实际问题（共4小题）36．（2022上·河南郑州·八年级校联考期末）勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一，它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷．(1)证明勾股定理据传当年毕达哥拉斯借助如图所示的两个图验证了勾股定理，请你说说其中的道理．(2)应用勾股定理①应用场景1——在数轴上画出表示无理数的点．如图1，在数轴上找出表示4的点A，过点A作直线l垂直于DA，在l上取点B，使AB=2，以点D为圆心，DB为半径作弧，则弧与数轴的交点C表示的数是______．②应用场景2——解决实际问题．如图2，郑州某公园有一秋千，秋千静止时，踏板离地的垂直高度BE=0.5m，将它往前推2m至C处时，水平距离CD=2m，踏板离地的垂直高度CF=1.5【答案】(1)见解析(2)①13+1；②绳索AC的长为【分析】（1）用含a、b的式子表示2个图中空白部分的面积，即可得出结论；（2）①根据勾股定理求出DB，根据实数与数轴解答即可．②设秋千的绳索长为xm，根据题意可得AD=x-1m【详解】（1）解：由左图可知：a+b2=4×1由右图可知：a+b2=a∴a∴c即在直角三角形中斜边的平方等于两直角边的平方和．（2）解：①在Rt△DBA∵DB=D∴DC=13∴点C表示的数是13+1故答案为：13+1②∵CF=1.5m，BE=0.5∴DB=1m设秋千的绳索长为xm，根据题意可得AD=利用勾股定理可得22解得：x=2.5．答：绳索AC的长为2.5m【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，正确理解题意，掌握直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方是解题的关键．37．（2023上·广东佛山·八年级校联考期中）阅读下面材料：实际问题：如图（1），一圆柱的底面半径为5cm，BC是底面直径，高AB为5cm，求一只蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到点C的最短路线，小明设计了两条路线．

解决方案：路线1：侧面展开图中的线段AC，如图（2）所示：这路线一的长度为l1；则l路线2：高AB+底面直径BC，如图（1）所示：设路线2的长度为l2：则l为比较l1和l2的大小，我们采用“作差法∵l1∴l1∴l1小明认为应选择路线2较短．(1)问题类比：小亮对上述结论有些疑惑，于是他把条件改成：“圆柱的底面半径为1cm，高AB为5cm”请你用上述方法帮小亮比较出l1与l(2)问题拓展：请你帮他们继续研究：在一般情况下，当圆柱的底面半径为rcm时，高为hcm，蚂蚁从A点出发沿圆柱表面爬行到点C，当rh(3)问题解决：如图（3）为两个相同的圆柱紧密排列在一起，高为5cm，当蚂蚁从点A出发，沿圆柱表面爬行到C点的两条路线长度相等时，求圆柱的底面半径r．（注：按上面小明所设计的两条路线方式）【答案】(1)l(2)当rh>4π2(3)当圆柱的底面半径r为10π2-4厘米时，蚂蚁从点A【分析】（1）由阅读材料，可知路线1：l12=AC2=AB2+B（2）先根据阅读材料用含h、r的代数式分别表示l12、l22，再由（3）先根据阅读材料将h=5代入，用含r的代数式分别表示l12、l2【详解】（1）解：如图2：∵圆柱的底面半径为1cm，高AB为5cm，路线1：l1路线2：l2∵l1∴l1∴l1（2）解：如图2：∵圆柱的底面半径为rcm时，高为h路线1：l1路线2：l2∵l1∵r>0；∴rπ∴当rh>4π2（3）解：如图（3），圆柱的高为5厘米．l12=A由题意，得25+2πr2=所以当圆柱的底面半径r为10π2-4厘米时，蚂蚁从点A【点睛】本题主要考查了平面展开最短路径问、比较整式的大小、阅读能力等知识点，掌握数形集合思想和作差法是解答本题的关键．38．（2023下·黑龙江绥化·八年级校考期中）为了弘扬“社会主义核心价值观”，政府在广场树立公益广告牌，如图所示，为固定广告牌，在两侧加固钢缆，已知钢缆底端D距广告牌立柱距离CD为3米，从D点测得广告牌顶端A点和底端B点的距离分别是5米和32

(1)求公益广告牌的高度AB；(2)求∠BDC的度数．【答案】(1)公益广告牌的高度AB的长度为1(2)∠BDC=45°【分析】（1）利用勾股定理分别求出AC、（2）根据（1）所求可得BC=CD=3m，则△DBC是等腰直角三角形，即可得到∠BDC=45°【详解】（1）解：由题意得：AD=5在Rt△ADC中，由勾股定理得AC=在Rt△BDC中，由勾股定理得BC=∴AB=AC-BC=1（米），答：公益广告牌的高度AB的长度为1m（2）解：∵在直角三角形BDC中，BC=CD=3m∴△DBC是等腰直角三角形，∴∠BDC=45°．【点睛】本题主要考查了勾股定理的实际应用，等腰直角三角形的性质与判定等等，利用勾股定理求出AC、39．（2022下·湖北咸宁·八年级校考期末）一辆装满货物的卡车，高2.5米，宽1.6米，要开进上边是半圆，下边是长方形的桥洞，如图所示，已知半圆的直径为2m，长方形的另一条边长是2.3(1)此卡车是否能通过桥洞？试说明你的理由．(2)为了适应车流量的增加，先把桥洞改为双行道，要使宽为1.2m，高为2.8【答案】(1)此卡车能通过桥洞，理由见解析(2)2.6【分析】本题考查了勾股定理的应用．明确线段之间的数量关系是解题的关键．（1）如图，记长方形宽的中点为B，圆心为O，取BA=0.8，过A作AD⊥AB交半圆于D，交半圆的直径为C，由勾股定理求CD的长，然后根据AD=AC+CD求AD，最后比较大小，然后进行判断作答即可；（2）如图2，同理（1），由题意知，OF=EC=1.2，BF+EF=2.8，则BF=0.5，由勾股定理求OB的长，进而可得CD的长，然后计算【详解】（1）解：此卡车能通过桥洞，理由如下；如图，记长方形宽的中点为B，圆心为O，取BA=0.8，过A作AD⊥AB交半圆于D，交半圆的直径为C，∴OC=AB=0.8，由勾股定理得，CD=O∴AD=AC+CD=2.9，∵2.9>2.5，∴此卡车能通过桥洞；（2）解：如图2，同理（1），由题意知，OF=EC=1.2，∴BF=0.5，由勾股定理得，OB=B∴CD=OA=1.3，∴2CD=2.6，∴桥洞的宽至少要增加到2.6m．40．（2021上·江西景德镇·八年级统考期中）如图，已知圆柱底面的周长为12，圆柱的高为8，在圆柱的侧面上，过点A，C嵌有一圈长度最短的金属丝．(1)现将圆柱侧面沿AB剪开，所得的圆柱侧面展开图是______．(2)如图①，求该长度最短的金属丝的长．(3)如图②，若将金属丝从点B绕四圈到达点A，则所需金属丝最短长度是多少？【答案】(1)A(2)20(3)8【分析】（1）由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题；（2）要求丝线的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，根据勾股定理计算即可；（3）若将金属丝从点B绕四圈到达点A，则所需金属丝最短长度是以周长及14的高为直角三角形的斜边长的4【详解】（1）解：因圆柱的侧面展开面为长方形，AC展开应该是两线段，且有公共点C．故选：A；（2）解：如图，把圆柱的侧面展开，得到矩形，则这圈金属丝的周长最小为2AC的长度．∵圆柱底面的周长12，圆柱的高AB=8，∴该长度最短的金属丝的长为2AC=28（3）解：若将金属丝从点B绕四圈到达点A，则所需金属丝最短长度是以周长及14的高为直角三角形的斜边长的4412【点睛】本题考查了平面展开-最短路径问题，解题的关键是掌握圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，高等于圆柱的高，本题就是把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．九．利用勾股定理解决几何体的最短距离问题（共6小题）41．如图，长方体盒子的长宽高分别为12cm，8cm，30cm，在AE中点M处有一滴蜜糖，有一只小虫从G【答案】25【分析】要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将长方体的侧面展开，然后利