寒假作业09因式分解（18道经典题型6道中考真题）-2024年八年级数学寒假培优练（人教版）

限时练习：40min完成时间：月日天气：寒假作业09因式分解1.因式分解的定义：把一个多项式化成了几个整式的积的形式，这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.2.因式分解的方法①提公因式法：pa+pb+pc=p(a+b+c).②运用公式法：a2b2=(a+b)(ab)；a2+2ab+b2=(a+b)2；a22ab+b2=(ab)2.补充：立方和公式：；立方差公式：.③十字相乘法：a2+(p+q)a+pq=(a+p)(a+q).注意：对于二次三项式的因式分解中，当公式法不能匹配时，十字相乘就是我们的首选方法.④分组分解法：ac+ad+bc+cd=a(c+d)+b(c+d)=(a+b)(c+d).注：分组方法往往不唯一，但殊途同归.3.因式分解的一般步骤①如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式.②在各项提出公因式以后或各项没有公因式的情况下，观察多项式的项数：2项式可以尝试运用公式法分解因式；3项式可以尝试运用公式法、十字相乘法分解因式；4项式及以上的可以尝试分组分解法分解因式.③分解因式必须分解到每一个因式都不能再分解为止.1．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（

）A．B．C．D．【答案】D【解析】A、是整式乘法，不是因式分解，故不合题意；B、是整式乘法，不是因式分解，故不合题意；C、没把一个多项式化为几个整式的积的形式，不是因式分解，故不合题意；D、是因式分解，故符合题意.故选D．2．下列因式分解正确的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】A、，故A不正确，不符合题意；B、，故B不正确，不符合题意；C、不是完全平方式，不能用完全平方式因式分解，故C不正确，不符合题意；D、，故D正确，符合题意；故选D．3．若多项式可分解为，则a+b的值为（）A．2 B．1 C． D．【答案】A【解析】∵可分解为，∴，∴，∴，，∴，故选A．4．下列各多项式中，能运用公式法分解因式的有（）（1）；（2）；（3）；（4）．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【解析】，故（1）符合题意；不能运用公式法分解因式，故（2）不符合题意；，故（3）符合题意；，不能运用公式法分解因式，故（4）不符合题意；所以能运用公式法分解因式的有（1）和（3），故选B.5．将因式分解，应提取的公因式是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】，∴提取的公因式为，故选A．6．若k为任意整数，且能被k整除，则k不可能是（

）A．50 B．97 C．98 D．100【答案】B【解析】，∴能被50，98，100整除，不能被97整除，故选B．7．分解因式：．【答案】【解析】，故答案为：．8．在有理数范围内因式分解：．【答案】【解析】.故答案为：．9．因式分解：(1)；(2)；(3)；(4).【解析】（1）；（2）；（3）；（4）.10．阅读理解：用“十字相乘法”因式分解：．．例如：．求：(1)；(2)．【解析】（1）根据题意，得，∴.（2）根据题意，得∴．11．已知三角形的三条边长分别为a、b、c，则代数式的值（

）A．小于零 B．等于零 C．大于零 D．不能确定【答案】A【解析】，∵为三角形的三边长，∴，∴．故选A．12．现在生活中人们已经离不开密码，如取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆．原理是：如对于多项式，因式分解的结果是，若取，时则各个因式的值是：，，，把这些值从小到大排列得到018162，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码．对于多项式，取，时，请你写出一个用上述方法产生的密码．【答案】【解析】，当，时，中；；，把它们从小到大排列得到．∴用上述方法产生的密码是：．故答案为：．13．由多项式乘以多项式的法则可以得到：，即：，我们把这个公式叫做立方和公式，同理：，我们把这个公式叫做立方差公式，请利用以上公式分解因式：.【答案】【解析】，故答案为：．14．阅读下列材料，并回答问题．利用完全平方公式，可以将多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法．运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行分解因式．例如：.根据以上材料，解答下列问题：(1)用多项式的配方法将化成的形式______；(2)下面是某位同学用配方法及平方差公式把多项式进行分解因式的解答过程：解：

步骤①

步骤②

步骤③

步骤④老师说，这位同学的解答过程中有错误，该同学的解答中开始出现错误的地方是从步骤______开始的，然后请你重新写出一个完整的、正确的解答过程；(3)通过上述材料的学习，证明：取任何实数时，多项式的值总为正数．【解析】（1），故答案为：．（2）该同学的解答中开始出现错误的地方是从步骤①开始的，完整的、正确的解答过程如下：．（3），，，，即取任何实数时，多项式的值总为正数．15．阅读下列文字与例题，并解答.将一个多项式分组进行因式分解后，可用提公因式法或公式法继续分解的方法称作分组分解法．例如：以下式子的分解因式的方法就称为分组分解法．分解因式：.原式.(1)试用“分组分解法”因式分解：；(2)已知四个实数，，，，满足，，且，，，同时成立；①当时，求的值；②当时，用含的代数式分别表示、、（直接写出答案即可）．【解析】（1）；（2）①当时，得，，，；②当时，，，，，，即，，，，，由，，得，，即，，，，，又由，，得，即，，即，或，，或，又，则，，．16．杨辉，南宋杰出的数学家和数学教育家．杨辉研究了二项式定理，并根据此定理研究了两数的立方和、立方差、三数的立方和等公式．方法提取数学学习活动，是在公式化体系的不断完善中进行的．我们已经学习了平方差公式，在平方差公式的基础上，可以对式子进行如下推导：．对于，称为立方差公式．公式推导（1）请参考“立方差公式”的推导过程推导立方和公式：．学以致用（2）请灵活运用公式进行因式分解：①；②；③=.【解析】（1）.（2）①原式；②原式；③原式=．17．阅读下列材料：对于多项式，如果我们把代入此多项式，发现的值为0，这时可以确定多项式中有因式；同理，可以确定多项式中有另一个因式，于是我们可以得到：．又如：对于多项式，发现当时，的值为0，则多项式有一个因式，我们可以设，解得，．于是我们可以得到：．请你根据以上材料，解答以下问题：(1)当______时，多项式的值为0，所以多项式有因式______，从而因式分解______；(2)以上这种因式分解的方法叫“试根法”，常用来分解一些比较复杂的多项式，请你尝试用试根法分解多项式：．【解析】（1）当时，多项式的值为0，所以多项式有因式，设，∴，，∴因式分解，故答案为：1，，；（2）当时，，∴有一个因式，当时，，∴设，∵，∴，∴，，即，∴．18．下面是某同学对多项式进行因式分解的过程.解：设原式

（第一步）

（第二步）

（第三步）

（第四步）回答下列问题：(1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的（

）A．提取公因式

B．平方差公式C．两数和的完全平方公式

D．两数差的完全平方公式(2)该同学因式分解的结果不彻底，请直接写出因式分解的最后结果___________________________．(3)模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解．【解析】（1），则运用了两数和的完全平方公式进行因式分解，故选C．（2），故答案为：．（3）设，原式．19．（2023·四川绵阳·中考真题）分解因式8a2－2=．【答案】2（2a＋1）（2a－1）【解析】8a2－2.20．（2023年河北省中考真题）若k为任意整数，则的值总能（

）A．被2整除 B．被3整除 C．被5整除 D．被7整除【答案】B【解析】，能被3整除，∴的值总能被3整除，故选B．21．（2023·四川雅安·中考真题）若，，则的值为．【答案】【解析】∵，，∴原式．故答案为：．22．（2023年黑龙江省绥化市中考真题）因式分解：．【答案】【解析】，故答案为：．23．（2023年浙江省嘉兴、舟山市中考真题）一个多项式，把它因式分解后有一个因式为，请你写出一个符合条件的多项式：．【答案】（答案不唯一）【解析】∵，因式分解后有一个因式为，∴这个多项式可以