第三章第七节第2课时　函数模型及其应用

第2课时函数模型及其应用【课程标准】1.了解指数函数、对数函数与一次函数增长速度的差异.2.理解“指数爆炸”“对数增长”“直线上升”等术语的含义.3.会选择合适的函数模型刻画现实问题的变化规律,了解函数模型在社会生活中的广泛应用.【考情分析】考点考法:高考命题常以指数、对数、幂函数及分段函数为载体,考查利用函数模型解决实际问题,与指数、对数函数相关的数学文化、社会热点等问题是高考热点,常以选择题形式出现.核心素养:直观想象、数学运算、数学建模【必备知识·逐点夯实】【知识梳理·归纳】1.三种函数模型的性质函数性质y=ax(a>1)y=logax(a>1)y=xn(n>0)在(0,+∞)上的增减性单调递增单调递增单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳2.常见的函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)=ax+b(a,b为常数,a≠0)二次函数模型f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)与反比例函数相关的模型f(x)=kx+b(k,b为常数且k与指数函数相关的模型f(x)=bax+c(a,b,c为常数,a>0且a≠1,b≠0)与对数函数相关的模型f(x)=blogax+c(a,b,c为常数,a>0且a≠1,b≠0)与幂函数相关的模型f(x)=axα+b(a,b,α为常数,a≠0,α≠0)【微点拨】函数模型应用问题的步骤(四步八字方针):审题,建模,解模,还原.【基础小题·自测】类型辨析改编易错高考题号12431.(多维辨析)(多选题)下列说法错误的是()A.某种商品进价为每件100元,按进价增加10%出售,后因库存积压降价,若按九折出售,则每件还能获利B.函数y=2x的函数值比y=x2的函数值大C.不存在x0,使ax0<x0nD.在(0,+∞)上,随着x的增大,y=ax(a>1)的增长速度会超过并远远大于y=xa(a>0)的增长速度【解析】选ABC.A打折出售的售价为100×(1+10%)×910=99(元).所以每件赔1×B当x=2时,2x=x2=4.×C如a=x0=12,n=14,×2.(必修第一册P152例6变条件)某校拟用一种喷雾剂对宿舍进行消毒,需对喷雾完毕后空气中每立方米药物残留量y(单位:毫克)与时间x(单位:时)的关系进行研究,为此收集部分数据并做了初步处理,得到如图散点图.现拟从下列四个函数模型中选择一个估计y与x的关系,则应选用的函数模型是()A.y=ax+bB.y=a·14x+b(C.y=xa+b(a>0)D.y=ax+bx(a>0,b【解析】选B.由题图可知,函数在(0,+∞)上单调递减,且散点分布在一条曲线附近,函数y=a·14x+b的图象为一条曲线,且当a>0时,该函数单调递减,3.(2021·全国甲卷)青少年视力是社会普遍关注的问题,视力情况可借助视力表测量.通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据,五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L=5+lgV.已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9,则其视力的小数记录法的数据约为(1010≈1.259)(A.1.5 B.1.2 C.0.8 D.0.6【解析】选C.由题意知,lgV=4.95=0.1,故V=100.1=11010≈0.4.(建错函数模型)生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本,某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为C(x)=12x2+2x+20(万元).1万件售价是20万元,为获取最大利润,该企业一个月应生产该商品数量为(A.36万件 B.18万件C.22万件 D.9万件【解析】选B.利润L(x)=20xC(x)=12(x18)2+142,当x=18时,L(x)有最大值【核心考点·分类突破】考点一用函数图象刻画变化过程[例1](多选题)该药物的血药浓度应介于最低有效浓度和最低中毒浓度之间.已知成人单次服用1单位某药物后,体内血药浓度及相关信息如图所示:根据图中提供的信息,下列关于成人使用该药物的说法中,正确的是()A.首次服用该药物1单位约10分钟后,药物发挥治疗作用B.每次服用该药物1单位,两次服药间隔小于2小时,一定会产生药物中毒C.每间隔5.5小时服用该药物1单位,可使药物持续发挥治疗作用D.首次服用该药物1单位3小时后,再次服用该药物1单位,不会发生药物中毒【解析】选ABC.从题中图象可以看出,首次服用该药物1单位约10分钟后药物发挥治疗作用,A正确;首次服用该药物1单位约1小时后的血药浓度达到最大值,当两次服药间隔小于2小时时,一定会产生药物中毒,B正确;服药5.5小时时,血药浓度等于最低有效浓度,此时再服药,血药浓度增加,可使药物持续发挥治疗作用,C正确;第一次服用该药物1单位4小时后与第2次服用该药物1单位1小时后,血药浓度之和大于最低中毒浓度,因此一定会发生药物中毒,D错误.【解题技法】判断实际问题变化过程的两种方法(1)构建函数模型法:当根据题意易构建函数模型时,先建立函数模型,再结合模型选图象;(2)验证法:根据实际问题中两变量的变化快慢等特点,结合图象的变化趋势,验证是否吻合,从中排除不符合实际的情况,选择出符合实际情况的答案.【对点训练】如图,在正方形ABCD中,AB=2,点M从点A出发,沿A→B→C→D→A的方向,以每秒2个单位长度的速度在正方形ABCD的边上运动;点N从点B出发,沿B→C→D→A→B的方向,以每秒1个单位长度的速度在正方形ABCD的边上运动.点M与点N同时出发,运动时间为t(单位:秒),△AMN的面积为f(t),规定A,M,N三点共线时其面积为零,则点M第一次到达点A时,y=f(t)的图象为()【解析】选A.根据题意,当0≤t≤1时,△AMN的面积为f(t)=12·2t·t=t2;当1<t≤2时,△AMN的面积为f(t)=12×2×[t(2t2)]=2t;当2<t≤3时,△AMN的面积为f(t)=12×2×[(2t4)(t2)]=t2;当3<t≤4时,△AMN的面积为f(t)=12×[2(2t=(4t)2,所以f(t)=t2,0≤考点二应用所给函数模型解决实际问题[例2](多选题)(2023·新高考Ⅰ卷)噪声污染问题越来越受重视,用声压级来度量声音的强弱,定义声压级Lp=20×lgpp0,其中常数不妨设p0(p0>0)是听觉下线阈值,p是实际声压.声源与声源的距离/m声压级/dB燃油汽车1060~90混合动力汽车1050~60电动汽车1040已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m处测得实际声压分别为p1,p2,p3,则()A.p1≥p2 B.p2>10p3C.p3=100p0 D.p1≤100p2【解析】选ACD.燃油汽车Lp1=20×lgp1p0∈[60,90],所以p1p同理p2p0=10Lpp3p0=10Lp对于A,由题表知Lp1≥Lp2,对于B,②÷③得,p2p3=10Lp2-Lp320∈[1对于C,p3p0=10Lp320=10对于D,①÷②得,p1p2=10Lp1-Lp220∈[100,102],所以p1【解题技法】求解已知函数模型解决实际问题的关注点(1)认清所给函数模型,弄清哪些量为待定系数.(2)根据已知利用待定系数法,确定模型中的待定系数.(3)利用该函数模型,借助函数的性质、导数等求解实际问题,并进行检验.【对点训练】我国物流行业蓬勃发展,极大地促进了社会经济发展和资源整合.已知某类果蔬的保鲜时间y(单位:小时)与储藏温度x(单位:℃)满足函数关系y=eax+b(a,b为常数),若该果蔬在6℃的保鲜时间为216小时,在24℃的保鲜时间为8小时,那么在12℃时,该类果蔬的保鲜时间为A.72小时 B.36小时C.24小时 D.16小时【解析】选A.当x=6时,e6a+b=216;当x=24时,e24a+b=8,则e6a+be24a+b=2168=27,整理可得e6a=13.于是eb=216×3=648,当x=12时,y=e12a+b考点三构造函数模型的实际问题角度1构造二次函数模型[例3]如图所示,一直角墙角,两边的长度足够长,在P处有一棵树与两墙的距离分别是am(0<a<12),4m,不考虑树的粗细,现在用16m长的篱笆,借助墙角围成一个矩形的花园ABCD.设此矩形花园的面积为Sm2,S的最大值为f(a),若将这棵树围在花园内,则函数u=f(a)的图象大致是()【解析】选C.设AD=xm,则CD=(16x)m,要将树围在矩形内,则x≥a,16-xS=x(16x)=(x8)2+64,x∈[a,12],若0<a≤8,则当x=8时,Smax=64,若8<a≤12,则当x=a时,Smax=a2+16a.综上有f(a)=64角度2构造指数函数、对数函数模型[例4]基本再生数R0与世代间隔T是某流行性传染病的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数,世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在该传染病初始阶段,可以用指数模型:I(t)=ert描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律,指数增长率r与R0,T近似满足R0=1+rT.有学者基于已有数据估计出R0=3.28,T=6.据此,在该传染病初始阶段,累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69)()A.1.2天 B.1.8天C.2.5天 D.3.5天【解析】选B.因为R0=3.28,T=6,R0=1+rT,所以r=3.28-16=0.38,所以I(t)=ert=e设在该传染病初始阶段,累计感染病例数增加1倍需要的时间为t1天,则e0.38(t+t1)=2e0.38t,所以e0所以t1=ln20.38≈0.69角度3构造函数f(x)=ax+bx(ab>0)[例5]智能辅助驾驶已开始得到初步应用,其自动刹车的工作原理是用雷达测出车辆与障碍物之间的距离,并结合车速转化为所需时间,当此距离等于报警距离时就开始报警,等于危险距离时就自动刹车.若将报警时间划分为4段,分别为准备时间t0与人的反应时间t1,系统反应时间t2,制动时间t3,相应的距离分别为d0,d1,d2,d3,如图所示.当车速为v(米/秒),且0<v≤33.3时,通过大数据统计分析得到表中给出的数据(其中系数k随地面湿滑程度等路面情况而变化,且1≤k≤2).阶段准备人的反应系统反应制动时间t0t1=0.8秒t2=0.2秒t3距离d0=10米d1d2d3=v2(1)请写出报警距离d(米)与车速v(米/秒)之间的函数关系式,并求当k=2时,当汽车达到报警距离时,若人和系统均未采取任何制动措施,仍以此速度行驶的情况下,汽车撞上固定障碍物的最短时间;(2)若要求汽车在k=1的路面上行驶时报警距离均小于50米,则汽车的行驶速度应限制在多少以下(单位:米/秒)?【解析】(1)由题意知,d(v)=d0+d1+d2+d3=10+0.8v+0.2v+v220k,即d(v)=10+v当k=2时,d(v)=10+v+v240,t(v)=d(v)v=10v+v40+1≥2×12+1=2,即以此速度行驶的情况下,汽车撞上固定障碍物的最短时间为2秒.(2)当k=1时,d(v)<50,即10+v+v2即v2+20v800<0,40<v<20,又0<v≤33.3,故0<v<20,所以汽车的行驶速度应限制在20米/秒以下.【解题技法】构建函数模型解决实际问题的步骤(1)建模:抽象出实际问题的数学模型;(2)推理、演算:对数学模型进行逻辑推理或数学运算,得到问题在数学意义上的解;(3)评价、解释:对求得的数学结果进行深入讨论,作出评价、解释,然后返回到原来的实际问题中去,得到实际问题的解.【对点训练】1.某乡村要修建一条100米长的水渠,水渠的过水横断面为底角为120°的等腰梯形(如图),水渠底面与侧面的修建造价均为每平方米100元,为了提高水渠的过水率,要使过水横断面的面积尽可能大,现有资金3万元,当过水横断面面积最大时,水渠的深度(即梯形的高)约为(参考数据:3≈1.732)()A.0.58米 B.0.87米C.1.17米 D.1.73米【解析】选B.如图设横断面为等腰梯形ABCD,BE⊥CD于E,∠BAD=∠ABC=120°,要使水横断面面积最大,则此时资金3万元都用完,则100×(AB+BC+AD)×100=30000,解得AB+BC+AD=3米,设BC=x,则AB=32x,BE=32x,CE=12故CD=3x,且0<x<32梯形ABCD的面积S=(3-2x+3-x)当x=1时,Smax=33此时BE=32≈0.即当过水横断面面积最大时,水渠的深度(即梯形的高)约为0.87米.2.(2023·朔州模拟)2022年6月5日上午10时44分,我国在酒泉卫星发射中心使用长征二号F遥十四运载火箭,将神舟十四号载人飞船和3名中国航天员送入太空.火箭在发射时会产生巨大的噪音,已知声音的声强级d(x)(单位:dB)与声强x(单位:W/m2)满足d(x)=10lgx10-12.若人交谈时的声强级约为50dB,且火箭发射时的声强与人交谈时的声强的比值约为109,则火箭发射时的声强级约为A.130dB B.140dBC.150dB D.160dB【