甘肃省天水市甘谷一中2025届高一数学第一学期期末考试试题含解析

甘肃省天水市甘谷一中2025届高一数学第一学期期末考试试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．全集，集合，则（）A. B.C. D.2．下列说法中，正确的是（）A.锐角是第一象限的角 B.终边相同的角必相等C.小于的角一定为锐角 D.第二象限的角必大于第一象限的角3．在边长为3的菱形中，，，则=（）A. B.-1C. D.4．已知U={2，3，4，5，6，7}，M={3，4，5，7}，N={2，4，5，6}，则（）A.

4，6

B.C

D.5．关于的一元二次不等式的解集为（）A.或 B.C.或 D.6．某食品的保鲜时间（单位：小时）与储存温度（单位：）满足函数关系（为自然对数的底数，为常数）若该食品在的保鲜时间是384小时，在的保鲜时间是24小时，则该食品在的保险时间是（）小时A.6 B.12C.18 D.247．方程的解所在的区间为（）A. B.C. D.8．把的图象上各点的横标缩短为原来的(纵坐标不变)，再把所得图象向右平移个单位长度，得到的图象，则（）A. B.C. D.9．命题“，”的否定为（）A.， B.，C， D.，10．已知向量，满足，，且，则（）A. B.2C. D.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．若“”是真命题，则实数的最小值为_____________.12．正方体ABCD－A1B1C1D1中，二面角C1－AB－C平面角等于________13．设、为平面向量，若存在不全为零的实数λ，μ使得λμ0，则称、线性相关，下面的命题中，、、均为已知平面M上的向量①若2，则、线性相关；②若、为非零向量，且⊥，则、线性相关；③若、线性相关，、线性相关，则、线性相关；④向量、线性相关的充要条件是、共线上述命题中正确的是（写出所有正确命题的编号）14．制造一种零件，甲机床的正品率为，乙机床的正品率为．从它们制造的产品中各任抽1件，则两件都是正品的概率是__________15．已知函数，关于方程有四个不同的实数解，则的取值范围为__________16．已知函数，且，则a的取值范围为________f（x）的最大值与最小值和为________.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥AB，PA⊥AC，AB⊥BC，，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点.（1）求证：平面BDE⊥平面PAC；（2）求二面角P－BC－A的平面角的大小.18．已知点A、B、C的坐标分别为、、，.（1）若，求角的值；（2）若，求的值.19．已知定义域为函数是奇函数.（1）求的值；（2）判断的单调性，并证明；（3）若，求实数的取值范围.20．（1）计算（2）已知，求的值21．已知二次函数区间[0，3]上有最大值4，最小值0（1）求函数的解析式；（2）设．若在时恒成立，求k的取值范围

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、B【解析】先求出集合A,再根据补集定义求得答案.【详解】由题意，，则.故选：B.2、A【解析】根据锐角的定义，可判定A正确；利用反例可分别判定B、C、D错误，即可求解.【详解】对于A中，根据锐角的定义，可得锐角满足是第一象限角，所以A正确；对于B中，例如：与的终边相同，但，所以B不正确；对于C中，例如：满足，但不是锐角，所以C不正确；对于D中，例如：为第一象限角，为第二象限角，此时，所以D不正确.故选：A.3、C【解析】运用向量的减法运算，表示向量，再运用向量的数量积运算，可得选项.【详解】.故选:C.【点睛】本题考查向量的加法、减法运算，向量的线性表示，向量的数量积运算，属于基础题.4、B【解析】利用交、并、补集运算，对答案项逐一验证即可【详解】,A错误={2，3，4，5，6，7}=，B正确

{3，4，5，7}，C错误，，D错误故选：B【点睛】本题考查集合的混合运算，较简单5、A【解析】根据一元二次不等式的解法，直接求解，即可得出结果.【详解】由得，解得或.即原不等式的解集为或.故选：A.6、A【解析】先阅读题意，再结合指数运算即可得解.【详解】解：由题意有，，则，即，则，即该食品在的保险时间是6小时，故选A.【点睛】本题考查了指数幂的运算，重点考查了解决实际问题的能力，属基础题.7、C【解析】将方程转化为函数的零点问题，根据函数单调性判断零点所处区间即可.【详解】函数在上单增，由，知，函数的根处在里，故选：C8、C【解析】根据三角函数的周期变换和平移变换的原理即可得解.【详解】解：把的图象上各点的横标缩短为原来的(纵坐标不变)，可得的函数图像，再把所得图象向右平移个单位长度，可得函数，所以.故选：C.9、B【解析】根据特称命题的否定为全称命题可得.【详解】根据特称命题的否定为全称命题，可得命题“，”的否定为“，”故选：B.10、B【解析】根据向量数量积模的公式求，再代入模的公式，求的值.【详解】因为，所以，则，所以，故故选：B二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、1【解析】若“”是真命题，则大于或等于函数在的最大值因为函数在上为增函数，所以，函数在上的最大值为1，所以，，即实数的最小值为1.所以答案应填:1.考点：1、命题；2、正切函数的性质.12、45°【解析】解：如图，设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，以DA为x轴，以DC为y轴，以DD1为z轴，建立空间直角坐标系，则A（1，0，0），B（1，1，0），C1（0，1，1），∴=(0，1，0)，=(-1，1，1)，设面ABC1的法向量为=(x，y，z)，∵•=0，•=0，∴y=0，-x+y+z=0，∴=(1，0，1)，∵面ABC的法向量=(0，0，1)，设二面角C1-AB-C的平面角为θ，∴cosθ=|cos＜，＞|=，∴θ=45°，答案为45°考点：二面角的平面角点评：本题考查二面角的平面角及求法，是基础题．解题时要认真审题，注意向量法的合理运用13、①④【解析】利用和线性相关等价于和是共线向量，故①正确，②不正确，④正确．通过举反例可得③不正确【详解】解：若、线性相关，假设λ≠0，则，故和是共线向量反之，若和是共线向量，则，即λμ0，故和线性相关故和线性相关等价于和是共线向量①若2，则20，故和线性相关，故①正确②若和为非零向量，⊥，则和不是共线向量，不能推出和线性相关，故②不正确③若和线性相关，则和线性相关，不能推出若和线性相关，例如当时，和可以是任意的两个向量．故③不正确④向量和线性相关的充要条件是和是共线向量，故④正确故答案为①④【点睛】本题考查两个向量线性相关的定义，两个向量共线的定义，明确和线性相关等价于和是共线向量，是解题的关键14、【解析】由独立事件的乘法公式求解即可.【详解】由独立事件的乘法公式可知，两件都是正品的概率是.故答案为：15、【解析】作出的图象如下：结合图像可知，，故令得：或，令得：，且等号取不到，故，故填.点睛：一般讨论函数零点个数问题，都要转化为方程根的个数问题或两个函数图像交点的个数问题，本题由于涉及函数为初等函数，可以考虑函数图像来解决，转化为过定点的直线与抛物线变形图形的交点问题，对函数图像处理能力要求较高.16、①.②.2【解析】由结合，即可求出a的取值范围；由，知关于点成中心对称，即可求出f（x）的最大值与最小值和.【详解】由，，所以，则故a的取值范围为.第（2）空:由，知关于点成中心对称图形，所以.故答案为：；.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）见解析（2）【解析】（1）由线面垂直的判定定理可得平面，从而可得，证明，再根据线面垂直的判定定理可得平面PAC，再根据面面垂直的判定定理即可得证；（2）由线面垂直的性质可得，再根据线面垂直的判定定理可得平面，则有，从而可得即为二面角P－BC－A的平面角，从而可得出答案.【小问1详解】证明：因为PA⊥AB，PA⊥AC，，所以平面，又因平面，所以，因为D为线段AC的中点，，所以，又，所以平面PAC，又因为平面BDE，所以平面BDE⊥平面PAC；【小问2详解】解：由（1）得平面，又平面，所以，因为AB⊥BC，，所以平面，因为平面，所以，所以即为二面角P－BC－A平面角，中，，所以，所以，即二面角P－BC－A的平面角的大小为.18、（1）；（2）【解析】（1）根据两向量的模相等，利用两点间的距离公式建立等式求得的值，根据的范围求得；（2）根据向量的基本运算根据，求得和的关系式，然后用同角和与差的关系可得到，再由化简可得，进而可确定答案【详解】（1）∵，∴化简得，∵，∴（2）∵，∴，∴，∴，∴【点睛】本题主要考查两角和与差的基本关系和三角与向量的综合题19、（1）（2）增函数，证明见解析（3）或【解析】（1）由求出，再验证此时为奇函数即可；（2）将的解析式分离常数后可判断出单调性,再利用增函数的定义可证结论成立；（3）利用奇函数性质化为，再利用增函数性质可求出结果.【小问1详解】因为是上的奇函数，所以，即，此时，，所以为奇函数，故.【小问2详解】由（1）知，为上的增函数，证明：任取，且，则，因为，所以，即，又，所以，即，根据增函数的定义可得为上的增函数.【小问3详解】由得，因为为奇函数，所以，因为为增函数，所以，即，所以或.20、(1)；(2)3.【解析】(1)由题意结合对数的运算法则和对数恒等式的结论可得原式的值为；(2)令，计算可得原式.试题解析：（1）;(2)设则，所以

.21、（1）；（2）.【解析】（1）根据二次函数的性质讨论对称轴，即可求解最值，可得解析式（2）求解的解析式，令，则，问题转化为当