第24节 直线、平面平行的判定与性质（解析版）

第24节直线、平面平行的判定与性质基础知识要夯实1.直线与平面平行(1)直线与平面平行的定义直线l与平面α没有公共点，则称直线l与平面α平行.(2)判定定理与性质定理文字语言图形表示符号表示判定定理平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线平行于此平面a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α性质定理一条直线和一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b2.平面与平面平行(1)平面与平面平行的定义没有公共点的两个平面叫做平行平面.(2)判定定理与性质定理文字语言图形表示符号表示判定定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行a⊂α，b⊂α，a∩b＝P，a∥β，b∥β⇒α∥β性质定理两个平面平行，则其中一个平面内的直线平行于另一个平面α∥β，a⊂α⇒a∥β如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b核心素养要做实考点一直线与平面平行的判定与性质【例1】在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，E，F分别是线段AD，PB的中点，PA＝AB＝1.(1)证明：EF∥平面PDC；(2)求点F到平面PDC的距离.【解析】(1)证明取PC的中点M，连接DM，MF，∵M，F分别是PC，PB的中点，∴MF∥CB，MF＝CB，∵E为DA的中点，四边形ABCD为正方形，∴DE∥CB，DE＝CB，∴MF∥DE，MF＝DE，∴四边形DEFM为平行四边形，∴EF∥DM，∵EF⊄平面PDC，DM⊂平面PDC，∴EF∥平面PDC.(2)解∵EF∥平面PDC，∴点F到平面PDC的距离等于点E到平面PDC的距离.∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥DA，在Rt△PAD中，PA＝AD＝1，∴DP＝.∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CB，∵CB⊥AB，PA∩AB＝A，∴CB⊥平面PAB，∴CB⊥PB，则PC＝，∴PD2＋DC2＝PC2，∴△PDC为直角三角形，∴S△PDC＝×1×＝.连接EP，EC，易知VE－PDC＝VC－PDE，设E到平面PDC的距离为h，∵CD⊥AD，CD⊥PA，AD∩PA＝A，∴CD⊥平面PAD，则×h×＝×1×××1，∴h＝，∴点F到平面PDC的距离为.【例2】如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱长为2，E，F分别是棱DD1，C1D1的中点.(1)求三棱锥B1－A1BE的体积；(2)试判断直线B1F与平面A1BE是否平行，如果平行，请在平面A1BE上作出与B1F平行的直线，并说明理由.【解析】(1)如图所示，VB1－A1BE＝VE－A1B1B＝S△A1B1B·DA＝××2×2×2＝.(2)B1F∥平面A1BE.延长A1E交AD延长线于点H，连BH交CD于点G，则BG就是所求直线.证明如下：因为BA1∥平面CDD1C1，平面A1BH∩平面CDD1C1＝GE，所以A1B∥GE.又A1B∥CD1，所以GE∥CD1.又E为DD1的中点，则G为CD的中点.故BG∥B1F，BG就是所求直线.【方法技巧】1.利用判定定理判定线面平行，关键是找平面内与已知直线平行的直线.常利用三角形的中位线、平行四边形的对边或过已知直线作一平面找其交线.2.在解决线面、面面平行的判定时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而在应用性质定理时，其顺序恰好相反.【跟踪训练】1.(2020·江苏卷)如图，在三棱锥A－BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E，F(E与A，D不重合)分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD.求证：(1)EF∥平面ABC；(2)AD⊥AC.【解析】(1)在平面ABD内，AB⊥AD，EF⊥AD，则AB∥EF.∵AB⊂平面ABC，EF⊄平面ABC，∴EF∥平面ABC.(2)∵BC⊥BD，平面ABD∩平面BCD＝BD，平面ABD⊥平面BCD，BC⊂平面BCD，∴BC⊥平面ABD.∵AD⊂平面ABD，∴BC⊥AD.又AB⊥AD，BC，AB⊂平面ABC，BC∩AB＝B，∴AD⊥平面ABC，又因为AC⊂平面ABC，∴AD⊥AC.考点二面面平行的判定与性质【例2】如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：(1)B，C，H，G四点共面；(2)平面EFA1∥平面BCHG.【解析】(1)∵G，H分别是A1B1，A1C1的中点，∴GH是△A1B1C1的中位线，则GH∥B1C1.又∵B1C1∥BC，∴GH∥BC，∴B，C，H，G四点共面.(2)∵E，F分别为AB，AC的中点，∴EF∥BC，∵EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，∴EF∥平面BCHG.又G，E分别为A1B1，AB的中点，A1B1綉AB，∴A1G綉EB，∴四边形A1EBG是平行四边形，∴A1E∥GB.∵A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG，∴A1E∥平面BCHG.又∵A1E∩EF＝E，∴平面EFA1∥平面BCHG.【方法技巧】1.判定面面平行的主要方法(1)利用面面平行的判定定理.(2)线面垂直的性质(垂直于同一直线的两平面平行).2.面面平行条件的应用(1)两平面平行，分析构造与之相交的第三个平面，交线平行.(2)两平面平行，其中一个平面内的任意一条直线与另一个平面平行.提醒利用面面平行的判定定理证明两平面平行，需要说明是在一个平面内的两条直线是相交直线.【跟踪训练】1.如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，AB⊥AD，AB＝2CD＝2AD＝4，侧面PAB是等腰直角三角形，PA＝PB，平面PAB⊥平面ABCD，点E，F分别是棱AB，PB上的点，平面CEF∥平面PAD.(1)确定点E，F的位置，并说明理由；(2)求三棱锥F－DCE的体积.【解析】(1)因为平面CEF∥平面PAD，平面CEF∩平面ABCD＝CE，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以CE∥AD，又AB∥DC，所以四边形AECD是平行四边形，所以DC＝AE＝AB，即点E是AB的中点.因为平面CEF∥平面PAD，平面CEF∩平面PAB＝EF，平面PAD∩平面PAB＝PA，所以EF∥PA，又点E是AB的中点，所以点F是PB的中点.综上，E，F分别是AB，PB的中点.(2)连接PE，由题意及(1)知PA＝PB，AE＝EB，所以PE⊥AB，又平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD＝AB，所以PE⊥平面ABCD.又AB∥CD，AB⊥AD，所以VF－DEC＝VP－DEC＝S△DEC×PE＝××2×2×2＝.∴CE＝1.达标检测要扎实一、单选题1．设是直线，是平面，则能推出的条件是（

）A．存在一条直线，， B．存在一条直线，，C．存在一个平面，， D．存在一个平面，，【答案】C【解析】对于A，若，可满足，，但无法得到，A错误；对于B，若，可满足，，但无法得到，B错误；对于C，由面面平行的性质知：若，，则，C正确；对于D，若，可满足，，但无法得到，D错误.故选：C.2．如图，正方体中，E为AB中点，F在线段上.给出下列判断：①存在点F使得平面；②在平面内总存在与平面平行的直线；③平面与平面ABCD所成的二面角（锐角）的大小与点F的位置无关；④三棱锥的体积与点F的位置无关.其中正确判断的有（

）A．①② B．③④ C．①③ D．②④【答案】D【解析】对于①，假设存在F使得⊥平面，则⊥，又⊥，∩＝，∴⊥平面，则⊥，这与⊥矛盾，所以①错误；对于②，因为平面与平面相交，设交线为，则在平面内与平行的直线平行于平面，故②正确；对于③，以点为坐标原点，以所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间坐标系，则平面的法向量为而平面的法向量，随着位置变化，故平面与平面所成的二面角（锐角）的大小与点的位置有关，故③错误；对于④，三棱锥的体积即为三棱锥，因为∥平面，所以，当在线段上移动时，到平面的距离不变，故三棱锥的体积与点的位置无关，即④正确．故选：D．3．如图是长方体被一平面所截得到的几何体，四边形为截面，长方形为底面，则四边形的形状为（

）A．梯形 B．平行四边形C．可能是梯形也可能是平行四边形 D．矩形【答案】B【解析】因为平面//平面,且平面平面,平面平面,根据面面平行的性质可知//,同理可证明//.所以四边形为平行四边形.故选：B.4．如图，ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，则以下结论：①BD∥平面CB1D1；②AC1⊥BD；③AC1⊥平面CB1D1其中正确结论的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【解析】由正方体的性质得BD∥，所以结合线面平行的判定定理可得：BD∥平面；所以①正确.由正方体的性质得

AC⊥BD，⊥BD，可得⊥平面

，所以⊥BD，所以②正确.由正方体的性质得

BD∥，由②可得⊥BD，所以⊥，同理可得，进而结合线面垂直的判定定理得到：⊥平面

，所以③正确.故选：D.5．平面∥平面，，则直线和的位置关系（

）A．平行 B．平行或异面 C．平行或相交 D．平行或相交或异面【答案】B【解析】∵平面平面，∴平面与平面没有公共点∵，，∴直线，没有公共点∴直线，的位置关系是平行或异面，故选：B.6．如图，在正三棱台中，，，.，分别是，的中点，则（

）A．直线平面，直线与垂直B．直线平面，直线与所成角的大小是C．直线与平面相交，直线与垂直D．直线与平面相交，直线与所成角的大小是【答案】B【解析】取中点，连接，，由题意可知，，，所以平面平面，所以直线平面，取中点，中点，中点，连接，，，，，易知，，所以直线与直线所成角即为直线与所成角，在等腰梯形中，，，，可得，，，分别为，中点，所以，同理：，在等腰梯形中，，，，可得，在中，，，由余弦定理可得：，所以，即直线与直线所成角的大小是，因此直线与所成角的大小是，故选：B.7．给出以下四个命题，能判断平面α和平面β平行的条件是A．α内有无数条直线都与β平行 B．α内的任一条直线都与β平行C．直线，直线，且， D．直线，且【答案】B【解析】A.平面内有无数条直线与平面平行时，两个平面可能平行也可能相交，故A不满足条件；B.平面内的任何一条直线都与平面平行，则能够保证平面内有两条相交的直线与平面平行，故B满足条件；C.直线，直线，且，，则两个平面可能平行也可能相交，故C不满足条件；D.直线，且，则两平面可能相交或平行，故D不满足条件故选：B.8．如图，在棱长为的正方体中，点在线段上运动，则下列命题中错误的是（

）A．直线和平面所成的角为定值B．点到平面的距离为定值C．异面直线和所成的角为定值D．直线和平面平行【答案】A【解析】对A，由平面，当点分别在点或时，线面角不一致，故A错误；对B，由//,平面,平面,所以//平面，所以点到平面的距离为直线上任意点到平面的距离，故B正确对C，由平面即平面,,,平面，所以平面，所以，故C正确对D，由平面即平面，//，平面，平面，所以//平面，所以D正确故选：A二、多选题9．在正方体中，点P在线段上运动，则下列命题正确的是（

）A．异面直线和所成的角为定值B．直线和平面相交C．三棱锥的体积为定值D．直线和直线可能相交【答案】AC【解析】对于A，因为在正方体中，，，又，，平面，所以平面，而平面，所以，故这两个异面直线所成的角为定值90°，所以A正确；对于B，因为平面与面是同一平面，，平面，平面，故平面，即平面，故B错误；对于C，三棱锥的体积等于三棱锥的体积，而平面为固定平面，且大小一定，又因为，因为，平面，平面，所以平面，所以点A到平面的距离即为点P到该平面的距离，为定值，所以三棱锥的体积为定值，故C正确；对于D，直线和直线是异面直线，不可能相交，故D错误.故选：AC.

10．如图，已知四棱锥中，平，，，为中点，在上，，，则下列结论正确的是（

）A．面B．与平面所成角为30°C．四面体的体积为D．平面平面【答案】ACD【解析】对于A，连结，，因为，，所以，，故，同理可得，故，所以F为的中点，又E为的中点，故，又平面，平面，故平面，又因为，，所以，故，又平面，平面，故平面，又，，平面，所以平面平面，又平面，所以平面，故A正确；对于B，因为平面，所以与平面所成的角即为，因为，所以，则，又，故，故选项B错误；对于C，，因为平面，，所以平面，又，所以，故，故选项C正确；对于D，因为平面，平面，所以，又因为，，，平面，所以平面，又平面，所以平面平面，故选项D正确．故选：ACD．11．如图，在正四棱锥中，，，分别是，，的中点，动点在线段上运动时，下列四个结论中恒成立的为（

）.A． B． C．面 D．面【答案】AC【解析】如图所示，连接､相交于点，连接，.由正四棱锥，可得底面，，所以.因为，所以平面，因为，，分别是，，的中点，所以，，而，所以平面平面，所以平面，所以，故A正确；由异面直线的定义可知:与是异面直线，不可能，因此B不正确；平面平面，所以平面，因此C正确；平面，若平面，则，与相矛盾，因此当与不重合时，与平面不垂直，即D不正确.故选:AC.12．如图，已知正方体，则四个推断正确的是（

）A． B．C．平面平面 D．平面平面【答案】BCD【解析】在正方体中，对于A，由正方体的性质可知，所以即为异面直线与所成的角，在中显然，所以与成角，故A错误；对于B，，，，故B正确；对于C，，，、平面，、平面，∴平面，平面，又，平面平面，故C正确；对于D，，，，平面，所以平面，又平面平面平面，故D正确．故选：BCD．三、填空题13．已知，，是三条不同的直线，，，是三个不同的平面，有下列命题：①；②若，，则；③，，则；④直线，直线，那么；⑤若，，，则；⑥若，，则．其中正确的说法为______（填序号）【答案】①⑥【解析】对于①，根据平行的性质有：，即，故①正确；对于②，由得或相交，故②错误；对于③，由得，或异面，故③错误；对于④，由直线，直线，可得，异面，相交，故④错误；对于⑤，由，得或相交，故⑤错误；对于⑥，若，由面面平行的传递性得，故⑥正确，故答案为：①⑥.14．如图，正方体的棱长为1，，分别是棱，的中点，过直线的平面分别与棱，交于点，，设，给出下列四个结论：①四边形一定为菱形；②若四边形的面积为，，则有最大值；③若四棱锥的体积为，，则为单调函数；④设与交于点，连接，在线段上取点，在线段上取点，则的最小值为．其中所有正确结论的序号是________．【答案】①④【解析】①平面∥平面，平面平面＝EN，平面平面＝MF，．同理可证．四边形为平行四边形.连接MN、AC、BD、：∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，∵⊥平面ABCD，∴⊥AC，∵BD＝B，∴AC⊥平面，∵MN平面，∴AC⊥MN.∵EA与FC平行且相等，∴ACFE是平行四边形，∴AC∥EF，∴EF垂直MN，∴MEFN是菱形.故①正确．②四边形面积，EF为定值，当为B或时，即x＝0或x＝1时，最长，此时面积最大，但0＜x＜1，即M不能取线段的端点，∴四边形MENF面积无最大值．故②错误．③连结、、，则四棱锥被分割成两个小的三棱锥，它们是都以为底，以、分别为顶点的两个三棱锥．△的面积是一个定值.同②中证明AC⊥平面，也可证明BD⊥平面，则B到平面AEF的距离即为.∵B∥A，∴B∥平面AEF，∴M到平面AEF的距离即为B到平面AEF的距离，同理N到平面AEF的距离也为，∴、到平面的距离之和是定值BD，∴四棱锥的体积为常数．故③错误．④如图，将Rt沿着翻转到与矩形在同一平面，过作于Q，交于，则此时最短.过作于，则四边形是直角梯形，由题可知是中点，是梯形的中位线，∴设，设在中，，，，∴在中，∴.故④正确.故答案为：①④.15．已知直线m，n，平面α，β，若，，，则直线m与n的关系是___________【答案】平行或异面【解析】由题意，，，故直线m与n没有交点故直线m与n平行或异面故答案为：平行或异面16．如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，有以下结论：①平面DE；②平面AF；③平面平面AFN；④平面平面NCF.其中正确结论的序号是______.【答案】①②③④.【解析】如图，对①，因为，所以四边形是平行四边形，所以，而平面DE，平面DE，则平面DE.正确；对②，因为，所以四边形是平行四边形，所以，而平面AF，平面AF，则平面AF.正确；对③，因为，所以四边形是平行四边形，所以，又因为，所以四边形是平行四边形，所以，而，所以平面BDM∥平面AFN.正确；对④，因为，所以四边形是平行四边形，所以，同由③：，而，所以平面平面NCF.正确.故答案为：①②③④.四、解答题17．如图所示，已知四棱柱的底面为菱形.（1）证明：平面平面；（2）在直线上是否存在点，使平面？若存在，确定点的位置；若不存在，说