第22节 空间几何体的结构特征、三视图和直观图（解析版）

第22节空间几何体的结构特征、三视图和直观图基础知识要夯实1.空间几何体的结构特征(1)多面体的结构特征名称棱柱棱锥棱台图形底面互相平行且全等多边形互相平行且相似侧棱平行且相等相交于一点，但不一定相等延长线交于一点侧面形状平行四边形三角形梯形(2)旋转体的结构特征名称圆柱圆锥圆台球图形母线互相平行且相等，垂直于底面相交于一点延长线交于一点轴截面全等的矩形全等的等腰三角形全等的等腰梯形圆侧面展开图矩形扇形扇环2.直观图空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是：(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°(或135°)，z′轴与x′轴、y′轴所在平面垂直.(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别平行于坐标轴.平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半.3.空间几何体的表面积与体积公式名称几何体表面积体积柱体(棱柱和圆柱)S表面积＝S侧＋2S底V＝S底h锥体(棱锥和圆锥)S表面积＝S侧＋S底V＝eq\f(1,3)S底h台体(棱台和圆台)S表面积＝S侧＋S上＋S下V＝eq\f(1,3)(S上＋S下＋eq\r(S上S下))h球S＝4πR2V＝eq\f(4,3)πR33．空间几何体的三视图空间几何体的三视图是用正投影得到，这种投影下与投影面平行的平面图形留下的影子与平面图形的形状和大小是完全相同的，三视图包括主视图、左视图、俯视图．[难点正本疑点清源]1．正棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱叫作直棱柱，底面是正多边形的直棱柱叫作正棱柱．反之，正棱柱的底面是正多边形，侧棱垂直于底面，侧面是矩形．2．正棱锥：底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面正多边形的中心的棱锥叫作正棱锥．特别地，各棱均相等的正三棱锥叫正四面体．反过来，正棱锥的底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面正多边形的中心．3．空间几何体的数量关系也体现在三视图中，主视图和左视图的“高平齐”，主视图和俯视图的“长对正”，左视图和俯视图的“宽相等”．其中，主视图、左视图的高就是空间几何体的高，主视图、俯视图中的长就是空间几何体的最大长度，左视图、俯视图中的宽就是空间几何体的最大宽度．要尽量按照这个规则画空间几何体的三视图．基本技能要落实考点一空间几何体的结构特征【例1】(1)给出下列命题：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；②直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥；③棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等.其中正确命题的个数是()A.0 B.1 C.2 D.3(2)给出下列命题：①棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形；②在四棱柱中，若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；③存在每个面都是直角三角形的四面体；④棱台的侧棱延长后交于一点.其中正确命题的序号是________.【答案】(1)A(2)②③④【解析】(1)①不一定，只有当这两点的连线平行于轴时才是母线；②不一定，当以斜边所在直线为旋转轴时，其余两边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥，如图所示，它是由两个同底圆锥组成的几何体；③错误，棱台的上、下底面相似且是对应边平行的多边形，各侧棱延长线交于一点，但是侧棱长不一定相等.(2)①不正确，根据棱柱的定义，棱柱的各个侧面都是平行四边形，但不一定全等；②正确，因为两个过相对侧棱的截面的交线平行于侧棱，又垂直于底面；③正确，如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中的三棱锥C1－ABC，四个面都是直角三角形；④正确，由棱台的概念可知.【方法技巧】1.关于空间几何体的结构特征辨析关键是紧扣各种空间几何体的概念，要善于通过举反例对概念进行辨析，即要说明一个命题是错误的，只需举一个反例.2.圆柱、圆锥、圆台的有关元素都集中在轴截面上，解题时要注意用好轴截面中各元素的关系.3.既然棱(圆)台是由棱(圆)锥定义的，所以在解决棱(圆)台问题时，要注意“还台为锥”的解题策略.【跟踪训练】1.下列命题正确的是()A.两个面平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台B.两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台C.以直角梯形的一条直角腰所在的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体是圆台D.用平面截圆柱得到的截面只能是圆和矩形【答案】C【解析】如图所示，可排除A，B选项.只有截面与圆柱的母线平行或垂直，则截得的截面为矩形或圆，否则为椭圆或椭圆的一部分.考点二空间几何体的直观图【例2】安徽省黄山市屯溪第一中学2020-2020学年高三上学期期中考试数学（理)试题】水平放置的，用斜二测画法作出的直观图是如图所示的，其中，，则绕所在直线旋转一周后形成的几何体的表面积为()A． B． C． D．【答案】B【解析】本题考查了平面图形的直观图问题，也考查了旋转体的表面积求法.根据“斜二测画法”可得AO=BO=2，OC=2，∴AC=BC==4，如图所示，∴△ABC是边长为4的等边三角形；△ABC绕AB所在直线旋转一周后形成的几何体是两个相同圆锥的组合体，它的表面积为S=2πrl=2π×2×4=16π．故答案为：B【方法技巧】1.画几何体的直观图一般采用斜二测画法，其规则可以用“斜”(两坐标轴成45°或135°)和“二测”(平行于y轴的线段长度减半，平行于x轴和z轴的线段长度不变)来掌握.2.按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的面积的关系：S直观图＝S原图形.【跟踪训练】如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是()A.2＋ B. C. D.1＋【答案】A【解析】恢复后的原图形为一直角梯形，所以S＝(1＋＋1)×2＝2＋.故选A.考点三空间几何体的三视图【例3】在一个几何体的三视图中，主视图和俯视图如图所示，则相应的左视图可以为 【答案】A【跟踪训练】1.如图是一个物体的三视图，则此三视图所描述物体的直观图是 ()【答案】D达标检测要扎实一、单选题1．已知一个侧棱均相等的三棱锥的三视图(如图)，根据图中标出尺寸(单位：)，可得这个三棱锥的体积是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由三视图可画出三棱锥的直观图，如下在三棱锥中，，，，，平面，，，，中，所以.故选:C.2．若某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最长棱的棱长为A．B．C．D．【答案】A【解析】根据三视图知，该几何体是一个正四棱锥，画出图形如图所示；则，，底面CDEB，结合图形中的数据，求得，在中，由勾股定理得，同理求得，．故选A．3．如图，在三棱柱中，侧棱底面，且是正三角形，若点P是上底面内的任意一点，则三棱锥的正视图与侧视图的面积之比为（

）（注：以垂直于平面的方向为正视图方向）A． B． C．1 D．【答案】D【解析】a，高为h，则三棱锥的正视图是以底为，高为的三角形，其面积为，三棱锥的侧视图是以底为高为的三角形，其面积为，则所求面积比为，故选：D.4．若一个平面图形的斜二测直观图是一个边长为2的正方形（如图），则原图的周长为（）A． B．16 C． D．【答案】B【解析】由题意，平面图形的斜二测直观图是一个边长为2的正方形，所以原图形是一个平行四边形，斜二测画法中平行于轴的边长在原图中长度为2，斜二测画法中与轴垂直的边长在原图中的长度为，则原图形的周长为2+2+6+6＝16．故选：B．5．某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为V，该几何体所有棱的棱长之和为L，则（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】在如图所示的正方体中，P，E分别为的中点，该几何体为四棱锥，且平面．由三视图可知，则，则．故选：A.6．如图，一个水平放置的图形的直观图是一个等腰直角三角形，斜边长，那么原平面图形的面积是（）A．2 B． C． D．【答案】B【解析】根据斜二测画法可得原图形为如图所示，因为是等腰直角三角形，根据斜二测画法可得为直角三角形，，，，所以原平面图形的面积是.故选：B.7．某三棱柱的底面为正三角形，其三视图如图所示，该三棱柱的表面积为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】根据三视图得该三棱柱的底面边长为，高为，如图，所以三棱柱的表面积为：.故选：C.8．水平放置的有一边在水平线上，它的斜二测直观图是边长为2的正，则的面积是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意，.且故故选：C二、多选题9．下列说法不正确的是（

）A．有两个面平行，其余各面都是梯形的几何体是棱台B．圆柱的任意两条母线互相平行C．四棱柱是平行六面体D．菱形的直观图是菱形【答案】ACD【解析】对于A中，由棱台的定义，可得棱台的所有侧棱交于一点，所以有两个面平行，其余各面都是梯形的几何体不一定是棱台，所以A不正确；对于B中，根据圆柱的定义可得棱柱的所有母线都相互平行，所以B正确；对于C中，底面为平行四边形的棱柱才是平行六面体，所以C不正确；对于D中，根据斜二测画法的规则可得菱形的直观图为平行四边形，不一定是菱形，所以D不正确.故选：ACD10．如图所示的是水平放置的三角形直观图，是中边上的一点，且，又轴，那么原的、、三条线段中（

）A．最长的是B．最长的是C．最短的是D．最短的是【答案】AD【解析】由题意得到原的平面图为：其中，，，∴，∴的、、三条线段中最长的是，最短的是，故选：AD.11．利用斜二测画法得到的下列结论中正确的是（

）A．三角形的直观图是三角形 B．正方形的直观图是正方形C．菱形的直观图是菱形 D．平行四边形的直观图是平行四边形【答案】AD【解析】根据斜二测画法的规则可知，平行于坐标轴的直线平行性不变，平行于轴的线段长度不变，平行于轴的线段长度减半.对于A中，三角形的直观图中，三角形的高于底边的夹角为或，长度减少为原来的一半，依然是三角形，所以A正确；对于B中，正方形的直角，在直观图中变为或，不是正方形，所以B错误；对于C中，菱形的对角线互相垂直平分，在直观图中对角线的夹角变为，所以菱形的直观图不是菱形，所以C错误；对于D中，根据平行线不变，可知平行四边形的直观图还是平行四边形，所以D正确.故选：AD.12．三棱锥的三视图如图，图中所示顶点为棱锥对应顶点的投影，正视图与侧视图是全等的等腰直角三角形，俯视图是边长为的正方形，则（）A．该棱锥各面都是直角三角形 B．直线与所成角为C．点到底面的距离为 D．该棱锥的外接球的表面积为【答案】CD【解析】由三视图可知三棱锥的底面为直角边长为1的等腰直角三角形，且，如图，其中为等边三角形，故A错误；由侧视图可知直线与所成角为，故B错误；由正视图，侧视图可知点到底面的距离为，故C正确；由条件可知三棱锥外接球的直径为，所以，故D正确.故选：CD三、填空题13．已知一三角形ABC用斜二测画法画出的直观图是面积为的正三角形(如图)，则三角形ABC中边长与正三角形的边长相等的边上的高为______．【答案】【解析】设正三角形的边长为a，∵∴a=2，=∴故答案为：.14．一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的表面积是_________．【答案】【解析】由几何体的三视图知，该几何体由一个棱长为的正方体和一个底面边长为，高为的正四棱锥组合而成，如图所示．∴正四棱锥的斜高为，故该几何体的表面积．故答案为：.15．如图，是平面四边形的直观图，若是边长为2的正方形，则四边形的周长为________.【答案】16【解析】，还原回原图形后，，，,原图形的面积周长为故答案为：16.16．已知某圆锥被一过该圆锥顶点的平面所截得到的几何体的正视图与侧视图如图所示，若该圆锥的顶点与底面圆周都在球的球面上，则球的表面积为_______________________．【答案】【解析】该几何体如图所示，由正视图和侧视图可知，底面圆弧所在圆的半径为，且，.，设球的半径为，由球的性质可知，，解得，故球的表面积为.故答案为：四、解答题17．已知一长方体的底面是边长为3cm的正方形，高为4cm，试用斜二测画法画出此长方体的直观图．【解析】1.画轴：画出轴，轴，轴，三轴相交于点，使得；2.画底面：以点为中点，在轴上画，在轴上画，分别过点作轴的平行线，过点作轴的平行线，设它们的交点分别为，则四边形即为该四棱柱的底面；3.画侧棱：过点分别作轴的平行线，并在这些平行线上分别截取长的线段，如图（1）所示；4.成图：连接，并加以整理（去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线），就得到该棱柱的直观图，如图（2）所示.图（1）

图（2）18．水平放置的平面图形与直观图的面积间有何关系?【解析】若一个平面多边形的面积为S,其直观图的面积为,则根据斜二测画法中方向长度变为原来的一半,且与方向垂直的角度变为可知.或.利用这一公式可由原图形面积求其直观图面积或由直观图面积求原图形面积.19．用斜二测画法作水平放置的平面图形的直观图时，判断下列命题的真假.（1）三角形的直观图还是三角形；（2）平行四边形的直观图还是平行四边形；（3）正方形的直观图还是正方形；（4）菱形的直观图还是菱形.【解析】（1）三角形的直观图还是三角形，为真命题.（2）平行四边形的直观图还是平行四边形，为真命题.（3）正方形的直观图，边长不全相等，不是正方形，所以命题为假命题.（4）菱形的直观图，边长不全相等，不是菱形，所以命题为假命题.20．用斜二测画法画出如图所示的五边形的直观图.(不写作法，保留作图痕迹)【答案】答案见解析﹒【解析】①如图(1)，将A点和原点O重合，AB和x