第14节 同角三角函数的基本关系与诱导公式（解析版）

第14节同角三角函数的基本关系与诱导公式基础知识要夯实1.同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.(2)商数关系：＝tan__α.2.三角函数的诱导公式公式一二三四五六角2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－α－α＋α正弦sinα－sin__α－sin__αsin__αcos__αcos__α余弦cosα－cos__αcos__α－cos__αsin__α－sin__α正切tanαtan__α－tan__α－tan__α口诀函数名不变，符号看象限函数名改变，符号看象限3.常用结论（1）同角三角函数关系式的常用变形(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα；sinα＝tanα·cosα.（2）诱导公式的记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化.（3）在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号.核心素养要做实考点一同角三角函数基本关系式的应用【例1】(1)(2022·兰州测试)若，则（）A． B．2C． D．－2【答案】B【解析】由，得，又，所以，即，从而，此时．所以．(2)(2022·平顶山联考)如果，那么的值为（）A． B．C． D．【答案】C【解析】，【方法技巧】1.利用sin2α＋cos2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用＝tanα可以实现角α的弦切互化.2.应用公式时注意方程思想的应用：对于sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα这三个式子，利用(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα，可以知一求二.3.注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.【跟踪训练】1.若，则（）A．2 B．3 C．4 D．6【答案】D【解析】∵，故选D．2.已知是第二象限的角，，则（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由得．故选A考点二诱导公式的应用【例2】(1)(2022·衡水中学调研)已知，则的值为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】．(2)若，则的值为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】，解得，原式．规律方法1.诱导公式的两个应用(1)求值：负化正，大化小，化到锐角为终了.(2)化简：统一角，统一名，同角名少为终了.2.含2π整数倍的诱导公式的应用由终边相同的角的关系可知，在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可直接将2π的整数倍去掉后再进行运算，如cos(5π－α)＝cos(π－α)＝－cosα.【训练2】(1)(2020·北京卷)在已知，则的值为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】∵，∴．（2）化简．【答案】【解析】原式＝．考点三同角三角函数基本关系式与诱导公式的活用【例3】(1)(2020·菏泽联考)已知，且是第四象限角，则．【答案】【解析】∵，∴，又为第四象限角，∴，∴．(2)(2020·福州调研)若，求的值．【解析】，设要求的式子为，则．【方法技巧】1.利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形.2.(1)注意角的范围对三角函数值符号的影响，开方时先判断三角函数值的符号；(2)熟记一些常见互补的角、互余的角，如eq\f(π,3)－α与eq\f(π,6)＋α互余等.【跟踪训练】1.(2022湖北七州市联考)已知是方程的根，求的值．【解析】∵是方程的根，∴或，而，故，∴，故．∴原式．2.化简．【解析】原式．达标检测要扎实一、单选题1．已知是第二象限角，且，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为，所以，因为是第二象限角，所以，故选：A2．若，且，则A． B． C． D．【答案】A【解析】由题意，，则，由于，则.故选A.3．已知角、、为的三个内角，若，则一定是（

）A．等腰直角三角形 B．直角三角形C．等腰三角形 D．等腰或直角三角形【答案】C【解析】由可得，，，即，故该三角形一定为等腰三角形.故选：C4．已知，则（

）.A． B． C． D．【答案】D【解析】由，得，所以.故选：D5．已知锐角终边上一点A的坐标为，则角的弧度数为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】，又，为锐角，∴

，故选：A.6．已知，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】，故选：D.7．已知，则（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】，因为，所以.故选：C8．已知，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为，则.故选：C.9．已知，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由诱导公式得，故选：B.10．化简的值为A． B． C． D．2【答案】B【解析】由正余弦的二倍角公式,结合诱导公式化简可得故选:B11．若，则（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由题意得.故选：D.12．下列三角比的值中，与的值相同的个数是（

）①；②；③；④；⑤A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【解析】①中，，当为奇数时，；当为偶数时，，不满足题意；②中，，满足题意；③中，，满足题意；④中，，不满足题意；⑤中，，满足题意，综上可得②③⑤满足题意.故选：C.二、填空题13．已知角的终边经过点，若，则___________.【答案】【解析】由题意，角的终边经过点，可得.又由，得，根据三角函数的定义，可得，解得.故答案为：.14．若，则______．【答案】【解析】∵，∴，∴，∴.故答案为：15．已知，若，则___________.【答案】【解析】令，因为，所以函数为奇函数，因为，即，所以，所以.故答案为：16．在平面直角坐标系中,角与角均以为始边，它们的终边关于轴对称.若,则_____.【答案】【解析】因为角与角的终边关于轴对称，所以，所以.三、解答题17．已知，且，求：（1）；（2）.【解析】（1）由，得．①将①式两边平方，得，故，又，，．．（2）18．已知.（1）化简；（2）若角是的内角，且，求的值.【解析】（1）；（2）因为，又角是的内角，则角为锐角，所以，，，因此，.19．已知角的终边经过点（1）求的值；（2）求的值【解析】（1）由题意角的终边经过点，可得，根据三角函数的定义，可得.（2）由三角函数的诱导公式，可得.20．已知，且，为方程的两根．（1）求的值；（2）求的值．【解析】（1）由题意得，则，，，得．（2），，且，，则，，，则，故原式．21．在平面直角坐标系中，角的始边为轴的正半轴，终边在第二象限与单位圆交于点，点的横坐标为.(1)求的值；(2)若将射线绕点