一元二次不等式及其解法

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一般地，解一元二次不等式，应先整理成ax2+bx+c>0（或<0）的形式，并使a>0，然后通过判别式Δ判断相应方程ax2+bx+c=0的根的情况，求出方程的根，最后可在草稿纸上画出示意图，写出解集.返回目录

1.一元二次不等式与一元二次方程、二次函数的联系是怎样的？

当a>0时，一元二次不等式、一元二次方程及二次函数的关系如下表：判别式Δ=b2-4acΔ>0Δ=0Δ<0二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的根有两相异实根x1,2=(x1<x2)有两相等实根

x1=x2=没有实根一元二次不等式的解集ax2+bx+c>0(a>0)Rax2+bx+c<0(a>0){x|x1<x<x2}{x|x<x1或x>x2}{

x∈R|x≠

}返回目录返回目录解下列不等式：（1）x2+28≥11x;

（2）x2+x>-

;（3）-x2+2x-3>0;

（4）x2<x+56.解：（1）由于4和7是x2-11x+28=0的两根，

∴x2-11x+28≥0的解集为{x|x≥7或x≤4}.

（2）原不等式化为x2+x+

>0.

∵Δ=0,∴原不等式的解集为

.

（3）原不等式化为x2-2x+3<0,

∵Δ<0,∴原不等式的解集为φ.

（4）原不等式化为x2-x-56<0，而-7和8是x2-x-56=0的两根，∴原不等式的解集为{x|-7<x<8}.返回目录学点二含参数的不等式的解法解关于x的不等式x2-(a+1)x+a>0.

【分析】由于涉及参数字母，要分类讨论.

【解析】原不等式整理得(x-a)(x-1)>0.

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∴当a>1时，原不等式的解集为{x|x>a或x<1};

当a<1时，原不等式的解集为{x|x>1或x<a};

当a=1时，原不等式的解集为{x|x∈R且x≠1}.由于a与1的大小不确定，为了使问题能够顺利解下去，应对a与1的大小关系进行讨论，讨论时，不要忽略“a=1”这种情况.已知不等式

（a∈R）.（1）解这个关于x的不等式；（2）若x=-a时不等式成立，求a的取值范围.解:返回目录返回目录返回目录学点三一元二次不等式解集的逆向思维已知关于x的不等式ax2+bx+c<0的解集是或,求不等式ax2-bx+c>0的解集.

【分析】由于不等式的解集已知，那么-2,-

就应是方程ax2+bx+c=0的两根.

【解析】

：由题意，函数y=ax2+bx+c的图象开口向下，且此图象与x轴交点的横坐标分别为-2,-

,故有a<0,返回目录返回目录学点四根的分布问题关于x的方程x2+(m-2)x+5-m=0的两根都大于2，求实数m的取值范围.图3-2-1

【解析】返回目录

【评析】二次方程根的分布问题多借助根的判别式、韦达定理或者用数形结合法由二次函数图象求解.返回目录图3-2-2

3.如何研究根的分布问题？

实数k取何值时，含参数m的二次方程ax2+bx+c=0

（1）有实根、无实根、有两个相等实根.

（2）有两正根、两负根，一正一负根.

（3）有零根.

（4）有两个大于k的根，有两个小于k的根，一根大于k另一根小于k…的一般讨论方法通常考虑以下几个方面:①求根公式.②判别式.③对称轴.④开口方向.⑤区间端点处的函数值.

方法有三类：（一）判别式、韦达定理法；（二）判别式、对称轴、构造函数法；（三）求根公式法.以下几类是常见问题：（在a≠0条件下）（1）方程ax2+bx+c=0有实根，有两不等实根，无实根.主要考虑判别式Δ和二次项系数a的符号.返回目录

(2)方程ax2+bx+c=0

有两正根方程ax2+bx+c=0有两负根方程ax2+bx+c=0有一正一负两实根返回目录返回目录

(3)方程ax2+bx+c=0有两个大于n的根（解法类似于有两正根）

方程ax2+bx+c=0有两个小于k的根（解法类似于有两负根情形）方程ax2+bx+c=0一根大于k.另一根小于k(解法类似于一正一负根的情形）

(4)方程ax2+bx+c=0两根都在（m,n）内返回目录返回目录

(5)方程ax2+bx+c=0一根在（m,n)内，另一根在（p,q)（其中p≥m)内返回目录学点五恒成立问题

【分析】本题考查恒成立问题，一定要注意m2+4m-5=0的情况.已知函数y=(m2+4m-5)x2+4(1-m)x+3对任意实数x，函数值恒大于零，求实数m的取值范围.

【解析】①当m2+4m-5=0时m=-5或m=1.

若m=-5,则函数化为y=24x+3.对任意实数x不可能恒大于0.

若m=1,则y=3>0恒成立.②当m2+4m-5≠0时，据题意应有m2+4m-5>0，16(1-m)2-12(m2+4m-5)<0.返回目录∴∴1<m<19.

综上1≤m<19.m<-5或m>1，1<m<19，

【评析】（1）ax2+bx+c>0(a≠0)恒成立的条件为

a>0,

Δ<0.

（2）ax2+bx+c<0(a≠0)恒成立的条件为

a<0,

Δ<0.返回目录不等式(a+1)x2+ax+a>m(x2+x+1)对任意x∈R恒成立，求a与m之间的关系.解：返回目录已知f(x)=x2-2ax+2,当x∈［-1,+∞)时f(x)≥a恒成立，求a的取值范围.解：解法一：f(x)=(x-a)2+2-a2,此二次函数的图象的对称轴为x=a,①当a∈(-∞,-1)时，结合图象知，f(x)在［-1,+∞)上单调递增，f(x)min=f(-1)=2a+3.

要使f(x)≥a恒成立，只需f(x)min≥a,

即2a+3≥a，解得-3≤a<-1;②当a∈［-1,+∞）时，f(x)min=f(a)=2-a2,

由2-a2≥a,解得-2≤a≤1.

综上所述，所求a的取值范围为-3≤a≤1.解法二：由已知得x2-2ax+2-a≥0在［-1,+∞)上恒成立，即Δ=4a2-4(2-a)≤0Δ>0,

或a<-1,解得-3≤a≤1. f(-1)≥0,返回目录返回目录设不等式mx2-2x-m+1<0对于满足|m|≤2的一切m的值都成立，求x的取值范围.解：以m为主元构造函数f(m)=(x2-1)m-(2x-1),问题转化为f(m)在［-2,2］内恒为负值.

故有

f(-2)<0

-2x2-2x+3<0

f(2)<0

2x2-2x-1<0

故x的取值范围为

.小结：法一利用参变量分离法，化成a>f(x)(a<f(x))型恒成立问题，再利用a>fmax(x)(a<fmin(x))求出参数范围。

法二化归为二次函数，结合二次函数对称轴与定义域的位置关系、单调性等相关知识，求出参数范围。

法三特值验证法，此法抓住本题是选择题的特征，显得较为简便。

法四化成f(x)≥g(x)型问题，利用数形结合思想转化为函数图象的关系再处理。

2.如何解含参数的不等式？对于含有参数的不等式，由于参数的取值范围不同，其结果就不同，因此必须对参数进行分类讨论，即要产生一个划分参数的标准.一般地，对于一元一次不等式，划分的标准是一次项系数大于0、等于0、小于0.对于形如ax2+bx+c>0的不等式划分标准有几种类型：（1）a>0,a=0,a<0；（2）Δ>0,Δ=0,Δ<0;

（3）若x1,x2是方程ax2+bx+c=0的两根，则x1>x2,x1=x2,x1<x2.

以上三种都有可能作为解含参数的二次不等式分类讨论划分的标准.而对于含参数的绝对值不等式,讨论符号可以作为划分的标准.掌握划分标准后,就可以对不同范围的参数分别解不等式,但每一类参数对应的不等式的解都是原不等式的解的一种可能,它们之间是独立的,因而不能把不同参数下的解集求并集.这些一定要注意.返回目录一样的软件不一样的感觉一样的教室不一样的心情一样的知识不一样的收获

1.一bx+c的函数值为零时对应的x值;一元二次不等式ax2+bx+c>0,ax2+bx+c<0的解集就是使二次函数y=ax2+bx+c的函数值大于零或小于零的x的取值范围;一元二次方程ax2+bx+c=0的解就是一元二次不等式ax2+bx+c<0,

ax2+bx+c>0的解集端点.

2.解一元二次不等式时，必须注意二次项的系数的符号，当a<0时，可以利用不等式的性质化为正数，然后再求解.