第12节 导数的综合应用（原卷版）

第12节导数的综合应用核心素养要做实题型一利用导数证明不等式【例1】设a为实数，函数f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R.(1)求f(x)的单调区间与极值；(2)求证：当a>ln2－1且x>0时，ex>x2－2ax＋1.【方法归纳】待证不等式的两边含有同一个变量时，一般地，可以直接构造“左减右”的函数，利用导数研究其单调性，借助所构造函数的单调性即可得证．【跟踪训练1】已知函数f(x)＝ex－ax(e为自然对数的底数，a为常数)的图象在(0,1)处的切线斜率为－1.(1)求a的值及函数f(x)的极值；(2)证明：当x>0时，x2<ex.题型二导数与函数的零点问题探究1确定函数的零点个数【例2】已知函数f(x)＝lnx－x＋2sinx，f′(x)为f(x)的导函数．(1)求证：f′(x)在(0，π)上存在唯一零点；(2)求证：f(x)有且仅有两个不同的零点．【方法归纳】利用导数确定函数零点或方程根个数的常用方法(1)构建函数g(x)(要求g′(x)易求，g′(x)＝0可解)，转化确定g(x)的零点个数问题求解，利用导数研究该函数的单调性、极值，并确定定义区间端点值的符号(或变化趋势)等，画出g(x)的图象草图，数形结合求解函数零点的个数．(2)利用零点存在性定理：先用该定理判断函数在某区间上有零点，然后利用导数研究函数的单调性、极值(最值)及区间端点值符号，进而判断函数在该区间上的零点的个数．探究2根据函数的零点个数求参数范围【例3】若函数f(x)＝ex－ax2，a∈R在(0，＋∞)上有两个不同的零点，求实数a的取值范围．【方法归纳】已知函数零点个数求参数的常用方法(1)分离参数法：首先分离出参数，然后利用求导的方法求出构造的新函数的最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．(2)分类讨论法：结合单调性，先确定参数分类的标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各小范围并在一起，即为所求参数范围．【跟踪训练2】若函数g(x)＝ex(x－2)－m有两个零点，求实数m的取值范围．题型三导数在解决实际问题中的应用【例4】某地需要修建一条大型输油管道通过720千米宽的荒漠地带，该段输油管道两端的输油站已建好，余下工程只需要在该段两端已建好的输油站之间铺设输油管道和等距离修建增压站(又称泵站)．经预算，修建一个增压站的工程费用为108万元，铺设距离为x千米的相邻两增压站之间的输油管道费用为(2＋eq\r(x))x万元．设余下工程的总费用为y万元．(1)试将y表示成关于x的函数；(2)需要修建多少个增压站才能使总费用y最小？【方法归纳】利用导数的方法解决实际问题．当在定义区间内只有一个点使f′(x)＝0时，如果函数在这点有极大(小)值，那么不与端点值比较，也可以知道在这个点取得最大(小)值．【跟踪训练3】某商场为了获得更大的利润，每年要投入一定的资金用于广告促销．经调查，每年投入广告费t(百万元)，可增加的销售额为－t2＋5t(百万元)(0≤t≤3)．(1)若该商场将当年的广告费控制在三百万元以内，则应投入多少广告费，才能使公司由广告费而产生的收益最大．(注：收益＝销售额－投入费用)(2)现在该商场准备投入三百万元，分别用于广告促销和技术改造．经预算，每投入技术改造费x(百万元)，可增加的销售额约为－eq\f(1,3)x3＋x2＋3x(百万元)，请设计一个资金分配方案，使该商场由这两项共同产生的收益最大．达标检测要扎实1．已知函数．(1)求函数的单调区间；(2)当时，若方程在(0，1)内存在唯一实根，求证：．2．已知函数，其中，为自然对数的底数.(1)若，，证明：当时，；当时，(2)若，函数在区间内不单调，求的取值范围【解析】(1)，，当时，，故单调递增，当时，，故单调递减，故，故单调递增，又，所以当时，；当时，(2)函数在区间内不单调，即存在零点，由可知，又，而函数在区间内有零点，则函数在区间内至少有三个单调区间，令，又①若，则，，所以函数在区间上单增，函数即在区间上单调，不可能满足“函数在区间内至少有三个单调区间”这一要求.②若，则，，所以函数在区间上单减，函数即在区间上单调，不可能满足“函数在区间内至少有三个单调区间”这一要求.③若，则，于是当时，，当时，，所以函数在区间上单减，在区间上单增，若，则则，由所以在区间上单增，在区间上单减，即恒成立于是，函数在区间内至少有三个单调区间，所以，得，又，所以综上，的取值范围为3．已知函数，(1)若函数在处的切线也是函数图象的一条切线，求实数的值；(2)若，且，判断与的大小关系，并说明理由．4．已知函数．(1)当时，求函数的极值；(2)若函数在无零点，求实数a的取值范围．5．已知函数.(1)当时，求函数的单调递增区间；(2)设函数，若在上存在极值，求a的取值范围.6．已知函数．(1)若在处的切线与轴平行，求的值；(2)有两个极值点，比较与的大小；(3)若在上的最大值为，求的值．7．已知函数.(1)若有两个零点，的取值范围；(2)若方程有两个实根、，且，证明：.8．设函数，．(1)当时，求在点处的切线方程；(2)当时，恒成立，求a的取值范围；(3)求证：当时，．9．已知函数在处的切线与直线垂直，函数.(1)求实数的值；(2)若函数存在单调递减区间，求实数的取值范围；(3)设是函数的两个极值点，证明：.10．已知函数.(1)若函数有两个极值（i）求实数的取值范围；（ii）求极大值的取值范围.(2)对于函数，都有，则称在区间上是凸函数.利用上述定义证明，当时，在上是凸函数.11．已知函数.(1)若，