第08节 不等式的性质、一元二次不等式与基本不等式（原卷版）

第8节不等式的性质、一元二次不等式与基本不等式基础知识要夯实1.实数的大小顺序与运算性质的关系(1)a>b⇔a－b>0；(2)a＝b⇔a－b＝0；(3)a<b⇔a－b<0.2.不等式的性质(1)对称性：a＞b⇔b＜a；(2)传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c；(3)可加性：a＞b⇔a＋c＞b＋c；a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d；(4)可乘性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a>b，c<0⇒ac<bc；a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd；(5)可乘方：a＞b＞0⇒an＞bn(n∈N，n≥1)；(6)可开方：a＞b＞0⇒＞(n∈N，n≥2).3.三个“二次”间的关系判别式Δ＝b2－4acΔ＞0Δ＝0Δ＜0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根有两相异实根x1，x2(x1＜x2)有两相等实根x1＝x2＝－没有实数根ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集eq\f({x|x＞x2,或x＜x1})Rax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集{x|x1＜x＜x2}∅∅[微点提醒]1.有关分数的性质(1)若a>b>0，m>0，则；(b－m>0).(2)若ab>0，且a>b⇔.2.对于不等式ax2＋bx＋c>0，求解时不要忘记a＝0时的情形.3.当Δ<0时，不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集为R还是∅，要注意区别.4.基本不等式：≤(1)基本不等式成立的条件：a≥0，b≥0.(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号.(3)其中称为正数a，b的算术平均数，称为正数a，b的几何平均数.5.两个重要的不等式(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号.(2)ab≤(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号.6.利用基本不等式求最值已知x≥0，y≥0，则(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2(简记：积定和最小).(2)如果和x＋y是定值s，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是(简记：和定积最大).[微点提醒]1.≥2(a，b同号)，当且仅当a＝b时取等号.2.ab≤≤.3.(a>0，b>0).典型例题剖析考点一不等式的性质角度1比较大小及不等式性质的简单应用【例1－1】(1)已知实数a，b，c满足b＋c＝6－4a＋3a2，c－b＝4－4a＋a2，则a，b，c的大小关系是()A.c≥b>a B.a>c≥bC.c>b>a D.a>c>b(2)(一题多解)若＜0，给出下列不等式：①；②|a|＋b＞0；③a－＞b－；④lna2＞lnb2.其中正确的不等式是()A.①④ B.②③ C.①③ D.②④角度2利用不等式变形求范围【例1－2】(一题多解)设f(x)＝ax2＋bx，若1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4，则f(－2)的取值范围是________.规律方法1.比较两个数(式)大小的两种方法2.与充要条件相结合问题，用不等式的性质分别判断p⇒q和q⇒p是否正确，要注意特殊值法的应用.3.与命题真假判断相结合问题.解决此类问题除根据不等式的性质求解外，还经常采用特殊值验证的方法.4.在求式子的范围时，如果多次使用不等式的可加性，式子中的等号不能同时取到，会导致范围扩大.【训练1】(1)(2022·东北三省四市模拟)设a，b均为实数，则“a>|b|”是“a3>b3”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件(2)(2022·天一测试)已知实数a∈(1，3)，b∈，则的取值范围是________.考点二一元二次不等式的解法【例2－1】(1)(2022·河南中原名校联考)已知f(x)是定义在R上的奇函数.当x>0时，f(x)＝x2－2x，则不等式f(x)>x的解集用区间表示为________.(2)已知不等式ax2－bx－1>0的解集是{x|－<x<－}，则不等式x2－bx－a≥0的解集是________.【例2－2】解关于x的不等式ax2－2≥2x－ax(a∈R).规律方法1.解一元二次不等式的一般方法和步骤(1)化：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式.(2)判：计算对应方程的判别式，根据判别式判断方程有没有实根(无实根时，不等式解集为R或∅).(3)求：求出对应的一元二次方程的根.(4)写：利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集.2.含有参数的不等式的求解，首先需要对二次项系数讨论，再比较(相应方程)根的大小，注意分类讨论思想的应用.【训练2】(2022·清远一模)关于x的不等式ax－b<0的解集是(1，＋∞)，则关于x的不等式(ax＋b)(x－3)>0的解集是()A.(－∞，－1)∪(3，＋∞) B.(1，3)C.(－1，3) D.(－∞，1)∪(3，＋∞)考点三一元二次不等式恒成立问题角度1在实数R上恒成立【例3－1】(2018·大庆实验中学期中)对于任意实数x，不等式(a－2)x2－2(a－2)x－4<0恒成立，则实数a的取值范围是()A.(－∞，2) B.(－∞，2]C.(－2，2) D.(－2，2]角度2在给定区间上恒成立【例3－2】(一题多解)设函数f(x)＝mx2－mx－1(m≠0)，若对于x∈[1，3]，f(x)＜－m＋5恒成立，则m的取值范围是________.角度3给定参数范围的恒成立问题【例3－3】已知a∈[－1，1]时不等式x2＋(a－4)x＋4－2a＞0恒成立，则x的取值范围为()A.(－∞，2)∪(3，＋∞) B.(－∞，1)∪(2，＋∞)C.(－∞，1)∪(3，＋∞) D.(1，3)规律方法1.对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方.另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值.2.解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数.【训练3】(2022·河南豫西南五校联考)已知关于x的不等式kx2－6kx＋k＋8≥0对任意x∈R恒成立，则k的取值范围是()A.[0，1] B.(0，1]C.(－∞，0)∪(1，＋∞) D.(－∞，0]∪[1，＋∞)[思维升华]1.比较法是不等式性质证明的理论依据，是不等式证明的主要方法之一，比较法之一作差法的主要步骤为作差——变形——判断正负.2.判断不等式是否成立，主要有利用不等式的性质和特殊值验证两种方法，特别是对于有一定条件限制的选择题，用特殊值验证的方法更简单.[易错防范]1.“三个二次”的关系是解一元二次不等式的理论基础；一般可把a＜0的情况转化为a＞0时的情形.2.含参数的不等式要注意选好分类标准，避免盲目讨论.考点四利用基本不等式求最值多维探究角度1通过配凑法求最值【例4－1】(2022·乐山一中月考)设0<x<，则函数y＝4x(3－2x)的最大值为________.角度2通过常数代换法求最值【例4－2】(2019·潍坊调研)函数y＝a1－x(a>0，a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx＋ny－1＝0上，且m，n为正数，则的最小值为________.【规律方法】在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，主要有两种思路：(1)对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解.常用的方法有：折项法、变系数法、凑因子法、换元法、整体代换法等.(2)条件变形，进行“1”的代换求目标函数最值.【训练4】(1)(2022·济南联考)若a>0，b>0且2a＋b＝4，则的最小值为()A.2 B. C.4 D.(2)已知x<，则f(x)＝4x－2＋的最大值为______.考点五基本不等式在实际问题中的应用【例5】运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50≤x≤100(单位：千米/时).假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油升，司机的工资是每小时14元.(1)求这次行车总费用y关于x的表达式；(2)当x为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值.【规律方法】1.设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数.2.根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值.3.在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解.【训练5】网店和实体店各有利弊，两者的结合将在未来一段时期内，成为商业的一个主要发展方向.某品牌行车记录仪支架销售公司从2019年1月起开展网络销售与实体店体验安装结合的销售模式.根据几个月运营发现，产品的月销量x万件与投入实体店体验安装的费用t万元之间满足函数关系式x＝3－.已知网店每月固定的各种费用支出为3万元，产品每1万件进货价格为32万元，若每件产品的售价定为“进货价的150%”与“平均每件产品的实体店体验安装费用的一半”之和，则该公司最大月利润是________万元.考点六基本不等式的综合应用【例6】(1)(2019·河南八校测评)已知等差数列{an}中，a3＝7，a9＝19，Sn为数列{an}的前n项和，则的最小值为________.(2)(一题多解)(2018·江苏卷)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC＝120°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD＝1，则4a＋c的最小值为________.【规律方法】基本不等式的应用非常广泛，它可以和数学的其他知识交汇考查，解决这类问题的策略是：1.先根据所交汇的知识进行变形，通过换元、配凑、巧换“1”等手段把最值问题转化为用基本不等式求解，这是难点.2.要有利用基本不等式求最值的意识，善于把条件转化为能利用基本不等式的形式.3.检验等号是否成立，完成后续问题.【训练6】(2022·厦门模拟)已知f(x)＝32x－(k＋1)3x＋2，当x∈R时，f(x)恒为正值，则k的取值范围是()A.(－∞，－1) B.(－∞，2－1)C.(－1，2－1) D.(－2－1，2－1)[思维升华]1.基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，常常用于比较数(式)的大小或证明不等式，解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点，选择好利用基本不等式的切入点.2.对于基本不等式，不仅要记住原始形式，而且还要掌握它的几种变形形式及公式的逆用等，同时还要注意不等式成立的条件和等号成立的条件.3.对使用基本不等式时等号取不到的情况，可考虑使用函数y＝x＋(m>0)的单调性.[易错防范]1.使用基本不等式求最值，“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可.2.连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件一致.达标检测要扎实一、单选题1．关于的不等式的解集为，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．2．若0<m<1，则不等式(x－m)<0的解集为（

）A． B．或C．或 D．3．若不等式对一切实数都成立，则的取值范围是A． B．C． D．4．下列不等式中成立的是（

）A．若则B．若则C．若则D．若则5．不等式的解集是A． B．C． D．6．已知关于的方程有两个实数根，则的取值范围为（

）A． B．或C．或 D．7．已知x＞0、y＞0，且1，若恒成立，则实数m的取值范围为（

）A．(1,9) B．(9,1)C．[9,1] D．(∞,1)∪(9,+∞)8．若，则（

）A． B． C． D．9．已知，，则的取值范围是（

）A． B． C． D．10．已知关于的一元二次不等式的解集为，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．11．若，，且，，则，，，的大小关系是（

）A． B．C． D．12．不等式的解集为，那么不等式的解集为（

）A． B．或C． D．或二、填空题13．已知a＞0，b＞0，则p＝﹣a与q＝b﹣的大小关系是_____．14．若关于的不等式的解集不是空集，则的取值范围是________.15．若命题“，”为真命题，则实数m的取值范围为________.16．某地每年销售木材约20万，每立方米的价格为2400元．为了减少木材消耗，决定按销售收入的征收木材税，这样每年的木材销售量减少万，为了既减少了木材消耗又保证税金收入每年不少于900万元，则t的取值范围是________．三、解答题17．已知集合.（1）若中有两个元素，求实数的取值范围；（2）若中至多有一个元