数学教学设计：离散型随机变量的方差

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精教学设计2．3。2离散型随机变量的方差eq\o(\s\up7(）,\s\do5（整体设计））教材分析本课仍是一节概念新授课,方差与均值都是概率论和数理统计的重要概念,是反映随机变量取值分布的特征数．离散型随机变量的均值与方差涉及的试题背景有:产品检验问题、射击、投篮问题、选题、选课、做题、考试问题、试验、游戏、竞赛、研究性问题、旅游、交通问题、摸球问题、取卡片、数字和入座问题、信息、投资、路线等问题．从近几年高考试题看,离散型随机变量的均值与方差问题还综合函数、方程、数列、不等式、导数、线性规划等知识，主要考查能力．课时分配1课时教学目标知识与技能了解离散型随机变量的方差、标准差的意义,会根据离散型随机变量的分布列求出方差或标准差．过程与方法了解方差公式“D（aX＋b）＝a2D(X）”，以及“若X～B（n，p)，则D(X）＝np(1－p)",并会应用上述公式计算有关随机变量的方差．情感、态度与价值观承前启后,感悟数学与生活的和谐之美，体现数学的文化功能与人文价值．重点难点教学重点：离散型随机变量的方差、标准差．教学难点:比较两个随机变量的均值与方差的大小，从而解决实际问题．eq\o（\s\up7(),\s\do5(教学过程））eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1(复习旧知））1．数学期望：一般地,若离散型随机变量ξ的概率分布为ξx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn则称Eξ＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为ξ的数学期望．2．数学期望的一个性质：E（aξ＋b)＝aEξ＋b。3．若ξ～B（n,p），则Eξ＝np.教师指出：数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平，表示随机变量在随机试验中取值的平均值．但有时两个随机变量只用这一个特征量是无法区别它们的，还需要对随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度进行刻画．eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1(探究新知）)已知甲、乙两名射手在同一条件下射击，所得环数ξ1、ξ2的分布列如下：ξ18910P0。20。60.2ξ28910P0。40.20.4试比较两名射手的射击水平高低．提出问题：下面的分析你赞成吗？为什么？∵Eξ1＝8×0。2＋9×0。6＋10×0.2＝9，Eξ2＝8×0.4＋9×0.2＋10×0。4＝9，∴甲、乙两射手的射击平均水平相同．设计意图:展示错解，引出课题活动结果：不对,显然两名选手的水平是不同的，要进一步去分析成绩的稳定性．教师指出:初中我们也对一组数据的波动情况作过研究，即研究过一组数据的方差．在一组数据x1，x2，…,xn中，S2＝eq\f(1，n）［（x1－eq\x\to(x））2＋（x2－eq\x\to（x))2＋…＋（xn－eq\x\to(x))2]叫做这组数据的方差．类似于这个概念,我们可以定义离散型随机变量的方差．（给出定义）1．方差：对于离散型随机变量X，如果它所有可能取的值是x1，x2，…，xi，…xn，且取这些值的概率分别是p1，p2,…，pi,…pn，那么，D（X)＝（x1－E（X)）2·p1＋(x2－E（X））2·p2＋…＋（xi－E(X)）2·pi＋…＋（xn－E(X）)2·pn称为随机变量X的方差，式中的E(X）是随机变量X的均值．标准差：D（X)的算术平方根eq\r(DX)叫做随机变量X的标准差,记作σ(X）．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1（理解新知)）（1）随机变量X的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的;（2)随机变量X的方差、标准差也是随机变量X的特征数，它们都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度；（3)标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛．对“探究”的再思考（1）如果其他对手的射击成绩都在8环左右，应派哪一名选手参赛？（2)如果其他对手的射击成绩都在9环左右，应派哪一名选手参赛？解：∵Eξ1＝8×0.2＋9×0。6＋10×0.2＝9，Eξ2＝8×0。4＋9×0.2＋10×0.4＝9，∴甲、乙两射手的射击平均水平相同．又∵Dξ1＝0.4，Dξ2＝0。8,∴甲射击水平更稳定．若对手在8环左右,派甲参赛，易赢．若对手在9环左右,则派乙参赛，可能超常发挥．提出问题:前面我们知道若一组数据xi（i＝1，2，…，n）的方差为s2，那么另一组数据axi＋b（a、b是常数且i＝1,2，…，n）的方差为a2s2。离散型随机变量X的方差是否也有类似性质?活动结果:同样具有．2．方差的性质：D(aX＋b）＝a2D(X)；其他：D(X)＝E（X2)－（E（X)）2（了解）；3．若X～B（n，p），则D（X）＝np(1－p）．eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1(运用新知)）例1随机抛掷一枚质地均匀的骰子，求向上一面的点数的均值、方差和标准差．解：抛掷骰子所得点数X的分布列为X123456Peq\f(1,6）eq\f（1，6）eq\f（1,6)eq\f(1，6）eq\f(1,6）eq\f(1，6)从而E(X）＝1×eq\f(1，6）＋2×eq\f(1,6)＋3×eq\f（1，6)＋4×eq\f（1，6）＋5×eq\f（1，6)＋6×eq\f(1,6）＝3。5;D（X）＝(1－3。5）2×eq\f(1,6)＋（2－3.5）2×eq\f（1，6）＋（3－3.5）2×eq\f（1,6)＋(4－3.5)2×eq\f(1，6）＋(5－3。5)2×eq\f（1,6)＋(6－3.5）2×eq\f（1，6)≈2。92,eq\r（D(X))≈1。71.例2有甲乙两个单位都愿意聘用你，而你能获得如下信息：甲单位不同职位月工资X1/元1200140016001800获得相应职位的概率P10.40。30。20.1乙单位不同职位月工资X2/元1000140018002200获得相应职位的概率P20。40.30.20.1根据工资待遇的差异情况,你愿意选择哪家单位？解：根据月工资的分布列，利用计算器可算得E(X1)＝1200×0.4＋1400×0.3＋1600×0。2＋1800×0。1＝1400，D（X1）＝（1200－1400)2×0.4＋(1400－1400)2×0.3＋(1600－1400)2×0.2＋(1800－1400)2×0。1＝40000；E（X2)＝1000×0.4＋1400×0。3＋1800×0。2＋2200×0.1＝1400,D(X2)＝（1000－1400）2×0。4＋(1400－1400）2×0。3＋(1800－1400)2×0。2＋（2200－1400)2×0。1＝160000.因为E（X1)＝E(X2)，D（X1）〈D(X2)，所以两家单位的工资均值相等,但甲单位不同职位的工资相对集中，乙单位不同职位的工资相对分散．这样，如果你希望不同职位的工资差距小一些，就选择甲单位；如果你希望不同职位的工资差距大一些，就选择乙单位．【变练演编】设ξ是一个离散型随机变量，其分布列如下表,试求Eξ、Dξ.ξ－101Peq\f（1，2)1－2qq2剖析：应先按分布列的性质，求出q的值后,再计算出Eξ、Dξ。解：因为随机变量的概率非负且随机变量取遍所有可能值时相应的概率之和等于1，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f（1,2）＋1－2q＋q2＝1，，0≤1－2p≤1，，q2≤1，)）解得q＝1－eq\f（\r（2)，2)。于是，ξ的分布列为ξ－101Peq\f（1，2)eq\r(2)－1eq\f（3，2）－eq\r(2）所以Eξ＝(－1)×eq\f（1,2）＋0×(eq\r(2)－1）＋1×（eq\f（3,2）－eq\r（2））＝1－eq\r（2)，Dξ＝[－1－（1－eq\r（2）)]2×eq\f(1，2）＋（1－eq\r（2）)2×（eq\r（2）－1)＋[1－(1－eq\r（2）)]2×（eq\f（3,2）－eq\r(2))＝eq\r（2)－1。教师点评：解答本题时，应防止机械地套用均值和方差的计算公式,出现以下误解：Eξ＝(－1）×eq\f(1,2)＋0×(1－2q）＋1×q2＝q2－eq\f(1，2).另外既要会由分布列求Eξ、Dξ，也要会由Eξ、Dξ求分布列，发展逆向思维．变式：若ξ是离散型随机变量，P（ξ＝x1）＝eq\f(3,5),P（ξ＝x2)＝eq\f（2，5),且x1〈x2,又知Eξ＝eq\f(7，5)，Dξ＝eq\f(6，25)，求ξ的分布列．解:依题意ξ只取2个值x1与x2，于是有Eξ＝eq\f(3,5)x1＋eq\f（2，5）x2＝eq\f（7，5）,Dξ＝eq\f（3,5)xeq\o\al(2,1）＋eq\f（2,5)xeq\o\al(2，2）－Eξ2＝eq\f（6,25),从而得方程组eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（3x1＋2x2＝7，，3x\o\al(2，1）＋2x\o\al（2,2）＝11.））解之得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(x1＝1，，x2＝2，））或eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(x1＝\f(9，5），，x2＝\f（4，5）。))而x1〈x2，∴x1＝1,x2＝2。∴ξ的分布列为：ξ12Peq\f(3,5)eq\f(2，5)【达标检测】1．设随机变量ξ的分布列为ξ12…nPeq\f（1，n）eq\f（1,n)…eq\f(1,n）求Dξ.略解：Eξ＝eq\f（n＋1，2）,Dξ＝eq\f(n2－1,12)。2．有一批数量很大的商品的次品率为1%，从中任意地连续取出200件商品，设其中次品数为ξ，求Eξ,Dξ.分析：涉及产品数量很大，而且抽查次数又相对较少的产品抽查问题．由于产品数量很大，因而抽样时抽出次品与否对后面的抽样的次品率影响很小,所以可以认为各次抽查的结果是彼此独立的．解答本题，关键是理解清楚：抽200件商品可以看作200次独立重复试验，即ξ~B(200，1%),从而可用公式：Eξ＝np，Dξ＝npq（这里q＝1－p)直接进行计算．解:因为商品数量相当大，抽200件商品可以看作200次独立重复试验,所以ξ～B(200,1%)．因为Eξ＝np，Dξ＝npq,这里n＝200，p＝1%，q＝99%，所以，Eξ＝200×1%＝2，Dξ＝200×1%×99％＝1.98.eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(课堂小结))1．求离散型随机变量ξ的方差、标准差的步骤：①理解ξ的意义，写出ξ可能取的全部值；②求ξ取各个值的概率，写出分布列；③根据分布列，由均值的定义求出Eξ;④根据方差、标准差的定义求出Dξ、eq\r（Dξ）.若ξ～B(n，p）,则不必写出分布列，直接用公式计算即可．2．对于两个随机变量ξ1和ξ2,在Eξ1和Eξ2相等或很接近时，比较Dξ1和Dξ2,可以确定哪个随机变量的性质更适合生产生活实际，适合问题的需要．eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1(补充练习)）【基础练习】1．已知ξ～B(n，p），且Eξ＝7，Dξ＝6,则p等于(）A。eq\f（1,7）B.eq\f（1,6)C。eq\f(1，5）D.eq\f（1,4)解析：Eξ＝np＝7，Dξ＝np（1－p)＝6，所以p＝eq\f（1，7)。答案：A2．一牧场有10头牛，因误食含有病毒的饲料而被感染，已知该病的发病率为0.02.设发病的牛的头数为ξ，则Dξ等于（)A．0。2B．0。8C．0。196D．0.804解析：Dξ＝10×0。02×0.98＝0.196。答案：C3．有两台自动包装机甲与乙,包装重量分别为随机变量ξ1、ξ2,若Eξ1＝Eξ2，Dξ1＞Dξ2,则自动包装机________的质量较好．解析:Eξ1＝Eξ2说明甲、乙两机包装的重量的平均水平一样．Dξ1>Dξ2说明甲机包装重量的差别大，不稳定．∴乙机质量好．答案：乙4．一次单元测试由50个选择题构成，每个选择题有4个选项，其中恰有1个是正确答案．每题选择正确得2分，不选或错选得0分，满分是100分．学生甲选对任一题的概率为0。8，求他在这次测试中成绩的均值和标准差．解:设学生甲答对题数为ξ,成绩为η，则ξ~B（50,0.8)，η＝2ξ，故成绩的均值为Eη＝E(2ξ)＝2Eξ＝2×50×0。8＝80；成绩的标准差为eq\r(Dη)＝eq\r(D（2ξ))＝eq\r(4Dξ）＝2eq\r(50×0。8×0。2）＝4eq\r（2）≈5。7.【拓展练习】若随机变量A在一次试验中发生的概率为p(0<p〈1），用随机变量ξ表示A在1次试验中发生的次数．(1）求方差Dξ的最大值；(2）求eq\f(2Dξ－1，Eξ）的最大值．剖析：要求Dξ、eq\f（2Dξ－1，Eξ)的最大值，需求Dξ、Eξ关于p的函数式,故需先求ξ的分布列．解：随机变量ξ的所有可能取值为0，1,并且有P(ξ＝1)＝p，P(ξ＝0)＝1－p，从而Eξ＝0×(1－p）＋1×p＝p，Dξ＝（0－p)2×(1－p）＋(1－p）2×p＝p－p2。（1)Dξ＝p－p2＝－（p－eq\f（1，2))2＋eq\f（1，4)，∵0〈p<1，∴当p＝eq\f(1，2)时,Dξ取得最大值为eq\f(1,4)。(2）eq\f（2Dξ－1，Eξ)＝eq\f（2(p－p2）－1,p)＝2－(2p＋eq\f(1,p)），∵0〈p〈1,∴2p＋eq\f（1,p）≥2eq\r(2)。当且仅当2p＝eq\f（1，p)，即p＝eq\f(\r（2),2)时,eq\f(2Dξ－1,Eξ)取得最大值2－2eq\r（2)。评述：在知识的交汇点处出题是高考的发展趋势，应引起重视．eq\o(\s\up7(），\s\do5(设计说明))本节课从新课标评价理念出发，以问题作为教学的主线,教师适时点拨为辅助手段，使学生在猜想、对比性问题中展开探索，在实践应用性问题中感悟数学的思维与方法．教学中以课堂作为教学的辐射源，通过教师、学生、多媒体多点辐射,带动和提高所有学生的学习积极性与主动性．eq\o（\s\up7(），\s\do5（备课资料）)备选例题：某工厂生产甲、乙两种产品，每种产品都是经过第一和第二道工序加工而成,两道工序的加工结果相互独立，每道工序的加工结果均有A、B两个等级．对每种产品，两道工序的加工结果都为A级时，产品为一等品，其余均为二等品．（1)已知甲、乙两种产品每一道工序的加工结果为A级的概率如