第4周：无穷小阶的比较、连续性、导数概念1

1.求初等函数在时的极限，如果把代入函数有意义，则函数值就是极限值。2.分母趋于零时：求极限的常用方法：回顾上一周所学内容⑴分子趋于非零常数，所求极限不存在，为.

⑵分子也趋于零（型）①多项式相除，因式分解约去零因子后求解。②含有三角函数，常用第一个重要极限求解。若存在且，则注意与的区别。特点：(a)sin后形式和分母相同;(b)角度趋向于零。3.型，设法消去分子分母中无限增大的因素，如：同除x的最高次幂。两多项式相除时也可直接使用以下结论：角度趋向于无穷4.碰到根式，先进行有理化再求解。5.对型极限，先通分化简再求解。6.利用“无穷小×有界函数”仍为无穷小的性质。注意与的区别。特点：（1＋）无穷小7.碰到幂指函数，用第二个重要极限求解(凑指数)。

8.用等价无穷小代换求极限（乘除运算中等价无穷小可以相互代换）。有限次方（今天学习）§1.8无穷小的阶回忆：其实是比较分子、分母趋于无穷大的速度快慢。当x

0时，2x，3x，x2都是无穷小。一、无穷小阶的比较x10.50.10.010.001……

02x210.20.020.002……

03x31.50.30.030.003……

0x210.250.010.00010.000001……

0但它们趋于0的速度却不一样。观察：例：当时，与比较是（）无穷小。与等价无穷小，记为：与同阶无穷小比低阶无穷小比高阶无穷小1.定义：设，是在同一变化过程中的无穷小量:当C=1时，称,记为：高阶例：当时，无穷小量，的关系是（）A.高阶B.低阶C.同阶但不等价D.等价C二、利用等价无穷小代换求极限1.定理：设是无穷小量，且，则有：例：同理：注：在乘除运算中，等价无穷小可相互代换。时时例：例：注：等价无穷小代换，仅限于乘除运算。（对加减项的无穷小不适用）如：注：常用的等价无穷小()：例：注：常用的等价无穷小()：例：§1.9-1.10函数的连续性

在现实生活中，我们碰到的许多量无非两种情况，一种是连续变化的情况，例如气温的变化,植物的生长,物体运动的路程，另一种是间断的或跳跃的。连续变化的例子温度计连续变化：指取值连续不变；图形连续不断开。计费单位资费标准20克及20克以下4.4020克以上至100克10.40100克以上至250克20.80250克以上至500克39.80500克以上至1000克75.701000克以上至2000克123.0020100250x克y元4.410.420.8国际邮件(信函）资费(单位:元)间断的或跳跃的例子一、函数连续的概念：ox0xy如图：从直观上看，我们说函数在一点x=x0处连续是指的图象在x=x0处没有中断。此时函数一定满足以下三个条件：⑴在有定义;⑵存在；⑶.函数在x0无定义函数在x0的函数值与极限值不相等函数在x0的函数值与极限值相等函数在x0有定义ababa、无极限1.定义：如果函数满足：⑴在有定义;

⑵存在；

⑶则称在处连续；反之，称在处间断，并把叫做间断点。思考：如果要使函数在x0点与左（右）边的图形连在一起，函数要满足什么条件？2.定义：如果,称函数在x0左连续。如果,称函数在x0右连续。3.函数在x＝x0连续的充要条件是函数在x＝x0既是左连续又是右连续。例1：判断在x=1的连续性。

例2：设

在x=0连续，求a,b.

2.若

连续，求k.

练习：1.判断在的连续性。

间断k＝2二、连续的等价定义

1.函数的改变量（增量）：如果变量u从

u1变到u2，则称为变量

u的改变量（增量）。例：求适合下列条件的改变量（1）x从1变到1.5（2）x从1变到0.5对函数y=f(x)来说，自变量有增量时，函数y=f(x)的增量：（3）x从x0变到即：时，.0间断图形连续图形连续的意思是：很小时，也很小。2.等价定义：对函数y=f(x)，如果x在x0处有改变量,则函数相应的改变量，若：,则f(x)称在x=x0处连续。例：用等价定义判断在x=1处的连续性。

2.等价定义：对函数y=f(x)，如果x在x0处有改变量,则函数相应的改变量，若：,则f(x)称在x=x0处连续。1.定义：如果一个函数在某个区间上的每一点都连续，则称这个函数为该区间上的连续函数，并把相应区间称为函数的连续区间。（如区间包括端点，在端点只要求单侧连续）三、连续函数与连续区间2.定理：基本初等函数在定义域内连续。右连续左连续四、连续函数的运算法则1.定理：连续函数的有限次四则运算（相除时分母不为零）和复合得到的函数仍然连续。2.定理：初等函数在其定义区间连续。（在无定义的点当然间断）例：求的连续区间。注：一般而言，初等函数的连续区间相当于它的定义域，间断点其实是使函数没意义的点。例：求的连续区间。注：讨论分段函数的连续性一般只须讨论分段点的连续性。五、闭区间上连续函数的性质

1.最值性定理：如果在闭区间内连续，则在内必有最大、最小值。4.零点定理：如果f(x)在闭区间内连续，且f(a)与f(b)异号，则在内至少存在一点，使得:(零点定理常用于判断方程根的存在性)2.有界性定理：如果在闭区间内连续，则在内有界。3.介值性定理：如果在闭区间内连续，则其一定能取得介于最大值和最小值中间的任意值。例：证明方程在内至少有一个根。注：由说明对于连续函数，极限符号与函数符号可以交换。例：例：回顾中学学过的一个关于对数的公式所以，若注：幂指函数也是初等函数。，则例：例：课本42页2（5）题练习：第二章导数与微分§2.1导数的概念一、引出导数概念的例题

例1：变速直线运动s=s(t)从t0到t的平均速度：运动时间间隔愈小（t越接近t0

），愈接近于时刻t0的瞬时速度v(t0)：函数改变量与自变量改变量比值的极限如何求在时刻t0的瞬时速度v(t0)呢？

反映了s随t变化的快慢程度(变化率)例2：已知曲线y=f(x)和其上一点M0(x0,y0)，求曲线经过M0的切线M0T的方程。

割线斜率：切线斜率：切线定义.swf切线生成.gsp例1、例2都是求函数的改变量与自变量的改变量之比在自变量的改变量趋于零时的极限。函数改变量与自变量改变量比值的极限我们把这种特定的极限叫做函数的导数。反映了y变化的快慢程度(变化率)二、导数的概念

1.定义：已知函数y=f(x)在x=x0及其旁边有定义，若极限存在，就说函数f(x)在x=x0处可导，并把极限值叫y=f(x)在x=x0的导数，记为:如果上述极限不存在，则称函数f(x)在x=x0处不可导。

2.导数的其他记号：

、、

1.导数定义：例：判断函数y=f(x)=x2在x=2是否可导，如可导，求其导数值。

3.左、右导数：定理：函数y=f(x)在点x0可导的充要条件是：函数y=f(x)在点x0处的左、右导数都存在且相等。1.导数定义：例：求函数在x=0处的导数。