专题04等式与不等式（15个考点梳理12题型解读提升训练）（原卷版）

专题04等式与不等式【清单01】等式的性质（1）等式的两边同时加上一个数或代数式，等式仍然成立.（2）等式的两边同时乘以一个不为零的数或代数式，等式仍然成立.【清单02】恒等式1.一般地，含有字母的等式，如果其中的字母取任意实数时等式都成立．则称其为恒等式，也称两边恒等.注意：恒等式是进行代数式变形的依据之一.2.恒等式：（x+a)(x+b）=x2+(a+b)x+ab；（ax+b)(cx+d）=acx2+(ad+bc)x+bd【清单03】方程的解集方程的解（或根）是指能使方程左右两边相等的未知数的值，一般地，把一个方程所有解组成的集合称为这个方程的解集.【清单04】一元二次方程的解集1.配方法解方程（1）配方（2）一元二次方程的解集：（3）一元二次方程的判别式：Δ=b24ac【清单05】一元二次方程根与系数的关系的两根记作x1，x2则【清单06】方程组的解集1.一般地，将多个方程联立，就能得到方程组，方程组中，由每个方程的解集得到的交集称为这个方程组的解集2.方程组的解法：代入消元法、加减消元法.发现：当方程组中未知数的个数大于方程的个数时，方程组的解集可能含有无穷多个元素.此时，如果讲其中一些未知数看成常数，那么其它未知数往往能用这些未知数表示出来.【清单07】不等式的基本性质性质1：a>b⇔a＋c>b＋c性质2：a>b，c>0⇒ac>bc性质3：a>b，c<0⇒ac<bc性质4：a>b⇔b<a；a<b⇔b>a（不等式的传递性）性质5：a>b⇔b<a；a<b⇔b>a推论1：a+b>c⇔a>cb（移项法则）推论2：a>b，c>d⇒a＋c>b＋d（同向可加，不等号方向不变.可推广）推论3：a>b>0，c>d>0⇒ac>bd推论4：a>b>0，n∈N*⇒an>bn（n∈N,n>1）推论5:a>b>0，n∈N，n≥2⇒eq\r(n,a)>eq\r(n,b)【清单08】证明不等式的方法1.作差法：一般步骤：①作差；②变形；③定号；④结论．其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式．当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差．2.综合法：从已知条件出发，综合利用各种结果，逐步推导最后得到结论的方法.3.反证法：首先假设结论的否定成立，然后由此进行推理得到矛盾，最后得出假设不成立.4.分析法：推理形式是“要证（结论）p,只需证明q”，可以表示为p˂=q5.作商法：当明确比较内容均为正时，可利用作商法，一般步骤：①作商；②变形；③与1比较；④结论．【清单09】不等式的重要结论1．倒数性质的几个必备结论(1)a>b，ab>0⇒eq\f(1,a)<eq\f(1,b).(2)a<0<b⇒eq\f(1,a)<eq\f(1,b).(3)a>b>0,0<c<d⇒eq\f(a,c)>eq\f(b,d).(4)0<a<x<b或a<x<b<0⇒eq\f(1,b)<eq\f(1,x)<eq\f(1,a).2．两个重要不等式若a>b>0，m>0，则(1)eq\f(b,a)<eq\f(b＋m,a＋m)；eq\f(b,a)>eq\f(b－m,a－m)(b－m>0)．(2)eq\f(a,b)>eq\f(a＋m,b＋m)；eq\f(a,b)<eq\f(a－m,b－m)(b－m>0)．【清单10】不等式的解集与不等式组的解集1.能够使不等式成立的未知数的值称为不等式的解，不等式的所有解组成的集合称为不等式的解集.2.不等式组中各个不等式解集的交集称为不等式组的解集.【清单11】绝对值不等式1.绝对值的概念：．2.含有绝对值的不等式称为绝对值不等式．3.常见绝对值不等式的解（1）形如|ax＋b|≥|cx＋d|的不等式，可以利用两边平方的形式转化为二次不等式求解．（2）形如|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式①绝对值不等式|x|>a与|x|<a的解集②|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c(c>0)，|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c(c>0)．4.如果实数a,b在数轴上对应的点分别为A,B，即A（a）,B(b)，线段AB的中点M（x）则(1)数轴上两点之间的距离公式:AB=|ab|(2)数轴上的中点坐标公式:5.拓广：形如|x－a|＋|x－b|≥c(或≤c)型的不等式主要有三种解法：(1)分段讨论法：利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为(－∞，a]，(a，b]，(b，＋∞)(此处设a<b)三个部分，在每个部分上去掉绝对值号分别列出对应的不等式求解，然后取各个不等式解集的并集．(2)几何法：利用|x－a|＋|x－b|>c(c>0)的几何意义：数轴上到点x1＝a和x2＝b的距离之和大于c的全体，|x－a|＋|x－b|≥|x－a－(x－b)|＝|a－b|.(3)图象法：作出函数y1＝|x－a|＋|x－b|和y2＝c的图象，结合图象求解．【清单12】一元二次不等式的解法1.概念：我们把只含有一个未知数，并且知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．2.形式：①ax2＋bx＋c>0(a≠0)；②ax2＋bx＋c≥0(a≠0)；③ax2＋bx＋c<0(a≠0)；④ax2＋bx＋c≤0(a≠0)．3.一元二次不等式的解集的概念：一般地，使某个一元二次不等式成立的x的值叫做这个不等式的解，一元二次不等式的所有解组成的集合叫做这个一元二次不等式的解集.4.一元二次不等式的常见解法（1）因式分解法；（2）配方法；（3）解一元二次不等式的一般步骤①化：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式．②判：计算对应方程的判别式．③求：求出对应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程有没有实根．④写：利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集．【清单13】分式不等式的解法1.定义：分母中含有未知数，且分子、分母都是关于x的多项式的不等式称为分式不等式.2.常见类型：eq\f(fx,gx)>0⇔f(x)g(x)>0，eq\f(fx,gx)<0⇔f(x)·g(x)<0.eq\f(fx,gx)≥0⇔eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fxgx≥0，,gx≠0.))⇔f(x)·g(x)>0或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fx＝0,gx≠0)).eq\f(fx,gx)≤0⇔eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fx·gx≤0，,gx≠0))⇔f(x)·g(x)<0或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fx＝0,gx≠0.))【清单14】均值不等式1.设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为2.均值不等式：（1）当a>0，b>0时有，当且仅当a=b时，等号成立．（2）基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．（3）几何意义：①如果矩形的长、宽分别为a,b，那么矩形的面积是ab,可以看成与矩形周长相等的正方形的面积，均值不等式的几何意义为：所有周长一定的矩形中，正方形面积最大.②如图所示的半圆中，AB为直径，O为圆心，AC=a，BC=b,D在半圆上，DC⊥AB，计算可得OD=，CD=,a≠b时，>a=b时，=【清单15】均值不等式与最值1.已知x、y都是正数．(1)若x＋y＝s(和为定值)，则当x＝y时，积xy取得最大值（简记：和定积最大）．(2)若xy＝p(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得最小值（简记：积定和最小）．特别提醒：应用条件：一正、二定、三相等，缺乏一条都不行！2.常用推论：（1）（）（2）（，）；（3）【考点题型一】等式的性质与方程的解【例1】（2023·高一课时练习）已知等式对任意实数m恒成立，求所有满足条件的实数对的集合.【变式11】（2324高一下·全国·课后作业）利用十字相乘法分解因式【变式12】（2425高一上·上海·随堂练习）方程的解集为．【变式13】（2324高一·上海·课堂例题）设，求关于x的方程的解集.【变式14】（2324高一·上海·课堂例题）设a、b、c、d是实数，判断下列命题的真假，并说明理由：(1)若，则；(2)若，则；(3)若，则或；(4)若，且，则.【考点题型二】一元二次方程及其根与系数关系【例2】（2324高一·上海·课堂例题）已知方程的两个根为、，求下列各式的值：(1)；(2)；(3)；(4).【变式21】（2023高一·全国·课后作业）方程的解集是（

）A． B． C． D．【变式22】（2425高一上·全国·课后作业）已知，是方程的两个根，则的值为（

）A． B．2C． D．【变式23】（2324高一上·北京·阶段练习）方程的解集是（

）A． B． C． D．【变式24】（2526高一上·全国·课后作业）已知关于的一元二次方程的两个实数根为，且，则实数的值为．【考点题型三】方程组的解集【例3】（2425高一上·上海·随堂练习）下列关于方程组的解的说法中正确的是（

）．A．该方程一定有唯一解 B．该方程没有解C．时，方程有无数解 D．时，方程有唯一解【变式31】（2324高一上·北京·阶段练习）方程组解集是（

）A． B．C． D．【变式32】（2324高一上·北京房山·期中）方程组的解集为．【变式33】（2425高一上·上海·随堂练习）解关于x，y的方程组．【变式34】（2324高一·上海·课堂例题）设，求关于与的二元一次方程组的解集．【考点题型四】不等式性质及其应用【例4】（多选）（2324高一上·福建福州·期中）下列说法中，正确的是（

）A．若，，则 B．若，则C．若，，则 D．若，，则【变式41】（2324高一下·安徽芜湖·开学考试）已知实数m，n，p满足，且，则下列说法正确的是（）A． B． C． D．【变式42】（多选）（云南省州20242025学年高一上学期9月月考数学试卷）下列命题是真命题的为（

）A．若，则B．若，则C．若且，则D．若且，则【变式43】（多选）（2324高一上·安徽·期末）已知，则下列结论成立的是（）A． B．若．则C．若，则 D．【变式44】（2425高三上·福建宁德·开学考试）已知，则的取值范围是.【考点题型五】简单不等式的解法【例5】（2425高一上·上海·课堂例题）解不等式：．【变式51】（2024高一上·全国·专题练习）关于的不等式：的解集为（

）A． B．C．或 D．或【变式52】（2425高一上·上海·课堂例题）解不等式：．【变式53】（2324高一·上海·课堂例题）设、，解关于x的不等式．【变式54】（2425高一上·上海·课堂例题）解下列不等式：(1)；(2)．【考点题型六】一元二次不等式的解法【例6】（2425高一上·江苏·开学考试）（1）已知一元二次不等式的解集为-3,2，求实数、的值及不等式的解集．（2）已知，解不等式：．【变式61】（2024高一上·全国·专题练习）解关于的不等式.(1)；(2)【变式62】（2324高一上·河南濮阳·阶段练习）解下列一元二次不等式：(1)；(2)．【变式63】（2324高一上·安徽马鞍山·阶段练习）解关于的不等式：.【变式64】（2324高一上·广西桂林·阶段练习）（1）解关于x的不等式；（2）解关于x的不等式．【考点题型七】由不等式（组）的解（集）求参数（范围）【例7】（2324高一下·江西上饶·开学考试）已知不等式.(1)若不等式的解集是或，求的值；(2)若不等式的解集是，求的取值范围.【变式71】（2324高一上·重庆·期中）不等式组的解集为，则的取值范围是（）A． B．C． D．【变式72】（多选）（2425高三上·福建宁德·开学考试）已知关于的不等式的解集是，其中，则下列结论中正确的是（

）A． B．C． D．【变式73】（2425高一上·河北石家庄·开学考试）已知不等式的解集为，则=，=【变式74】（2425高一上·上海·课后作业）解关于的不等式：．(1)当解集为空集时，________；(2)当解集为非空集时，解不等式．【考点题型八】应用均值不等式判断、证明不等式成立【例8】（2324高一上·陕西西安·期中）设，均为正实数．(1)求证：(2)若，证明：．【变式81】（多选）（2425高一上·全国·课后作业）下列不等式恒成立的是（

）A． B．若，则C．若，则 D．若，则【变式82】（多选）（2324高一上·湖南长沙·期末）设正实数满足，则（

）A． B．C． D．【变式83】（2324高一上·浙江宁波·开学考试）下列不等式正确的是（

）A． B．C． D．【变式84】（2324高一上·云南曲靖·期末）已知，，且，证明：(1)；(2)．【考点题型九】“配凑法”求最值【例9】（2425高三上·福建莆田·开学考试）若实数满足，则的最大值为.【变式91】（2324高二下·河北石家庄·期末）已知，则的最大值为（

）A．4 B．6 C．8 D．10【变式92】（2024高一上·浙江宁波·专题练习）已知正实数满足，则的最小值为.【变式93】（2324高一上·浙江宁波·开学考试）（1）已知x>2，求的最小值；（2）已知，求的最小值.【变式94】（2425高一上·江苏·开学考试）（1）求函数的最大值；（2）求函数的最小值；（3）若，且，求的最小值.【考点题型十】“1”的代换求最值【例10】（多选）（2324高三上·江苏南通·阶段练习）已知为正实数，，则（

）A．的最大值为B．的最小值C．的最小值为D．的最小值为【变式101】（2223高一上·河北保定·期末）已知为正实数且，则的最小值为（

）A． B． C．3 D．【变式102】（2324高一上·重庆沙坪坝·期中）已知正实数，满足，则的最小值为（

）A．1 B．2 C．4 D．8【变式103】（多选）（2425高三上·四川成都·开学考试）已知为正实数，，则（

）A．的最小值为4 B．的最小值为C．的最小值为8 D．的最小值为2【变式104】（多选）（2425高三上·广东肇庆·阶段练习）设正实数m，n满足，则（）A．的最小值为 B．的最小值为C．的最大值为1 D．的最小值为【考点题型十一】均值不等式的实际应用【例11】（2324高一上·安徽淮北·期中）某蛋糕店推出两款新品蛋糕，分别为薄脆百香果蛋糕和朱古力蜂果蛋糕，已知薄脆百香果蛋糕单价为x元，朱古力蜂果蛋糕单位为y元，现有两种购买方案：方案一：薄脆百香果蛋糕购买数量为a个，朱古力蜂果蛋糕购买数量为b个，花费记为;方案二：薄脆百香果蛋糕购买数量为b个，朱古力蜂果蛋糕购买数量为a个，花费记为．（其中）(1)试问哪种购买方案花费更少？请说明理由；(2)若a，b，x，y同时满足关系，求这两种购买方案花费的差值S最小值（注：差值花费较大值花费较小值）．【变式111】（2425高二上·湖南郴州·开学考试）由于猪肉的价格有升也有降，小张想到两种买肉方案.第一种方案：每次买3斤猪肉；第二种方案：每次买50元猪肉.下列说法正确的是（

）A．采用第一种方案划算 B．采用第二种方案划算C．两种方案一样 D．采用哪种