专题02整式与因式分解（原卷版）

主题一数与式专题02整式与因式分解目录一览知识目标（新课程标准提炼）中考解密（分析中考考察方向，厘清命题趋势，精准把握重难点）考点回归（梳理基础考点，清晰明了，便于识记）重点考向（以真题为例，探究中考命题方向）►考向一整式的加减与化简求值►考向二单项式与多项式的乘法►考向三完全平方公式►考向四平方差公式►考向五整式的混合运算►考向六因式分解►考向七因式分解的应用最新真题荟萃（精选最新典型真题，强化知识运用，优化解题技巧）1、能并用代数式表示，会求代数式的值；能根据特定问题找到所需要的公式，并会代入具体的值进行计算．2、掌握同类项及合并同类项的概念，并能熟练进行合并；掌握同类项的有关应用．3、掌握去括号与添括号法则，充分注意变号法则的应用；会用整式的加减运算法则，熟练进行整式的化简及求值．4、同底数幂的乘法运算性质的过程，感受幂的意义，发展推理能力和表达能力，提高计算能力．5、了解整式的概念和有关法则，会进行简单的整式加、减、乘、除运算．6、会推导平方差公式和完全平方公式，会进行简单的计算；会用提公因式法、公式法进行因式分解.1.以考查整式的加减、乘除、乘法公式、幂的运算、因式分解、探究规律为主，也是考查重点，年年考查，是广大考生的得分点，分值为12分左右。2.预计2024年各地中考还将继续考查幂的运算性质、因式分解、整式的化简、代入求值、探究规律，为避免丢分，学生应扎实掌握.代数式的有关概念1．代数式：用运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式.2.代数式的书写要注意规范，如乘号“×”用“·”表示或省略不写；分数不要用带分数；除号用分数线表示等.3．代数式的值：用具体数代替代数式中的字母，按运算顺序计算出的结果叫做代数式的值。4.求代数式的值分两步：第一步，代数；第二步，计算.要充分利用“整体”思想求代数式的值。整式的有关概念1．整式：单项式和多项式统称为整式．2．单项式：单项式是指由数字或字母的乘积组成的式子；单项式中的数字因数叫做单项式的系数；单项式中所有字母指数的和叫做单项式的次数．【注意】单项式的系数包括它前面的符号3.多项式：几个单项式的和叫做多项式；多项式中，每一个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项；多项式中次数最高项的次数就是这个多项式的次数．4.同类项：多项式中所含字母相同并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项.幂的运算1.同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加.【式子表达】：.（都是正整数）【代表的广泛性】代表数，字母，单项式，多项式.【拓展】（都是正整数）等.【要点】①同底数幂，区别非同底数幂.②相乘，区别相加.③底数不变.区别合并同类项，将底数的系数相加.④指数相加，区别相乘.【数学思想】将乘法运算转化为加法运算，即将二级运算转化为一级运算，从而简化运算.2.幂的乘方是指几个相同的幂相乘.法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘，即（m，n都是正整数）．3．积的乘方是指底数是乘积形式的乘方．法则：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘（n是正整数）．4.同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减.(m,n都是正整数,且m>n);(a≠0).【温馨提示】1．幂的乘方法则的条件是“幂”的乘方，结论是“底数不变，指数相乘”．这里的“底数不变”是指“幂”的底数“a”不变．例如：(a3)2=a6，其中，“幂”的底数是“a”，而不是“a2”，指数相乘是指“3×2”．2．幂的乘方的指数中若有多项式，指数相乘时要带括号．3．同底数幂的乘法和幂的乘方在应用时，不要发生混淆．4．式子不可以写成，因为括号内的a与b是“加”的关系，不是“乘”的关系．5．应用积的乘方时，特别注意观察底数含有几个因式都分别乘方；要特别注意系数及系数符号，对于系数是负数的要多加注意.【方法技巧】1．幂的乘方：（m，n，p都是正整数）．例如：．这一性质由乘方运算降为乘法运算（指数相乘）．2．注意逆用幂的乘方法则，例如：．逆用积的乘方法则有，即指数相同的幂相乘，可将底数相乘，相同的指数作为共同的指数.整式的加减几个整式相加减，如有括号就先去括号，然后再合并同类项。整式的乘法1．单项式乘单项式运算性质：单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．注意：①在计算时，应先进行符号运算，积的系数等于各因式系数的积；②注意按顺序运算；③不要丢掉只在一个单项式里含有的字母因式；④此性质对于多个单项式相乘仍然成立．2．单项式乘多项式：m（a+b+c）=ma+mb+mc.（1）单项式与多项式相乘的运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．（2）单项式与多项式相乘时，应注意以下几个问题：①单项式与多项式相乘实质上是转化为单项式乘以单项式；②用单项式去乘多项式中的每一项时，不能漏乘；③注意确定积的符号．3．多项式乘多项式：（m+n）（a+b）=ma+mb+na+nb（1）多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加．（2）运用法则时应注意以下两点：①相乘时，按一定的顺序进行，必须做到不重不漏；②多项式与多项式相乘，仍得多项式，在合并同类项之前，积的项数应等于原多项式的项数之积．整式的除法1.单项式除以单项式，把系数、同底数的幂分别相除，作为商的因式。对于只在被除式含有的字母，则连同它的指数作为商的因式。2.多项式除以单项式：先把这个多项式的每一项除以单项式，再把所得的商相加。乘法公式1．完全平方公式（1）完全平方公式：．可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”．（2）完全平方公式有以下几个特征：①左边是两个数的和的平方；②右边是一个三项式，其中首末两项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍；其符号与左边的运算符号相同．（3）完全平方公式的几何背景①运用几何直观理解、解决完全平方公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释．②常见验证完全平方公式的几何图形．（用大正方形的面积等于边长为a和边长为b的两个正方形与两个长宽分别是a，b的长方形的面积和作为相等关系）（4）完全平方式完全平方式的定义：对于一个具有若干个简单变元的整式A，如果存在另一个实系数整式B，使，则称A是完全平方式．完全平方式分两种，一种是完全平方和公式，就是两个整式的和括号外的平方．另一种是完全平方差公式，就是两个整式的差括号外的平方．算时有一个口诀“首末两项算平方，首末项乘积的2倍中间放，符号随中央．（就是把两项的乘方分别算出来，再算出两项的乘积，再乘以2，然后把这个数放在两数的乘方的中间，这个数以前一个数间的符号随原式中间的符号，完全平方和公式就用+，完全平方差公式就用﹣，后边的符号都用+）”2．平方差公式（1）平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差．（2）平方差公式的几何背景①常见验证平方差公式的几何图形（利用图形的面积和作为相等关系列出等式即可验证平方差公式）．②运用几何直观理解、解决平方差公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对平方差公式做出几何解释．探索规律与说理1.解决规律探索型问题的策略是：通过对所给的一组（或一串）式子及结论，进行全面细致地观察、分析、比较，从中发现其变化规律，并由此猜想出一般性的结论，然后再给出合理的证明或加以应用.2.图形固定累加规律：(1)找关系：找后一个图形所求元素个数与前一个图形所求元素个数之间的关系，一般通过作差的形式进行观察；(2)找规律：若第一个图形所求元素个数为a，第二个图形所求元素个数比第一个图形所求元素个数多b，且此后每一个图形所求元素个数比前一个图形所求元素个数多b，则第n个图形所求元素个数为a＋b(n－1)；(3)验证：代入序号验证所求代数式．因式分解的概念把一个多项式化成几个因式积的形式叫做因式分解，因式分解与整式乘法是互逆运算.因式分解的基本方法1.提公因式法：pa+pb+pc=p(a+b+c)；2.公式法：；；。3.分组分解法：ac+ad+bc+cd=a(c+d)+b(c+d)=(a+b)(c+d)4.十字相乘法：分解因式的一般步骤1.如果多项式各项有公因式，应先提取公因式;2.如果各项没有公因式，可以尝试使用公式法：为两项时，考虑平方差公式；为三项时，考虑完全平方公式；为四项时，考虑利用分组的方法进行分解;3.检查分解因式是否彻底，必须分解到每一个多项式都不能再分解为止.以上步骤可以概括为“一提二套三检查”.►考向一整式的加减与化简求值解题技巧/易错易混/特别提醒①仔细辨别词义．列代数式时，要先认真审题，抓住关键词语，仔细辩析词义．如“除”与“除以”，“平方的差（或平方差）”与“差的平方”的词义区分．②分清数量关系．要正确列代数式，只有分清数量之间的关系．③注意运算顺序．列代数式时，一般应在语言叙述的数量关系中，先读的先写，不同级运算的语言，且又要体现出先低级运算，要把代数式中代表低级运算的这部分括起来．④规范书写格式．列代数时要按要求规范地书写．像数字与字母、字母与字母相乘可省略乘号不写，数与数相乘必须写乘号；除法可写成分数形式，带分数与字母相乘需把代分数化为假分数，书写单位名称什么时不加括号，什么时要加括号．注意代数式括号的适当运用．⑤正确进行代换．列代数式时，有时需将题中的字母代入公式，这就要求正确进行代换．1．（2023•德阳）在“点燃我的梦想，数学皆有可能”数学活动中，“智多星”小强设计了一个数学探究活动；对依次排列的两个整式m，n按如下规律进行操作：第1次操作后得到整式中m，n，n﹣m；第2次操作后得到整式中m，n，n﹣m，﹣m；第3次操作后……其操作规则为：每次操作增加的项，都是用上一次操作得到的最末项减去其前一项的差，小强将这个活动命名为“回头差”游戏．则该“回头差”游戏第2023次操作后得到的整式串各项之和是（）A．m+n B．m C．n﹣m D．2n2．（2023•重庆）（定义新运算）在多项式x﹣y﹣z﹣m﹣n（其中x＞y＞z＞m＞n）中，对相邻的两个字母间任意添加绝对值符号，添加绝对值符号后仍只有减法运算，然后进行去绝对值运算，称此为“绝对操作”．例如：x﹣y﹣|z﹣m|﹣n＝x﹣y﹣z+m﹣n，|x﹣y|﹣z﹣|m﹣n|＝x﹣y﹣z﹣m+n，…．下列说法：①存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式相等；②不存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式之和为0；③所有的“绝对操作”共有7种不同运算结果．其中正确的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．33．（2023•沈阳）当a+b＝3时，代数式2（a+2b）﹣（3a+5b）+5的值为．4．（2023•泰州）若2a﹣b+3＝0，则2（2a+b）﹣4b的值为．►考向二单项式与多项式的乘法5．（2023•泸州）下列运算正确的是（）A．m3﹣m2＝m B．3m2•2m3＝6m5 C．3m2+2m3＝5m5 D．（2m2）3＝8m56．（2023•金昌）计算：a（a+2）﹣2a＝（）A．2 B．a2 C．a2+2a D．a2﹣2a7．（2023•随州）设有边长分别为a和b（a＞b）的A类和B类正方形纸片、长为a宽为b的C类矩形纸片若干张．如图所示要拼一个边长为a+b的正方形，需要1张A类纸片、1张B类纸片和2张C类纸片．若要拼一个长为3a+b、宽为2a+2b的矩形，则需要C类纸片的张数为（）A．6 B．7 C．8 D．9►考向三完全平方公式解题技巧/易错易混/特别提醒应用完全平方公式时，要注意：①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式；②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式；③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式．8．（2023•赤峰）下列运算正确的是（）A．（a2b3）2＝a4b6 B．3ab﹣2ab＝1 C．（﹣a）3•a＝a4 D．（a+b）2＝a2+b29．（2023•大庆）1261年，我国宋朝数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中提到了如图所示的数表，人们将这个数表称为“杨辉三角”．观察“杨辉三角”与右侧的等式图，根据图中各式的规律，（a+b）7展开的多项式中各项系数之和为．10．（2023•攀枝花）我们可以利用图形中的面积关系来解释很多代数恒等式．给出以下4组图形及相应的代数恒等式：其中，图形的面积关系能正确解释相应的代数恒等式的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个►考向四平方差公式解题技巧/易错易混/特别提醒应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；②右边是相同项的平方减去相反项的平方；③公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式；④对形如两数和与这两数差相乘的算式，都可以运用这个公式计算，且会比用多项式乘以多项式法则简便．10．（2023•东营）下列运算结果正确的是（）A．x3•x3＝x9 B．2x3+3x3＝5x6 C．（2x2）3＝6x6 D．（2+3x）（2﹣3x）＝4﹣9x211．（2023•湖州）计算：（a+1）（a﹣1）＝．12．（2023•无锡）（1）计算：（﹣3）2﹣+|﹣4|；化简：（x+2y）（x﹣2y）﹣x（x﹣y）．►考向五整式的混合运算解题技巧/易错易混/特别提醒有关代数式的常见题型为用代数式表示数字或图形的变化规律.数与图形的规律探索问题，关键要能够通过观察、分析、联想与归纳找出数或图形的变化规律，并用代数式表示出来.13．（2023•丽水）如图，分别以a，b，m，n为边长作正方形，已知m＞n且满足am﹣bn＝2，an+bm＝4．（1）若a＝3，b＝4，则图1阴影部分的面积是25；（2）若图1阴影部分的面积为3，图2四边形ABCD的面积为5，则图2阴影部分的面积是．14．（2023•宿迁）若实数m满足（m﹣2023）2+（2024﹣m）2＝2025，则（m﹣2023）（2024﹣m）＝．15.（2023•凉山州）先化简，再求值：（2x+y）2﹣（2x+y）（2x﹣y）﹣2y（x+y），其中x＝（）2023，y＝22022．►考向六因式分解解题技巧/易错易混/特别提醒因式分解是中考的高频考点，其题型一般为填空题，难度中等。解此类题的关键在于熟练掌握因式分解的两种基本方法，即提取公因式法和公式法。因式分解的一般步骤：16．（2023•黄石）因式分解：x（y﹣1）+4（1﹣y）＝．17．（2023•益阳）下列因式分解正确的是（）A．2a2﹣4a+2＝2（a﹣1）2 B．a2+ab+a＝a（a+b） C．4a2﹣b2＝（4a+b）（4a﹣b） D．a3b﹣ab3＝ab（a﹣b）218．（2023•绥化）因式分解：x2+xy﹣xz﹣yz＝．19．（2023•济宁）下列各式从左到右的变形，因式分解正确的是（）A．（a+3）2＝a2+6a+9 B．a2﹣4a+4＝a（a﹣4）+4 C．5ax2﹣5ay2＝5a（x+y）（x﹣y） D．a2﹣2a﹣8＝（a﹣2）（a+4）►考向七因式分解的应用20．（2023•浙江）一个多项式，把它因式分解后有一个因式为（x+1），请你写出一个符合条件的多项式：．21．（2023•凉山州）已知x2﹣2x﹣1＝0，则3x3﹣10x2+5x+2027的值等于．1．（2023•重庆）对于一个四位自然数M，若它的千位数字比个位数字多6，百位数字比十位数字多2，则称M为“天真数”．如：四位数7311，∵7﹣1＝6，3﹣1＝2，∴7311是“天真数”；四位数8421，∵8﹣1≠6，∴8421不是“天真数”，则最小的“天真数”为；一个“天真数”M的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，记P（M）＝3（a+b）+c+d，Q（M）＝a﹣5，若能被10整除，则满足条件的M的最大值为．2．（2023•陕西）计算：＝（）A．3x4y5 B．﹣3x4y5 C．3x3y6 D．﹣3x3y63．（2023•扬州）若（）•2a2b＝2a3b，则括号内应填的单项式是（）A．a B．2a C．ab D．2ab4．（2023•河北）现有甲、乙、丙三种矩形卡片各若干张，卡片的边长如图所示（a＞1）．某同学分别用6张卡片拼出了两个矩形（不重叠无缝隙），如表2和表3，其面积分别为S1，S2．表2表3（1）请用含a的式子分别表示S1，S2，当a＝2时，求S1+S2的值；（2）比较S1与S2的大小，并说明理由．5．（2023•浙江）（1）解不等式：2x﹣3＞x+1．（2）已知a2+3ab＝5，求（a+b）（a+2b）﹣2b2的值．6．（2023•台州）下列运算正确的是（）A．2（a﹣1）＝2a﹣2 B．（a+b）2＝a2+b2 C．3a+2a＝5a2 D．（ab）2＝ab27．（2023•日照）下列计算正确的是（）A．a2•a3＝a6 B．（﹣2m2）3＝﹣8m6