专题261反比例函数（全章知识梳理与考点分类讲解）-2023-2024学年九年级数学下册全章复习与专题突破讲与练（人教版）

专题26.1反比例函数（全章知识梳理与考点分类讲解）【知识点一】反比例函数的概念（1）定义：形如的函数称为反比例函数，k叫做比例系数，自变量的取值范围是非零的一切实数．（2）形式：反比例函数有以下三种基本形式①；②；③.【知识点二】反比例函数的图象与性质y＝eq\f(k,x)(k为常数，)图象[来om][来所在象限[来源:学*科*网Z*X*X*K]一、三（x，y同号）二、四（x，y异号）增减性在每个象限内，y随x的增大而减小在每个象限内，y随x的增大而增大对称性1.图象是中心对称图形，对称中心为原点；2.图象是轴对称图形，两条对称轴分别是平面直角坐标系一、三象限的角平分线和二、四象限的角平分线．【知识点三】反比例函数表达式的确定待定系数法步骤：（1）设：设函数表达式为；（2）代：将已知点的坐标代入函数表达式；（3）解：求出k的值，得到函数表达式．【知识点四】系数k的几何意义（1）意义：从的图象上任意一点向两坐标轴作垂线，两垂线与坐标轴围成的矩形的面积为.如图①和②，S矩形PAOB＝PA·PB＝|y|·|x|＝|xy|＝|k|；同理可得S△OPA＝S△OPB＝eq\f(1,2)|xy|＝eq\f(1,2)|k|.（2）常见的面积类型：易错警示：已知相关面积求反比例函数的表达式时，若函数图象在第二、四象限，则k＜0.(3)越大，双曲线离原点越远.（4）求k的常用方法①由面积关系求k值：用含k的代数式表示已知图形的面积；②设点法列方程求k值：化斜为直，把相似转化为坐标关系.【知识点五】反比例函数与一次函数（1）确定交点坐标①正比例函数与反比例函数图象相交，若其中一个交点坐标为，根据中心对称性，可得另一个交点坐标为.②一次函数与反比例函数图象相交，可联立两个函数解析式，利用方程思想求解.（2）确定函数解析式：利用待定系数法，先确定交点坐标，再分别代入两个函数解析式中求解.（3）在同一坐标系中判断函数图象：充分利用函数图象与各字母系数的关系，可采用假设法，分k＞0和k＜0两种情况讨论，看哪个选项符合要求即可，也可逐一选项判断、排除.（4）比较函数值的大小：主要通过观察图象，图象在上方的值大，图象在下方的值小，结合交点坐标，确定出解集的范围.【知识点六】反比例函数中的三个模型【考点目录】【考点一】反比例函数➼➼➻有关概念【考点二】反比例函数➼➼➻求反比例函数的解析式【考点三】反比例函数➼➼➻反比例函数系数K值的几何意义【考点四】反比例函数➼➼➻反比例函数系数与一次函数综合【考点五】反比例函数➼➼➻反比例函数与几何综合【考点六】反比例函数➼➼➻反比例函数的应用【考点一】反比例函数➼➼➻有关概念【例1】（2023上·上海青浦·八年级校考期中）已知：，并且与x成正比例，与成反比例，且当时，，当时，，求y与x之间的函数解析式．【答案】【分析】本题考查了待定系数法求函数的解析式，注意在本题中的正比例系数和反比例系数是两个不同的值，用不同的字母区分．设，则，然后利用待定系数法即可求得；解：∵与x成正比例，与成反比例，∴设，，∴，∵当时，，当时，，∴，解得，∴y与x之间的函数解析式为．【举一反三】【变式1】（2023上·广东佛山·九年级校考期中）如果函数是反比例函数，那么m的值是（

）A．2 B． C．1 D．【答案】B【分析】本题考查了反比例函数的定义．根据反比例函数的定义，即，只需令、，据此求解即可．解：∵是反比例函数，∴，解得：，故B正确．故选：B．【变式2】（2023上·陕西西安·九年级陕西师大附中校考期中）反比例函数经过这两个点，则b的值为．【答案】【分析】本题主要考查了求反比例函数的函数值，熟知反比例函数图象上的点一定满足其函数解析式，即反比例函数图象上的点，横纵坐标的乘积等于比例系数是解题的关键．解：∵反比例函数经过这两个点，∴，∴，故答案为：．【考点二】反比例函数➼➼➻求反比例函数的解析式【例2】（2023上·安徽滁州·九年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与一次函数的图象交于A，B两点，且点A的坐标为．（1）求该反比例函数解析式；（2）请结合图象，求出自变量x在什么取值范围时．【答案】（1）；（2）【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的综合，求反比例函数的解析式，解一元二次方程，（1）首先将代入求出，然后代入求出，进而得到；（2）首先联立反比例函数和一次函数得到，求出，，得到，然后利用图象求解即可．解题的关键是熟练掌握函数图像和性质．解：（1）将代入得，∴将代入得，∴反比例函数；（2）联立反比例函数和一次函数得，，即整理得，解得，将代入得，∴，由图象可得，当时，．【举一反三】【变式1】（2023上·山东泰安·九年级统考期中）若反比例函数的图象经过点，则这个函数的图象一定经过点（）A． B． C． D．【答案】D解：∵反比例函数的图象经过点，∴，∴反比例函数的表达式为：，A、由于，故反比例函数的图象不经过点；B、由于，故反比例函数的图象不经过点；C、由于，故反比例函数的图象不经过点；D、由于，故反比例函数的图象一定经过点．故选：D．【变式2】（2023上·河北石家庄·九年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，的顶点在双曲线上，顶点B在双曲线（，且）上，边在x轴上．

①若，则的长度为；②若的面积是7，则k的值是．【答案】3【分析】本题考查了反比例函数与平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质以及反比例函数定义是解决本题的关键．①先求出点A、B的坐标，则可求，然后根据平行四边形的性质求解即可；②根据平行四边形的性质和点A的坐标可求，进而求出点B的坐标，即可求出k的值．解：①∵在上，∴，∴，∵四边形是平行四边形，∴，，∴点B的纵坐标为2，又点B在上，∴点B的横坐标为，∴，∴；②∵的面积是7，，∴，∴，∴，∴．故答案为：3，．【考点三】反比例函数➼➼➻反比例函数系数K值的几何意义【例3】（2023下·吉林长春·八年级校考期中）如图，已知反比例函数的图象经过点．

（1）求k的值．（2）若点B在x轴上，且，则的面积为______．【答案】（1）；（2）【分析】（1）把点A坐标代入即可；（2）过A作与C，设点A的坐标为，得到，根据得到，将的面积用m，n来表示即可．（1）解：把代入到，得，解得，；（2）如图，过A作于点C，设点A的坐标为，

设点A的坐标为，∴∵，，∴，∴的面积为，故答案为：【点拨】本题主要考查了学生对于待定系数法，等腰三角形三线合一性质的应用和反比例函数系数k的几何意义的掌握情况．解得关键是用找到三角形面积与k之间的关系．【举一反三】【变式1】（2023上·广西南宁·九年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，菱形在第一象限内，边与x轴平行，A，B两点的纵坐标分别为4，2，反比例函数

的图象经过A，B两点．若菱形的面积为，则k的值为（

）A．4 B．6 C． D．【答案】C【分析】本题考查了菱形的性质以及反比例函数图象上点的坐标特征，过点A作x轴的垂线，交的延长线于点E，根据A，B两点的纵坐标分别为4，2，可得出横坐标，即可求得，的长，根据菱形的面积为，求得的长，在中，即可得出k的值．解：过点A作x轴的垂线，交的延长线于点E，∵A，B两点在反比例函数的图象，且纵坐标分别为4，2，，则，，∵菱形的面积为，，即，，在中，，，．故选：C．【变式2】（2023上·安徽安庆·九年级校联考期中）如图，一次函数的图象与x轴和y轴分别交于点A和点B，与反比例函数的图象在第一象限内交于点C，轴，轴，垂分别为点D，E，当矩形与的面积相等时，k的值为．

【答案】【分析】本题考查的是一次函数与反比例函数的性质，掌握反比例函数中的几何意义，的面积的计算是解题的关键．解：一次函数的图象与x轴和y轴分别交于点A和点B，令，则，令，则，∴点A、B的坐标分别为，∴的面积，又∵矩形的面积为k，∴，解得：（舍去）或，故答案为：．【考点四】反比例函数➼➼➻反比例函数系数与一次函数综合【例4】（2023上·湖南永州·九年级统考期中）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于A、B两点，且点A坐标为，点B坐标为．

（1）求反比例函数与一次函数的表达式；（2）求的面积（3）当时，请直接写出x的取值范围．【答案】（1）反比例函数为，一次函数为；（2）；（3）或；【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，一次函数与坐标轴的交点，图象法求不等式的解，（1）先由点坐标求得反比例函数，再由反比例函数求得点坐标，然后由，两点求得一次函数即可；（2）先令求得一次函数与轴的交点，可得线段的长，再由，两点到轴的距离求即可；（3）在函数图象上找出一次函数图象在反比例函数图象下边的取值范围即可；（1）解：将代入反比例函数可得，∴反比例函数为，将代入反比例函数可得，将，代入一次函数可得：，解得：，∴一次函数为；（2）解：设一次函数与轴交于点，令可得，∴线段的长为1，由坐标的定义可知点到轴的距离为2，点到轴的距离为1，以为底边，，两点到轴的距离为高可得：；（3）解：由两函数图象的交点可知当或时，一次函数的图象在反比例函数图象的下边，∴当时，或；【举一反三】【变式1】（2023·广东揭阳·校考一模）如图，在平面直角坐标系中，函数与的图象交于A，B两点，过A作y轴的垂线，交函数的图象于点C，连接，则的面积为（）

A．1 B．3 C．5 D．7【答案】C【分析】连接，根据图象先证明与的面积相等，再根据题意分别计算出与的面积即可得的面积．解：连接，设与y轴交于点D，如图，

∵反比例函数与函数的图象为中心对称图形，∴O为的中点，∴，∵由题意得A点在上，B点在上，∴，；∴，∴．故选：C．【点拨】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题与三角形面积公式，解题的关键是熟练的掌握一次函数与反比例函数的交点问题与三角形面积运算．【变式2】（2023上·安徽滁州·九年级统考期中）如图，点B和点C都是第二象限内的点，，，双曲线经过点C且与交于点E．

（1）直线的表达式为；（2）若，，则．【答案】32【分析】本题考查了反比例函数与一次函数，等腰直角三角形的判定与性质，待定系数法等知识．掌握待定系数法是解题的关键．（1）设，求出点B的坐标，然后利用待定系数法求解即可；（2）过E作轴于F，判定是等腰直角三角形，可求出点E的坐标，然后求出反比例函数的解析式，设，表示出点C的坐标，把C的坐标代入反比例函数解析式可求出，即可求解．解：（1）设，则，∵，，∴，都是等腰直角三角形，∴，∴，设直线的表达式为，则，解得，∴直线的表达式为；（2）过E作轴于F，

∵，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∵，，∴，，∴，，∴，把代入，得，解得，∴设，则，把代入，得，∴，∴，∴．故答案为：；32．

【考点五】反比例函数➼➼➻反比例函数与几何综合【例5】（2023·广东湛江·统考三模）如图，直线：与坐标轴交于A、D两点，以为边在右侧作正方形，过C作轴于G点．过点C的反比例函数与直线交于E、F两点．

（1）求证：；（2）求E、F两点坐标；（3）填空：不等式的取值范围是______．【答案】（1）见分析；（2），；（3）或【分析】（1）根据正方形的性质，得，，结合轴，得，则，证明；（2）根据直线：与坐标轴交于A、D两点，易得，，结合，得，，所以，即可作答；（3）结合（2）中的，，由图象知，不等式的取值范围是或．解：（1）证明：∵四边形是正方形，∴，，∴，∵轴，∴，∴，∴，在和中，，∴（2）解：依题意，直线：，令，则，∴，∴，令，则，∴，∴，∴，由（1）知，，∴，，∴，故将点C代入反比例函数中，得，∴反比例函数的解析式为，∵直线的解析式为，联立①②得，解得或，∴，（3）解：由图象知，结合（2）中的，，不等式的取值范围是或．【点拨】本题考查了一次函数与几何图形的应用，一次函数与反比例函数的交点问题，涉及正方形的性质以及全等三角形的判定与性质，综合性较强，正确掌握相关性质内容是解题的关键．【举一反三】【变式1】（2023上·河北石家庄·九年级石家庄市第十七中学校考期中）已知在平面直角坐标系中，为坐标原点，点是反比例函数图像上的一个动点，若以点为圆心，为半径的圆与直线相交，交点为、，当弦的长等于时，点的坐标为（

）

A．或 B．或C．或 D．或【答案】A【分析】当点在直线上方时，作，利用垂径定理可得，由勾股定理易得，作轴交直线于点，由可得，设，则，易得，，因为点在反比例函数图像上，所以易得可得，易得点的坐标，当点在直线下方时，利用对称性可得点的另一坐标．解：当点在直线上方时，连接，作，

，而，．作轴交直线于点，∵∠,∴，，∴，设，则，，∵点是反比例函数图像上的一个动点，，，（负值舍去），当点在直线下方时，由对称性可知．故选：A．【点拨】本题主要考查了垂径定理、反比例函数与一次函数的交点、勾股定理等知识点，正确作出恰当的辅助线、利用勾股定理和垂径定理解得是解答此题的关键．【变式2】（2023上·河北石家庄·九年级石家庄市第四十一中学校考期中）如图，点和在反比例函数的图象上，其中．过点A作轴于点C，若的面积为，则．

【答案】【分析】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，根据，得出，根据三角形面积公式，即可求出的面积；过点B作轴于点D，交于点E，根据，，得出，进而得出，根据梯形面积公式，列出方程，化简得，令，则，求出x的值，根据，得出，即，即可解答．解：∵，∴，∴，过点B作轴于点D，交于点E，

∵，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，整理得：，令，则，解得：，，∵，∴，即，∴，故答案为：2．

【考点六】反比例函数➼➼➻反比例函数的应用【例6】（2023上·江苏南通·九年级统考期中）智能饮水机接通电源后开始自动加热，水温每分钟上升，加热到时，饮水机自动停止加热，水温开始下降．在水温开始下降的过程中，水温与通电时间成反比例关系．当水温降至室温时，饮水机再次自动加热，重复上述过程．设某天水温和室温均为，接通电源后，水温与通电时间之间的关系如图所示．

（1）求当时，与之间的函数关系式；（2）加热一次，水温不低于的时间有多长？【答案】（1）函数的表达式为；（2）一个加热周期内水温不低于的时间为【分析】本题主要考查了反比例函数和一次函数的应用，解题的关键是看懂图像，灵活运用所学知识解决问题．（1）当时，设与之间的函数关系式为：，将点（）代入反比例函数的表达式中即可求解；（2）先求时的函数解析式，再令代入解析式中，解得；在降温过程中，水温为时，，最后把两个时间值相减即可．解：（1）设反比例函数的表达式为：，将点（）代入反比例函数表达式得：，故函数的表达式为：，当时，，则，即函数的表达式为：；（2）设时，函数的表达式为：，将点（）代入上式得：，解得：，即一次函数的表达式为：，令，将其代入中，解得：，在降温过程中，水温为时，，解得：，，一个加热周期内水温不低于的时间为．【举一反三】【变式1】（2023·山西大同·校联考模拟预测）远视眼镜的镜片是凸透镜，镜片的度数y