专题04一元一次方程

专题04一元一次方程思维导图核心考点聚焦1.判断是否是一元一次方程2.根据一元一次方程的定义求参数问题3.等式的基本性质4.解一元一次方程5.解一元一次方程中错解复原6.已知一元一次方程的解求参数的值7.已知含参数的一元一次方程的解为整数，求参数的值8.已知含参数的一元一次方程的解，求其他一元一次方程的解9.一元一次方程中新定义运算型问题10.利用一元一次方程解决销售利润问题11.利用一元一次方程解决数轴上的追及问题12.解一元一次方程的拓展问题一、一元一次方程的概念1．方程：含有未知数的等式叫做方程．2．一元一次方程：只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，这样的方程叫做一元一次方程．细节剖析：判断是否为一元一次方程，应看是否满足：①只含有一个未知数，未知数的次数为1；②未知数所在的式子是整式，即分母中不含未知数．3．方程的解：使方程的左、右两边相等的未知数的值叫做这个方程的解．4．解方程：求方程的解的过程叫做解方程．二、等式的性质与去括号法则1．等式的性质：等式的性质1：等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等．等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等．2．合并法则：合并时，把系数相加(减)作为结果的系数，字母和字母的指数保持不变．3．去括号法则：（1）括号外的因数是正数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相同．（2）括号外的因数是负数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相反．三、一元一次方程的解法解一元一次方程的一般步骤：(1)去分母：在方程两边同乘以各分母的最小公倍数．(2)去括号：依据乘法分配律和去括号法则，先去小括号，再去中括号，最后去大括号．(3)移项：把含有未知数的项移到方程一边，常数项移到方程另一边．(4)合并：逆用乘法分配律，分别合并含有未知数的项及常数项，把方程化为ax＝b(a≠0)的形式．(5)系数化为1：方程两边同除以未知数的系数得到方程的解(a≠0)．(6)检验：把方程的解代入原方程，若方程左右两边的值相等，则是方程的解；若方程左右两边的值不相等，则不是方程的解．四、列方程解应用题的步骤：①审：审题，分析题中已知什么，求什么，明确各数量之间关系；②设：设未知数（一般求什么，就设什么为x）；③找：找出能够表示应用题全部意义的一个相等关系；④列：根据这个相等关系列出需要的代数式，进而列出方程；⑤解所列出的方程，求出未知数的值；⑥答：检验所求解是否符合题意，写出答案（包括单位名称）．五、用一元一次方程解决实际问题的常见类型1.行程问题：路程＝速度×时间2.利润问题：商品利润＝商品售价－商品进价3.工程问题：工作量＝工作效率×工作时间，各部分劳动量之和＝总量4.银行存贷款问题：本息和＝本金+利息，利息＝本金×利率×期数5.数字问题：多位数的表示方法：例如：1.理解并应用一元一次方程的定义，明确只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1．2.解含有分母的一元一次方程，去分母时，常数项一定要记得乘最小公倍数.3.用一元一次方程解决销售利润问题与数轴上的追及问题是一类难点，要善于总结通用的解题思想.考点剖析考点一、判断是否是一元一次方程例题1：（2023上·四川凉山·七年级统考期末）下列方程中：，一元一次方程的个数是（

）A．3个 B．2个 C．5个 D．4个【答案】B【解析】方程都是一元一次方程，共有2个，方程中的不是整式，不是一元一次方程，方程中的次数是2，不是一元一次方程，方程中含有两个未知数，不是一元一次方程，故选B．考点二、根据一元一次方程的定义求参数问题例题2:已知2xm2+3=0是关于x的一元一次方程，则m=__________．【答案】3【解析】因为2xm2+3=0是关于x的一元一次方程，所以m2=1，解得m=3．故答案为：3．考点三、等式的基本性质例题3：下列运用等式的性质对等式进行的变形中，错误的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】D【解析】A、若，则，正确，不符合题意．B、若，则，正确，不符合题意．C、若，则，正确，不符合题意．D、若，则，当才成立，错误，符合题意．故选D．考点四、解一元一次方程例题4：解方程：(1)；(2)．【解析】（1）移项，得，合并同类项，得，系数化为1，得，所以方程的解为；（2）去分母，得，去括号，得，移项，得，合并同类项，得，系数化为1，得，所以方程的解为．考点五、解一元一次方程中错解复原例题5：老师让同学们解方程，某同学给出了如下的解答过程：去分母，得，去括号，得，移项，得，合并同类项，得，两边都除以7，得，

根据该同学的解答过程，你发现：(1)从第_______步开始出现错误，该步错误的原因是______________________；(2)请你给出正确的解答过程．【解析】（1）由题意可得，第①开始出现错误，该步错误的原因是：没有乘以6，故答案是：①，没有乘以6；（2）去分母，得，去括号，得，移项，得，合并同类项，得，两边都除以，得.考点六、已知一元一次方程的解求参数的值例题6：已知关于x的方程的解是，则的值是（

）A．1 B． C． D．2023【答案】B【解析】将代入原方程得：，解得，所以，故选B．考点七、已知含参数的一元一次方程的解为整数，求参数的值例题7：若关于x的方程的解是整数，且k是正整数，则k的值是（

）A．1或3 B．3或5 C．2或3 D．1或6【答案】A【解析】去分母，得，去括号，得，移项合并同类项，得，系数化为1，得，因为关于x的方程的解是整数，所以或，所以或或或，因为k是正整数，所以或，故选A．考点八、已知含参数的一元一次方程的解，求其他一元一次方程的解例题8：若关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】设，则，变形为，所以，解得，故选．考点九、一元一次方程中新定义运算型问题例题9：规定的一种新运算“”：，例如：．(1)试求的值；(2)若，求的值；(3)若，求的值．【解析】（1）．（2），，，．（3），，，，，．考点十、利用一元一次方程解决销售利润问题例题10：贵阳市人民广场某超市第一次用元购进甲、乙两种商品，其中乙商品的件数比甲商品件数的多件，甲、乙两种商品的进价和售价如表：（注：获利＝售价﹣进价）甲乙进价（元/件）2230售价（元/件）2940(1)该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部卖完后一共可获得多少利润？(2)该超市第二次以第一次的进价又购进甲、乙两种商品．其中甲种商品的件数不变，乙种商品的件数是第一次的3倍；甲商品按原价销售，乙商品打折销售．第二次两种商品都销售完以后获得的总利润比第一次获得的总利润多元，求第二次乙种商品是按原价打几折销售．【解析】（1）设超市第一次购进甲种商品x件，则购进乙种商品件，由题意得：，所以，所以（件），所以超市第一次购进甲种商品件，乙种商品件．因为（元），所以该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部卖完后一共可获得元利润；（2）设第二次乙种商品是按原价打折销售，根据题意，得，解得．答：第二次乙种商品是按原价打八五折销售．考点十一、利用一元一次方程解决数轴上的追及问题例题11：如图，已知数轴上有两点，点在原点的右侧，到原点的距离为3，点在点的左侧，．动点分别从两点同时出发，在数轴上匀速运动，它们的速度分别为2个单位长度/秒、1个单位长度/秒，设运动时间为t秒．(1)点表示的数为________，点表示的数为________；(2)若动点均向右运动．①当时，点对应的数是________，两点间的距离为________个单位长度；②请问当为何值时，点追上点，并求出此时点对应的数；(3)若动点从点向左运动到原点后返回到点停止，动点从点向右运动，当点停止时，点也停止运动．请直接写出当为何值时，在和三条线段中，其中一条线段的长度是另一条线段长度的4倍．【解析】（1）因为点在原点的右侧，到原点的距离为3，所以点表示的数为，因为点在点的左侧，，所以点表示的数为，故答案为：；．（2）①当时，点向右运动了个单位长度，点向右运动了个单位长度，所以点对应的数为，点对应的数为，两点间的距离为个单位长度，故答案为：；．②当点追上点时，可得点对应的数与点对应的数相同，故，解得，此时点对应的数为．（3）当点停止时，所用时间为，当时，，解得；当时，，解得（舍去）；当时，，解得；当时，，解得．综上所述，当，或时，在和三条线段中，其中一条线段的长度是另一条线段长度的4倍．考点十二、解一元一次方程的拓展问题例题12：我们规定关于x的一元一次方程的解满足，则称该方程是“差解方程”，例如：的解为，满足，则该方程就是“差解方程”，请根据上述规定解答下列问题：【定义理解】（1）判断：方程________差解方程；（填“是”或“不是”）（2）若关于x的一元一次方程是“差解方程”，求m的值；【知识应用】（3）已知关于x的一元一次方程是“差解方程”，则__________．（4）已知关于x的一元一次方程和都是“差解方程”，求代数式的值．【解析】（1）因为方程的解为，所以方程是差解方程．故答案为：是；（2）由题意可知，由一元一次方程可知，所以，解得；（3）因为方程是“差解方程”，所以，解方程，得，所以，所以，即．故答案为：16；（4）因为一元一次方程是“差解方程”，所以，解一元一次方程得所以，整理得，因为一元一次方程是“差解方程”，所以，解一元一次方程得，所以，整理得，所以．过关检测一、选择题1．下列方程中，是一元一次方程的是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】A、是一元二次方程，不符合题意；B、不是整式方程，故不是一元一次方程，不符合题意；C、展开括号为，是一元一次方程，符合题意；D、是二元一次方程，不符合题意；故选C．2．下列变形不一定正确的是（

）A．若，则 B．若，则 C．，则 D．若，则【答案】D【解析】A．根据等式性质2，若，则正确，故选项A不符合题意；B．根据等式性质2，若，则正确，故选项B不符合题意；C．根据等式性质1，若，则正确，故选项C不符合题意；D．当时，，但不一定等于，故选项D符合题意．故选D．3．下列选项中，正确的是（

）A．由，移项得B．由，去分母得C．由，去括号得D．把中的分母化为整数，得【答案】D【解析】A、由，移项得，原选项不符合题意；B、由，去分母得，原选项不符合题意；C、由，去括号得，原选项不符合题意；D、由，则，原选项符合题意．故选D．4．若关于x的一元一次方程的解为正整数，则整数k的值为（）A．2 B．4 C．0或2 D．2或4【答案】D【解析】解方程得，因为关于x的一元一次方程的解为正整数，k为整数，所以或，所以或4．故选D．5．现定义运算“*”，对于任意有理数与，满足，譬如，．若有理数满足，则的值为（

）A．4 B．5 C．21 D．5或21【答案】B【解析】若，①当时，，解得；②当时，，解得（舍去)．故选B．二、填空题6．若，则．【答案】1【解析】因为，所以，故答案为：1．7．已知关于的方程与有相同的解，则．【答案】/【解析】，，即，解得，将代入，得，解得，故答案为：．8．若方程是关于的一元一次方程，则．【答案】【解析】因为方程是关于的一元一次方程，所以，解得．故答案为：．9．我国古代著作《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数、鸡价各几何．”其大意是：今有人合伙买鸡，每人出钱，会多出钱；每人出钱，又差钱．问人数、鸡价各是多少．”设共有人合伙买鸡，根据题意，可列方程为．【答案】【解析】由题意得：，故答案为：．10．已知关于x的一元一次方程的解为，那么关于y的一元一次方程的解为．【答案】3【解析】因为方程的解为，所以方程满足，解得，故答案为：3．三、解答题11．解方程：(1)； (2)；(3)； (4)．【解析】（1），移项，得，合并同类项，得，系数化为1，得．（2），去括号，得，移项，得，合并同类项，得，系数化为1，得．（3），去括号，得，移项，得，合并同类项，得．（4），去分母，得，去括号，得，移项，得，合并同类项，得，系数化为1，得．12．下面是小武同学解方程的过程，请认真阅读并完成相应任务．解方程：．

第①步；

第②步；

第③步；

第④步；

第⑤步．(1)【任务一】填空：①以上解方程的步骤中，第______步是进行去分母，去分母的依据是______；②第______步开始出现错误，这一步错误的原因是______．(2)【任务二】请帮小武改正错误，写出正确的解题过程．【解析】（1）以上解题过程中，第①步是去分母，依据等式的性质进行变形的；从第③步开始出现错误，原因是：移项没变符号，故答案为：①，等式的性质，③，移项没变符号；（2）去分母，得，去括号，得，移项，得，合并同类项，得，系数化为，得，所以原方程的解为．13．对于有理数a，b，定义两种新运算“※”与“◎”，规定：，，例如，．(1)计算的值；(2)若a，b在数轴上的位置如图所示，化简；(3)若，求x的值．【解析】（1）；（2）由图可知：，，所以，所以；（3）因为，，所以转化为：，所以．14．某水果店现推出水果篮和坚果礼盒，每个水果篮的成本为元．每盒坚果礼盒的成本为元，每个水果篮的售价比每盒坚果的售价多元，售卖个水果篮获得的利润和售卖盒坚果礼盒获得的利润一样多．(1)求每个水果篮和每盒坚果礼盒的售价；(2)该水果店第一批购进了个水果篮和盒坚果礼盒．为回馈客户该水果店计划将每个水果篮打折出售，坚果礼盒原价出售．售完这批水果篮和坚果礼盒水果店共盈利元，按此计划每个水果篮应打几折出售？【解析】（1）设每个水果篮售价为元，每盒坚果礼盒的售价为元，依题意得：，解得，，答：每个水果篮售价为元，每盒坚果礼盒的售价为元．（2）设计划每个水果篮应打折出售，依题意得：，解得，答：按此计划每个水果篮应打折出售．15．如图，在数轴上点表示的数是，点在点的右侧，且到点的距离是18，点在点与点之间，且点与点的距离为9．(1)点表示的数是_______，点表示的数是_______；(2)若点从点出发，沿数轴以每秒3个单位长度的速度向右匀速运动；同时，点从点出发，沿数轴以每秒2个单位长度的速度向左匀速运