专题251投影与视图（全章知识梳理与考点分类讲解）-2023-2024学年九年级数学下册全章复习与专题突破讲与练（沪科版）

专题25.1投影与视图（全章知识梳理与考点分类讲解）【知识点一】平行投影：1.定义理解：一般地，用光线照射物体，在某个平面(地面或墙壁等)上得到的影子，叫做物体的投影.只要有光线，有被光线照到的物体，就存在影子.太阳光线可看做平行的，象这样的光线照射在物体上，所形成的投影叫做平行投影.由此我们可得出这样两个结论：

(1)等高的物体垂直地面放置时，如图1所示，在太阳光下，它们的影子一样长.

(2)等长的物体平行于地面放置时，如图2所示，它们在太阳光下的影子一样长，且影长等于物体本身的长度.

2.物高与影长的关系（1）在不同时刻，同一物体的影子的方向和大小可能不同.不同时刻，物体在太阳光下的影子的大小在变，方向也在改变，就北半球而言，从早晨到傍晚，物体影子的指向是：西→西北→北→东北→东，影长也是由长变短再变长.

（2）在同一时刻，不同物体的物高与影长成正比例.

即：.

利用上面的关系式可以计算高大物体的高度，比如旗杆的高度等.

注意：利用影长计算物高时，要注意的是测量两物体在同一时刻的影长.

特别提醒：

1．平行投影是物体投影的一种，是在平行光线的照射下产生的.利用平行投影知识解题要分清不同时刻和同一时刻.

2．物体与影子上的对应点的连线是平行的就说明是平行光线.

【知识点二】中心投影：若一束光线是从一点发出的，像这样的光线照射在物体上所形成的投影，叫做中心投影.这个“点”就是中心，相当于物理上学习的“点光源”.生活中能形成中心投影的点光源主要有手电筒、路灯、台灯、投影仪的灯光、放映机的灯光等.相应地，我们会得到两个结论：(1)等高的物体垂直地面放置时，如图1所示，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长.

(2)等长的物体平行于地面放置时，如图2所示.一般情况下，离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越短，但不会比物体本身的长度还短.

在中心投影的情况下，还有这样一个重要结论：点光源、物体边缘上的点以及它在影子上的对应点在同一条直线上，根据其中两个点，就可以求出第三个点的位置.

特别提醒：

光源和物体所处的位置及方向影响物体的中心投影，光源或物体的方向改变，则该物体的影子的方向也发生变化，但光源、物体的影子始终分离在物体的两侧.

【知识点三】正投影：正投影的定义：

如图所示，图(1)中的投影线集中于一点，形成中心投影；图(2)(3)中，投影线互相平行，形成平行投影；图(2)中，投影线斜着照射投影面；图(3)中投影线垂直照射投影面(即投影线正对着投影面)，我们也称这种情形为投影线垂直于投影面.像图(3)这样，投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影.

(1)线段的正投影分为三种情况.如图所示.

①线段AB平行于投影面P时，它的正投影是线段A1B1，与线段AB的长相等；

②线段AB倾斜于投影面P时，它的正投影是线段A2B2，长小于线段AB的长；

③线段AB垂直于投影面P时，它的正投影是一个点.

(2)平面图形正投影也分三种情况，如图所示.

①当平面图形平行于投影面Q时，它的正投影与这个平面图形的形状、大小完全相同，即正投影与这个平面图形全等；

②当平面图形倾斜于投影面Q时，平面图形的正投影与这个平面图形的形状、大小发生变化，即会缩小，是类似图形但不一定相似.

③当平面图形垂直于投影面Q时，它的正投影是直线或直线的一部分.

(3)立体图形的正投影.

物体的正投影的形状、大小与物体相对于投影面的位置有关，立体图形的正投影与平行于投影面且过立体图形的最大截面全等.

特别提醒：

(1)正投影是特殊的平行投影，它不可能是中心投影.

(2)由线段、平面图形和立体图形的正投影规律，可以识别或画出物体的正投影.

(3)由于正投影的投影线垂直于投影面，一个物体的正投影与我们沿投影线方向观察这个物体看到的图象之间是有联系的.

【知识点四】三视图：1.三视图的概念

（1）视图

从某一角度观察一个物体时，所看到的图象叫做物体的一个视图.

（2）正面、水平面和侧面

用三个互相垂直的平面作为投影面，其中正对我们的面叫做正面，正面下面的面叫做水平面，右边的面叫做侧面.

（3）三视图

一个物体在三个投影面内同时进行正投影，在正面内得到的由前向后观察物体的视图，叫做主视图；在水平面内得到的由上向下观察物体的视图，叫做俯视图；在侧面内得到的由左向右观察物体的视图，叫做左视图.主视图、左视图、俯视图叫做物体的三视图.

2.三视图之间的关系（1）位置关系

三视图的位置是有规定的，主视图要在左边，它的下方应是俯视图，左视图在其右边，如图(1)所示.

（2）大小关系

三视图之间的大小是相互联系的，遵循主视图与俯视图的长对正，主视图与左视图的高平齐，左视图与俯视图的宽相等的原则.如图(2)所示.

特别提醒：

物体的三视图的位置是有严格规定的，不能随意乱放.三视图把物体的长、宽、高三个方面反映到各个视图上，具体地说，主视图反映物体的长和高；俯视图反映物体的长和宽，左视图反映物体的高和宽，抓住这些特征能为画物体的三视图打下坚实的基础.

【知识点五】画几何体的三视图:画图方法：

画一个几何体的三视图时，要从三个方面观察几何体，具体画法如下：

(1)确定主视图的位置，画出主视图；

(2)在主视图的正下方画出俯视图，注意与主视图“长对正”；

(3)在主视图的正右方画出左视图，注意与主视图“高平齐”，与俯视图“宽相等”.

几何体上被其他部分遮挡而看不见的部分的轮廓线应画成虚线.

特别提醒：

画一个几何体的三视图，关键是把从正面、上方、左边三个方向观察时所得的视图画出来，所以，首先要注意观察时视线与观察面垂直，即观察到的平面图是该图的正投影；其二，要注意正确地用虚线表示看不到的轮廓线；其三，要充分发挥想象，多实践，多与同学交流探讨，多总结；最后，按三视图的位置和大小要求从整体上画出几何体的三视图.

【知识点五】由三视图想象几何体的形状

由三视图想象几何体的形状，首先应分别根据主视图、俯视图和左视图想象主体图的前面、上面和左侧面，然后综合起来考虑整体图形.

特别提醒：

由物体的三视图想象几何体的形状有一定的难度，可以从如下途径进行分析：(1)根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状以及几何体的长、宽、高；(2)根据实线和虚线想象几何体看得见和看不见的轮廓线；(3)熟记一些简单的几何体的三视图会对复杂几何体的想象有帮助；(4)利用由三视图画几何体与由几何体画三视图为互逆过程，反复练习，不断总结方法.

【考点目录】【考点1】平行投影➼➼➻概念理解、求值与证明【考点2】中心投影➼➼➻概念理解与相关证明与运算【考点3】正投影➼➼➻概念理解与相关证明与运算【考点4】视点、视角和盲区➼➼➻概念理解与相关证明与运算【考点5】三视图➼➼➻物体三视图的判断与求值【考点6】三视图➼➼➻物体小正方体判断与求值【考点1】平行投影➼➼➻概念理解、求值与证明【例1】（2023上·四川巴中·九年级统考期中）已知：如图，和是直立在地面上的两根立柱，，某一时刻，在阳光下的投影．（1）请你在图中画出此时在阳光下的投影，并简述画图步骤和说明作图依据了太阳光线的哪一性质；（2）在测量的投影长时，同时测出在阳光下的投影长为，请你计算的长．【答案】（1）见分析，作图依据是运用了太阳光线是平行光线的性质；（2）【分析】本题考查了相似三角形的判断及性质、平行投影：（1）利用平行投影的性质即可求解；（2）利用相似三角形的判定及性质即可求解；熟练掌握平行投影的性质及相似三角形的判定及性质是解题的关键．（1）解：连接，过点作，交直线于，如图所示，就是的投影，作图依据是运用了太阳光线是平行光线的性质．（2），，又，，，，，，，．【举一反三】【变式1】（2023上·山东青岛·九年级统考期中）一个矩形的平行投影不可能是（）A．梯形 B．矩形 C．平行四边形 D．线段【答案】A【分析】本题考查平行投影问题，根据平行投影得出矩形的投影图形解答即可．解：在平行投影下，矩形的投影可能是线段、矩形、平行四边形，不可能是梯形，故选：A．【变式2】（2023上·河北邢台·九年级邢台三中校联考期中）公元前6世纪，古希腊学者泰勒斯用图1的方法巧测金字塔的高度．如图2，小明仿照这个方法，测量圆锥形小山包的高度，已知圆锥底面周长为．先在小山包旁边立起一根木棒，当木棒影子长度等于木棒高度时，测得小山包影子长为（直线过底面圆心），则：（1）小山包的半径为；（2）小山包的高为．（取）【答案】【分析】此题考查平行投影，解题关键是根据通过三角形相似，将小山包的高转化为的长进行求解．根据平行投影，即可得相似三角形，那么可得到，根据圆锥底面周长求出圆锥底面圆的半径，最后推论出高．解：连接，过作于，由题意可知，∴∵圆锥底面周长为．∴，解得，∵,∴∴小山包的高为．故答案为：，．【考点2】中心投影➼➼➻概念理解与相关证明与运算【例2】（2023上·江苏泰州·九年级校考期中）如图，在路灯下，甲的身高如图中线段所示，他在地面上的影子如图中线段所示，小亮的身高如图中线段所示，路灯M在线段上．

（1）请你确定路灯M所在的位置，并画出表示乙在灯光下形成的影子线段．（2）如果灯距离地面，乙的身高，乙与灯杆的距离，请求出乙影子的长度．【答案】（1）见分析；（2）1米【分析】本题考查中心投影，相似三角形的判定和性质，解题的关键是：（1）连接进而延长交于点，再连接并延长交于点，得出进而得出答案；（2）证明，根据相似三角形的性质得出答案．（1）解：如图所示：路灯,即为所求；

（2），，，灯距离地面，乙的身高，乙与灯杆的距离，，解得：∴乙影子的长度为．【举一反三】【变式1】（2023上·全国·九年级专题练习）一块三角形板，测得边的中心投影长为，则边的中心投影的长为（）

A．24cm B．20cm C．15cm D．5cm【答案】B【分析】由投影得，由相似性质得，求得．解：∵，∴，∵，∴，故选：B．【点拨】本题考查中心投影，相似三角形的性质；由相似三角形得到线段间的数量关系是解题的关键．【变式2】（2023上·辽宁阜新·九年级阜新实验中学校考期中）三角板在点光源O的照射下形成投影，三角板的顶点A与其投影的对应点B的位置如图，经测量，且三角板的面积为，则其投影的面积为．【答案】50【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，易得三角板与它的投影成相似图形，再根据面积比等于相似比的平方，进行列式作答．解：依题意，三角板与它的投影成相似图形∵，三角板的面积为∴三角板的面积：其投影的面积即其投影的面积为故答案为：50【考点3】正投影➼➼➻概念理解与相关证明与运算【例3】（2022上·九年级单元测试）如图，已知线段，投影面为P．

（1）当垂直于投影面P时（如图①），请画出线段的正投影；（2）当平行于投影面P时（如图②），请画出它的正投影，并求出正投影的长；（3）在（2）的基础上，点A不动，线段绕点A在垂直于投影面P的平面内逆时针旋转，请在图③中画出线段的正投影，并求出其正投影的长．【答案】（1）画图见分析；（2）画图见分析，线段的正投影的长为2cm；（3）画图见分析，线段的正投影的长为【分析】（1）根据投影的作图方法作图即可；（2）根据投影的作图方法先作图，再根据平行投影的性质即可得到；（3）根据投影的作图方法先作图，再在中求出的长即可得到答案．（1）解：如图①所示，即为所求；（2）解：如图②所示，即为所求；∵平行于投影面P，∴；（3）解：如图③所示，即为所求；由题意得，∴．

【点拨】本题主要考查了投影，解直角三角形，正确对应线段的投影是解题的关键．【举一反三】【变式1】（2023上·广东深圳·九年级北大附中深圳南山分校校考阶段练习）下列说法正确的是（）A．物体在太阳光下产生的投影是物体的正投影B．正投影一定是平行投影C．物体在灯光下产生的投影是物体的正投影D．正投影可能是中心投影【答案】B【分析】首先明确：平行投射线垂直于投影面的称为正投影；接下来根据正投影的定义进行分析即可得答案．解：A．物体在太阳光下产生的投影不一定是物体的正投影，错误，不合题意；B．正投影一定是平行投影，正确，符合题意；C．物体在灯光下产生的投影不一定是物体的正投影，错误，不合题意；D．正投影是平行投影，错误，不合题意．故选：B．【点拨】本题考查平行投影中正投影的相关知识，解题需掌握正投影的特点．【变式2】（2023上·山东青岛·九年级统考期中）如图，一条线段在平面α内的正投影为，，，则的度数为．

【答案】/60度【分析】本题考查平行投影，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．过A作，交于C点．求出的值，可得结论．解：过A作，交于C点．

∵线段在平面α内的正投影为，，，∴，∴，且，则即为所求．∴，∴．故答案为：．【考点4】视点、视角和盲区➼➼➻概念理解与相关证明与运算【例4】（2023上·陕西汉中·九年级统考期末）如图，为一盏路灯的灯杆，已知该路灯的灯泡P位于灯杆上，地面上竖立着一个矩形单杠，已知单杠右侧杆在路灯灯泡P的照射下的影子末端位于点E处，已知O、B、C、E在一条直线上，且，，．（1）请在图中找出路灯灯泡P的位置，并画出单杠左侧杆在灯泡P的照射下的影子；（2）经测量米，米，单杠的高度米，请你计算路灯灯泡距地面的高度．【答案】（1）见分析；（2）米【分析】（1）连接并延长交于点P，连接并延长交于F，点P和即为所求；（2）先求出米，证明，得到，即，则米．（1）解：如图所示，点P和即为所求；（2）解：∵米，米，∴米，∵，，即，∴，∴，即，∴米，∴路灯灯泡距地面的高度为米．【点拨】本题主要考查了相似三角形的应用举例，熟知相似三角形的性质与判定条件是解题的关键．【举一反三】【变式1】（2013上·河北保定·九年级统考期末）如图，在房子屋檐E处安有一台监视器，房子前有一面落地的广告牌，那么监视器的盲区是（）

A． B． C． D．四边形【答案】C【分析】解答此题首先要了解盲区的定义，视线覆盖不到的地方即为该视点的盲区，由图知，是视点，找到在点处看不到的区域即可．解：由图知：在视点的位置，看不到段，因此监视器的盲区在所在的区域，故选：C．【点拨】本题考查了投影和视图的概念，解答此类问题，首先要确定视点，然后再根据盲区的定义进行判断．【变式2】（2019·九年级单元测试）电影院的座位排列时，后一排总比前一排高，并且每一横排呈圆弧形，这是为了．【答案】增加视野，后面的观众看清屏幕，保证同一排上的人看屏幕的视角相等【分析】从减小盲区角度可理解后一排总比前一排高，从满足有相同的视角可理解每一横排呈圆弧形．解：电影院的座位排列时，后一排总比前一排高是为了增加视野，后面的观众看清屏幕，每一横排呈圆弧形是利用圆周角相等，保证同一排上的人看屏幕的视角相等．故答案为增加视野，后面的观众看清屏幕，保证同一排上的人看屏幕的视角相等．【点拨】本题考查了视点、视角和盲区：把观察者所处的位置定为一点，叫视点；人眼到视平面的距离视固定的（视距），视平面左右两个边缘到人眼的连线得到的角度就是视角．视线到达不了的区域为盲区．【考点5】三视图➼➼➻物体三视图的判断与求值【例5】（2023上·全国·七年级期中）如图，是由6个大小相同的小立方体块搭建的几何体，其中每个小正方体的棱长为1厘米．（1）直接写出这个几何体的表面积（包括底部）：__________；（2）请按要求在方格内分别画出从这个几何体的三个不同方向看到的形状图．【答案】（1）；（2）画图见分析【分析】本题考查简单组合体的三视图，（1）三视图面积和的2倍即可；（2）利用三视图的画法画出图形即可．（1）解：，故答案为：；（2）根据三视图的画法，画出相应的图形如下：【举一反三】【变式1】（2023上·陕西西安·七年级统考阶段练习）如图是由8个小立方块搭成的几何体从上面看到的形状图，小正方形中的数字表示该位置的小立方块的个数，则这个几何体从正面看到的形状是（

）A．B．C． D．【答案】B【分析】根据从上面看到的几何体形状及个数即可得到从正面看到的形状及对应的个数．解：根据从上面看到的几何体形状及个数可知：该几何体从正面看到的形状共三列，从左往右依次是2、2、3，故选：B．【点拨】本题考查了三种视图之间的关系，解题的关键是通过空间想象能力得到相应位置上正方体的个数．【变式2】（2021上·山东菏泽·九年级统考期末）如图，某机器零件的三种视图中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是．【答案】俯视图【分析】画出零件的三视图，根据该三视图，结合轴对称、中心对称的意义进行判断即可．解：该几何体的三视图如下：三视图中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是俯视图，故答案为：俯视图．【点拨】本题考查简单组合体的三视图，中心对称、轴对称，理解视图的意义，掌握简单组合体三视图的画法以及轴对称、中心对称的意义是正确判