专题19线段垂直平分线（知识梳理与考点分类讲解）-2023-2024学年八年级数学下册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

专题1.9线段垂直平分线（知识梳理与考点分类讲解）【知识点一】线段垂直平分线性质定理性质定理线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等.条件：点在线段的垂直平分线上.结论：在这个点到线段的两个端点的距离相等.几何语言：如图∵AD⊥BC于D，BD=CD，∴AB=AC.线段垂直平分线的性质与角平分线的性质的联系与区别联系：两者都可以直接得到两条线段相等.区别：前者指的是点到点的距离，后者指的是点到直线的距离.特别提醒1.线段的垂直平分线的性质中的“距离”是“该点与这条线段两个端点的距离”2.用线段的垂直平分线的性质可直接证明线段相等，不必再用三角形全等来证明，因此它为证明线段相等提供了新方法.【知识点二】线段垂直平分线的判定定理1.判定定理到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.条件：点到线段两个端点距离相等.结论：点在线段的垂直平分线上.几何语言∵AB=AC，∴点A在线段BC的垂直平分线上.特别提醒用定义法证明一个点在一条线段的垂直平分线上，思路有两种：一是做垂直，证平分；二是取中点，证垂直.用判定定理证明线段的垂直平分线，必须证明两个点在线段的垂直平分线上.【知识点三】三角形三条边的垂直平分线的性质定理

性质定理三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.符号语言:∵直线MN，EF，PQ分别垂直平分BC,AB,AC,∴直线MN，EF，PQ相交于一点O，且OA=OB=OC.特别解读因为三角形任意两条边的垂直平分线一定交于一点，所以要证明三角形三条边的垂直平分线的性质，只要证明这个交点在第三条边的垂直平分线上即可.该性质综合了线段垂直平分线的性质定理和判定定理，是这两个定理的升华，同时也给出了判定三线共点的一种特殊方法.‘’【知识点四】用尺规作已知直线（或线段）的垂线已知、求作作法已知：如图，线段a，h求作：△ABC，使AB=AC,BC=a高AD=h（1）如图，作线段BC=a做线段BC的垂直平分线l，交BC于点D.在l上作线段DA，使DA=h.链接AB,AC.△ABC为所求做的等腰三角形.已知：如图，直线l和l上一点p.求作：直线l的垂线，使它过点P如图，以点p为圆心，适当长为半径作弧，交直线l于点A,B.做线段AB垂直平分线m，直线m为所求作的垂线.已知：如图，直线l和l外的一点p.求作：直线l的垂线，使它过点p.如图，以点p为圆心，适当长为半径画弧，交直线l于点A,B.做线段AB的垂直平分线m，直线m为所求作的垂线.特别提醒作图题的一般思路:1.假设所求做的图形已作出，画出草图；2.在草图上标出已知的边、角的对应位置及规定的交点字母；3.从草图中找出可作的基本图形，确定作图顺序；4.按确定的顺序作出所求做的图形.【考点目录】【线段垂直平分线的性质】【考点1】利用线段垂直平分线的性质求值；【考点2】利用线段垂直平分线的性质证明；【线段垂直平分线的判定】【考点3】利用线段垂直平分线的判定证明和求值；【线段垂直平分线的性质与判定】【考点4】利用线段垂直平分线性质与判定求值；【考点5】利用线段垂直平分线的性质与判定证明；【用线段垂直平分线性质与判定作图】【考点6】利用用线段垂直平分线性质与判定作图.【线段垂直平分线的性质】【线段垂直平分线的性质】【考点1】利用线段垂直平分线的性质求值；【例1】（2024上·甘肃平凉·八年级统考期末）如图，在中，，是的垂直平分线，交于N．（1）若，求的度数．（2）连接，若，的周长是．求的长．【答案】（1）；（2）【分析】本题考查了等腰三角形的性质、线段的垂直平分线的性质和三角形内角和定理，（1）根据等腰三角形的性质得出，求得，根据线段的垂直平分线的性质得出，进而得出，利用三角形内角和定理可求得；（2）根据的周长为即可求得．（1）解：∵，∴，∴，∵是的垂直平分线，∴，∴，∴，∴；（2）∵，∴，∵，∴，∵的周长是．∴．【变式1】（2024上·甘肃平凉·八年级统考期末）如图，在中，，的垂直平分线交于点E，交于点D，且cm，则的长是（

）A．12cm B．6cm C．4cm D．【答案】B【分析】本题考查线段的垂直平分线的性质，含30度角的直角三角形的性质．利用线段垂直平分线的性质得，利用等腰三角形的性质得到，再利用外角的性质得，根据含30度角的直角三角形的性质，即可得的值．掌握中垂线上的点到线段两端点的距离相等，是解题的关键．解：∵边的垂直平分线交于E，交于点D，∴（线段垂直平分线的性质），∴（等腰三角形的性质），∴（外角的性质），∵，∴．故选：B．【变式2】（2024上·天津南开·八年级统考期末）如图，中，于点E，于点F，且，.若，则.【答案】3【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，本题中求证是解题的关键．先证明，可得，再由线段垂直平分线的性质即可解答；解：，，，在和中，，，，∵∴，故答案为：3【考点2】利用线段垂直平分线的性质证明；【例2】（2022上·天津和平·八年级校考期中）如图，E为边的中点，，交的外角的平分线于点D，于F，且．（1）求证：；（2）求证：．【答案】（1）见详解；（2）见详解【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定及性质：（1）根据线段垂直平分线的性质定理即可求证；（2）过点作于点，由“”可判定，由全等三角形的性质得，，再由直角三角形全等的判定方法“”可判定，由全等三角形的性质得，由即可求证；掌握相关的判定方法及性质，根据题意添加辅助线，构建是解题的关键．解：（1）证明：为边的中点，，；（2）证明：如图，过点作于点，为角平分线，，，，，，在和中，，（），，，在和中，，（），，．【变式1】（2023上·黑龙江齐齐哈尔·八年级齐齐哈尔市第三中学校校考期末）在中，，，的垂直平分线交于D，交边于E，则与的数量关系是（

）A． B． C． D．无法确定【答案】B【分析】此题主要考查线段的垂直平分线的性质及含角的直角三角形的性质；正确作出辅助线是解答本题的关键．要求与的关系，需连接，得到，由直角三角形中，的角所对的直角边等于斜边的一半及运用线段垂直平分线定理可得答案．解：连接．垂直平分，．．．．故选：B．【变式2】（2023上·甘肃庆阳·八年级统考期末）如图，在等腰中，，平分，点C在的垂直平分线上.若的周长为，则的长为.【答案】8【分析】本题考查了线段垂直平分线性质，等腰三角形的性质．根据等腰三角形的性质得出，根据三角形的周长得出，求出即可．解：∵，平分，∴，，在AE的垂直平分线上，，的周长是，，，．故答案为：8．【线段垂直平分线的判定】【考点3】利用线段垂直平分线的判定证明和求值；【例3】（2023上·河北廊坊·八年级校考阶段练习）在中，，点在线段上（如图位置），为的斜边，于交于，连接相交于．（1）求证：．（2）求证：垂直平分．【答案】（1）见分析；（2）见分析【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，垂直平分线的判定，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法．（1）根据“”证明即可；（2）根据垂直平分线的判定进行判断即可．解：（1）证明：∵，∴，∵，，，∴；（2）证明：∵，∴，∵，∴点M、B在线段的垂直平分线上，∴垂直平分．【变式1】（2023上·江苏无锡·八年级无锡市江南中学校考期中）纸片上有一点P，量得，则点P一定是（

）A．三条高的交点 B．三条角平分线的交点C．三条边垂直平分线的交点 D．三条中线的交点【答案】C【分析】本题考查了垂直平分线的判定定理．熟练掌握到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上是解题的关键．根据垂直平分线的判定定理进行判断作答即可．解：∵，∴点在线段的垂直平分线上，∴点P一定是三条边垂直平分线的交点，故选：C．【变式2】（2023上·广东珠海·八年级校考期中）数学活动，用全等三角形研究笔形：如图，在四边形中，，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．如果筝形的两条对角线长分别为，，则其面积．

【答案】/24平方厘米【分析】根据，，得出B、D在线段的垂直平分线上，说明垂直平分，根据求出结果即可．解：∵，，∴B、D在线段的垂直平分线上，∴垂直平分，∴．故答案为：．

【点拨】本题主要考查了垂直平分线的判定，三角形面积的计算，解题的关键是熟练掌握垂直平分线的判定得出垂直平分．【线段垂直平分线的性质与判定】【考点4】利用线段垂直平分线性质与判定求值；【例4】（2023上·山东滨州·八年级校联考期中）如图，中，垂直平分，交于点，交于点，垂足为，且，连接．（1）求证：；（2）若的周长为，则的长为多少？【答案】（1）见分析；（2）【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的判定与性质：（1）根据线段垂直平分线的性质得到，，等量代换证明结论；（2）根据三角形的周长公式得到，根据，计算，得到答案．解：（1）证明：∵垂直平分，∴，∵，，∴，∴；（2）∵的周长为,∴，∵,∴，∵，，∴，∵∴．【变式1】（2023上·湖南怀化·八年级校考期中）如图，四边形中，，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，以下四个结论，正确的有（

）①；②；③平分；④四边形的面积．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】本题考查中垂线的判定和性质，根据，，得到垂直平分，分割法求面积，逐一进行判断即可．解：∵，，∴点，点在线段的垂直平分线上，∴垂直平分，∴，，故①②正确；无法得到平分，故③错误；四边形的面积为；故④正确；故选C．【变式2】（2023上·湖北省直辖县级单位·八年级校联考阶段练习）如图，，在内有一点P，，垂直于M，垂直于N，且，，连接，，则．

【答案】5【分析】连接，垂直平分，垂直平分，得到，再证明是等边三角形，即可．解：连接，

∵垂直于M，垂直于N，且，，∴垂直平分，垂直平分，∴，，∵，∴，即：，∴是等边三角形，∴；故答案为：5．【点拨】本题考查中垂线的判定和性质，等边三角形的判定和性质．熟练掌握中垂线上的点到线段两端点的距离相等，是解题的关键．【考点5】利用线段垂直平分线的性质与判定证明；【例5】（2023上·北京西城·八年级校考期中）如图，四边形中，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．（1）求证：；（2）测量与、与，你有何猜想？证明你的猜想．【答案】（1）见分析；（2），理由见分析【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质，垂直平分的判定，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．（1）根据全等三角形的判定和性质进行证明即可；（2）测量得出、，故猜想：、，根据垂直平分线的判定和性质即可得出证明．解：（1）证明：在和中，，∴，（2）猜想：、，证明如下：∵，∴在的垂直平分线上，∴，平分，∴，，∴，．【变式1】（2022上·辽宁盘锦·八年级统考期末）如图，已知是等边三角形，，是边上的点，，与交于点．则下列结论正确的有（

）①连结，则垂直平分线段；②是等边三角形：③若，，则；④若，则．A．①② B．①②④ C．①②③ D．①③④【答案】A【分析】由等边三角形的性质以及即可判断①；由得，，即可判断②；求出，再由都是等边三角形，，即可推出③；求出的度数即可判断④．解：如图，连接，是等边三角形，，，，点，都在线段的垂直平分线上，垂直平分线段；故①正确；，，，是等边三角形，故②正确；垂直平分，，，，，，，是等边三角形，，，故③错误，，，，，，故④错误；故选：A．【点拨】本题考查了等边三角形的性质，线段垂直平分线的性质，平行线的性质，熟练掌握各性质是解题的关键．【变式2】（2022上·上海静安·八年级上海市市北初级中学校考期中）如图，在四边形中，为的中点，连接，延长交的延长线于点．若，则．

【答案】2【分析】根据可知，再根据是的中点可求出，利用可得，可得，，结合已知可得是线段的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质判断出即可证得，进而即可求解．解：∵，∴，∵是的中点，∴，∵，∴，∴，，又∵，∴是线段的垂直平分线，∴，∵，∴，∵，∴，故答案为：2．【点拨】本题主要考查了线段的垂直平分线的性质和全等三角形的判定，熟练掌握线段的垂直平分线的性质和全等三角形的判定方法是解题的关键．【用线段垂直平分线性质与判定作图】【考点6】利用用线段垂直平分线性质与判定作图.【例6】（2024上·北京西城·八年级校考期中）小明发现，任意一个直角三角形都可以分割成两个等腰三角形．已知：在中，．求作：线段，使得线段将分割成两个等腰三角形．下面是小明设计的尺规作图的作法：①作直角边的垂直平分线，与斜边相交于点；②连接．则线段为所求．（1）请你按照小明设计的作法，使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：直线是线段的垂直平分线，点在直线上，．（）（填推理的依据）．，．．．．（）（填推理的依据）和都是等腰三角形．【答案】（1）见分析；（2）线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等；；；同一个三角形中，等角对等边【分析】本题考查了作图——尺规作图、等腰三角形的判定、垂直平分线的性质：（1）根据作法补全图形即可求解；（2）根据垂直平分线的性质得，再根据角的等量代换得，进而可证得，由等腰三角形的判定即可求证结论；熟练掌握尺规作法作垂直平分线的方法及等腰三角形的判定的解题的关键．（1）解：作法：①以点为圆心，大于为半径画弧，以点为圆心，以相同长度为半径画弧，与前弧相交，②连接两个交点得直线交于点，③连接，如图所示，即为所求．（2）直线是线段的垂直平分线，点在直线上，．（线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等），．，．．．．（同一个三角形中，等角对等边），和