2025年中考数学一轮复习考点突破课件：第21讲 圆的有关概念及性质

第21讲圆的有关概念及性质考点1圆的有关概念圆在一个平面内,线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周,另一个端点A所形成的图形叫做圆,其固定的端点O叫做圆心,线段OA叫做半径弦连接圆上任意两点的线段直径经过

的弦

圆心弧圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧,每一条弧都叫做半圆

于半圆的弧叫做优弧;

于半圆的弧叫做劣弧

等圆能够重合的两个圆等弧在同圆或

中,能够互相

的弧

弦心距(拓展)从圆心到弦的距离大小等圆重合考点2圆的有关性质(常考点)1.圆是轴对称图形,任何一条

所在的直线都是圆的对称轴,圆既是中心对称图形,又是旋转对称图形,即旋转任意角度都和自身重合.圆心就是它的对称中心.

2.垂径定理及其推论(1)垂径定理:垂直于弦的直径

弦,并且平分弦所对的两条弧(如图所示).

直径平分(2)推论:平分弦(不是直径)的直径垂直于

,并且平分弦所对的

(如图所示).

(3)圆的两条平行弦所夹的弧相等(补充).归纳总结半径、弦心距和弦的一半构成直角三角形,满足勾股定理,常用于在圆中求线段.弦两条弧3.弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理及其推论(1)定理:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧

,所对的弦

,所对的弦的弦心距

;

(2)推论:在同圆或等圆中,如果两个圆的圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量

,那么它们所对应的其余各组量都分别

.

4.圆周角定理及其推论(1)定理:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的

;

相等相等相等相等相等一半(2)推论1:同弧或等弧所对的圆周角

;

(3)推论2:半圆(或直径)所对的圆周角是

,90°的圆周角所对的弦是

.

注意

(1)在运用圆周角定理时,一定要注意“在同圆或等圆中”的条件;(2)一条弦对着两条弧,对着无数个圆周角,任意两个圆周角互补或相等;(3)一条弧只对着一个圆心角,却对着无数个圆周角.5.圆内接四边形(1)如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上,这个多边形叫做圆内接多边形,这个圆叫做这个多边形的外接圆;(2)圆内接四边形的对角

.

相等直角直径互补C方法技巧在圆中,已知半径、弦、弦心距、拱形高中的两个量可以求出另外两个量;常过圆心作垂直于弦的直径,构造直角三角形,利用勾股定理和垂径定理或借助方程求解.BB(2)AE=CE.思路点拨

(2)要证明AE=CE,只要证明△ADE≌△CBE即可.归律总结应用弧、弦、圆心角的关系时注意(1)必须有前提条件“在同圆或等圆中”;(2)可用来证明角相等、弧相等和弦相等.A命题点3圆周角定理及推论(常考点)例3(2023成都温江区模拟)如图所示,AB是☉O的直径,C是☉O上一点,∠ACB的平分线交AB于点E,交☉O于点D,连接AD,BD.(1)求证:AD=BD;归律总结(1)进行与圆有关的角度计算时,一般先判断角是圆周角还是圆心角,再转化成同弧所对的圆周角或圆心角,利用同弧所对的圆周角相等,同弧所对的圆周角等于圆心角的一半的关系求解;(2)在圆中,如果有直径,那么直径所对的圆周角是直角,常用此结论构造直角三角形.变式5(2024广元利州区一模)如图所示,OA,OB是☉O的半径,连接AB,过点O作OC∥AB交☉O于点C,连接AC,若∠AOB=100°,则∠BAC的度数为()A.15° B.20° C.25° D.30°B变式6(2023泸县一模)如图所示,AB为☉O的直径,E为弦CD的中点,若∠BAD=30°,且BE=2,则BC的长是

.

4变式7(2024成都锦江区模拟节选)如图所示,在△ABC中,以边AB为直径作☉O,交BC于点D,交CA的延长线于点E,连接DE交AB于点F,且DE=DC.(1)求证:BD=DC;(1)证明:如图所示