光脉冲传输中自陡效应的数值仿真研究

届别2013届学号毕业论文光脉冲传输中自陡效应的数值仿真研究目录摘要 1ABSTRACT 11光纤 11.1光纤介绍 11.1.1光纤工作原理 11.1.2光纤分类 21.2光子晶体光纤 31.2.1光子晶体光纤的优点 31.2.2光子晶体光纤分类及工作原理 32数值算法 42.1光脉冲传输方程的推导 42.2数值算法 133自陡效应对脉冲传输的影响 143.1不考虑色散情况下的自陡效应 153.2自陡效应对基态孤子的影响 173.3自陡效应对高阶孤子的影响 19参考文献 22致谢 23摘要本文主要对光脉冲传输中自陡效应的数值仿真进行研究。从波动方程出发,对光脉冲在光纤中传输时所满足的方程——非线性薛定谔方程进行了理论推导,介绍了理论研究光脉冲在光子晶体光纤中传输时所采用的数值模拟方法——分步傅里叶方法。然后用MATLAB软件对存在自陡效应时孤子的脉冲形状进行数值仿真。在不考虑色散情况下，随着脉冲在光纤内传输，其峰值移向脉冲后沿，脉冲就变得不对称;结果，随着传输距离的增加，后沿变得越来越陡。物理上，脉冲的群速度与光强有关，因此脉冲峰的移动速率较两翼为慢。在不考虑GVD效应的情况下，自陡在脉冲的后沿产生了光学冲击。这是因为群速度与光强度有关，因而使得脉冲的峰值部分比两翼传输得慢。GVD使冲击消失，且使脉冲后沿变得相当平坦，可是自陡仍使脉冲中心平移。峰值处比两翼的速度慢，所以峰值被延迟并表现为向脉冲后沿移动。其趋向是输入脉冲逐渐向孤子演变。自陡效应导致高阶孤子分裂成其构成成分，这种现象称为孤子衰变。对相当大的值，两个孤子在两个孤子周期长度内已互相分开，并且随着在光纤内的继续传输，两个孤子继续分开。对较小的值，除了孤子分裂所需的距离较长外，也产生类似的行为。自陡效应使两个孤子以不同的速度传输，它们互相分开，并且随传输距离线性增加。关键词：自陡效应；高阶孤子；数值仿真；孤子衰变ABSTRACTThisarticlemainlyfromthesteepeffectinopticalpulsetransmissioninthenumericalsimulationforresearch.Fromwaveequation,theopticalpulsetransmissioninopticalfiberaresatisfyequation,nonlinearschrodingerequationhascarriedonthetheoreticalderivation,thispaperintroducesthetheorystudyoflightpulseinaphotoniccrystalfibertransmissionadoptedbythenumericalsimulationmethod,stepbystepFouriermethod.AnduseMATLABsoftwaretosteepeffecttothesolitonpulseshapeofnumericalsimulation.Withoutconsideringdispersionconditions,asthepulseinopticalfibertransmission,alongafteritspeakmovetopulse,pulsebecomesasymmetric;Asaresult,withtheincreaseoftransmissiondistance,thebecomingmoreprecipitous.Physically,pulsegroupvelocityisassociatedwithlightintensity,somobilerateofpulsepeakistwowingstoslow.UndertheconditionofnotconsideringtheeffectofGVD(gnuvisualdebugger),aftersteepinpulsealongtheoptical.Thisisbecausethegroupvelocityisassociatedwithlightintensity,thusmakesthepulsepeakpartthantwo-wingtransportslowly.GVD(gnuvisualdebugger)makeshockdisappears,andafterthepulsealongquiteflat,butsincetheabruptstillmaketranslationpulsecenter.Peakinslowerthanthewing,soafterpeakisdelayedandshowthepulsetomovealong.Thetrendisgraduallytotheinputpulsesolitonsevolution.Sincethesplitintoitssteepeffectleadtohigher-ordersolitoncomposition,thisphenomenoniscalledsolitondecay.Ofconsiderablevalue,twosolitonhasbeenseparatedfromeachotherintwosolitoncyclelength,andthecontinuedtransmissionintheopticalfiber,continuetoseparatethetwosoliton.Forsmallervalues,thedistanceislongerthanrequiredforthesplit,inadditiontothesolitonissimilarbehavior.Sincethesteepeffectmakesthetwosolitontransmissionatdifferentspeed,theyareseparatedfromeachother,andwiththeincreaseoftransmissiondistancelinear.Keywords:Self-Steepening；Higher-ordersoliton；numericalsimulation；Thesolitondecay1光纤1870年的一天，英国物理学家丁达尔到皇家学会的演讲厅讲光的全反射原理，他做了一个简单的实验：在装满水的木桶上钻个孔，然后用灯从桶上边把水照亮。结果使观众们大吃一惊。人们看到，放光的水从水桶的小孔里流了出来，水流弯曲，光线也跟着弯曲，光居然被弯弯曲曲的水俘获了。人们曾经发现，光能沿着从酒桶中喷出的细酒流传输；人们还发现，光能顺着弯曲的玻璃棒前进。这是为什么呢？难道光线不再直进了吗？这些现象引起了丁达尔的注意，经过他的研究，发现这是全反射的作用，即光从水中射向空气，当入射角大于某一角度时，折射光线消失，全部光线都反射回水中。表面上看，光好像在水流中弯曲前进。后来人们造出一种透明度很高、粗细像蜘蛛丝一样的玻璃丝——玻璃纤维，当光线以合适的角度射入玻璃纤维时，光就沿着弯弯曲曲的玻璃纤维前进。由于这种纤维能够用来传输光线，所以称它为光导纤维。光纤是光导纤维的简写，是一种利用光在玻璃或塑料制成的纤维中的全反射原理而达成的光传导工具。光纤是20世纪的重大发明之一，其导光性能臻于完美，很难想象还会有更好的替代者。1.1光纤介绍微细的光纤封装在塑料护套中，使得它能够弯曲而不至于断裂。通常，光纤的一端的发射装置使用发光二极管或一束激光将光脉冲传送至光纤，光纤的另一端的接收装置使用光敏元件检测脉冲。在日常生活中，由于光在光导纤维的传导损耗比电在电线传导的损耗低得多，光纤被用作长距离的信息传递。通常光纤与光缆两个名词会被混淆。多数光纤在使用前必须由几层保护结构包覆，包覆后的缆线即被称为光缆。光纤外层的保护层和绝缘层可防止周围环境对光纤的伤害，如水、火、电击等。光缆分为：光纤，缓冲层及披覆。光纤和同轴电缆相似，只是没有网状屏蔽层。中心是光传播的玻璃芯。1.1.1光纤工作原理因光在不同物质中的传播速度是不同的，所以光从一种物质射向另一种物质时，在两种物质的交界面处会产生折射和反射。而且，折射光的角度会随入射光的角度变化而变化。当入射光的角度达到或超过某一角度时，折射光会消失，入射光全部被反射回来，这就是光的全反射。不同的物质对相同波长光的折射角度是不同的(即不同的物质有不同的光折射率)，相同的物质对不同波长光的折射角度也是不同。光纤就是基于以上原理而制作成的。光导纤维是由两层折射率不同的玻璃组成。内层为光内芯，直径在几微米至几十微米，外层的直径0.1～0.2。一般内芯玻璃的折射率比外层玻璃大1%。根据光的折射和全反射原理,当光线射到内芯和外层界面的角度大于产生全反射的临界角时，光线透不过界面，全部反射[1]。图1光纤的全内反射示意图早在19世纪，人们就已经知道，光纤中引导光传播的基本原理是全内反射。虽然在19世纪20年代就制成了无包层的玻璃纤维，但直到20世纪50年代，才知道包层的使用能改善光线的特性，从而诞生了光纤光学这个领域。光纤受益于介电包层的思想并不很明显，但有显赫的历史。20世纪60年代，这一领域的发展十分迅速，当时的主要目的是利用光纤束传输图像。这些早期的光纤按现在的标准看具有很高的损耗(典型值约为1000)，然而到1970年，这种情形发生了急剧的变化，石英光纤的损耗下降到了20的水平，与更早期的假设一致。随着光纤制造技术的进一步发展，到1979年，已将波长附近的损耗降低到约0.2。损耗水平的限制主要来自于瑞利散射这个基本过程。1.1.2光纤分类光纤的种类很多，根据用途不同，所需要的功能和性能也有所差异。这里我们主要按传输模式进行分类。光纤按光在其中的传输模式可分为单模和多模。多模光纤的纤芯直径为50或62.5，包层外径125，表示为50/125或62.5/125。单模光纤的纤芯直径为8.3，包层外径125，表示为8.3/125。故有62.5/125、50/125、9/125等不同种类。1．单模光纤单模光纤(SingleModeFiber)：单模光纤只有单一的传播路径，一般用于长距离传输，中心纤芯很细(芯径一般为9或10)，只能传一种模式的光。因此，其模间色散很小，适用于远程通讯，但还存在着材料色散和波导色散，这样单模光纤对光源的谱宽和稳定性有较高的要求，即谱宽要窄，稳定性要好。2．多模光缆多模光纤(MultiModeFiber)-芯较粗(50或62.5)，可传多种模式的光。但其模间色散较大，这就限制了传输数字信号的频率，而且随距离的增加会更加严重。因此，多模光纤传输的距离就比较近，一般只有几公里。1.2光子晶体光纤光子晶体光纤(PhotonicCrystalFibers,PCF)又被称为微结构光纤(Micro-StructuredFibers,MSF)，近年来引起广泛关注，它的横截面上有较复杂的折射率分布，通常含有不同排列形式的气孔，这些气孔的尺度与光波波长大致在同一量级且贯穿器件的整个长度，光波可以被限制在低折射率的光纤芯区传播。光子晶体光纤有很多奇特的性质。例如，可以在很宽的带宽范围内只支持一个模式传输；包层区气孔的排列方式能够极大地影响模式性质；排列不对称的气孔也可以产生很大的双折射效应，这为我们设计高性能的偏振器件提供了可能。简单地说，光子晶体具有波长选择的功能，可以有选择地使某个波段的光通过而阻止其它波长的光通过其中。光子晶体的出现，使人们操纵和控制光子的梦想成为可能。1.2.1光子晶体光纤的优点1．光子晶体光纤(PhotonicCrystalfiber,PCF)主要的特点是，合理的结构设计能使PCF具备在所有波长上都支持单模传输能力，即无休止单模特性，这个特性与绝对尺寸无关，缩小或放大光纤截面都还可以保持单模传输；2.PCF还具有可控的色散特性，能够在可见光波段具有零色散甚至能够出现负色散，同时保持单模传输，传统光纤所无法做到这点，它为短波长光孤子传输提供了可能性；3.PCF第三个特点是丰富的非线性效应，通过减小PCF的模式面积，可以极大地增强光纤中的非线性效应，这表明可以根据实验需要来设计光纤截面，从而对PCF的非线性效应强度进行有效控制。由于PCF和普通光纤相比有许多突出的优点，因此，PCF在光通信领域有着非常重要的应用，可用于高能量、长距离传输。除此之外，PCF被广泛应用于光学的各个领域，例如光开关、波长转换、可调滤波器高功率光纤激光器、高功率孤子传输和传感器技术等等[2]。1.2.2光子晶体光纤分类及工作原理光子晶体光纤按最基本的传输特性可以分为两大类：折射率引导型(IG-PCF)和带隙引导型(PCF)。分别基于全内反射效应和光子带隙效应来反光。折射率引导型光子晶体光纤是由纯石英纤芯和具有周期性空气孔结构的包层组成，由于空气孔的加入，包层与纤芯相比具有较小的有效折射率，即由于石英-空气包层的有效折射率小于纤芯的折射率，这种结构的光子晶体光纤以类似全内发射的机制导光，这一点与普通光纤相似。因此一个简单的分析方法就是把这类光子晶休光纤等效为阶跃型折射率光纤，得到包层的有效折射率后就可以用阶跃型折射率光纤的方法加以分析。图2折射率引导型带隙引导型光纤的包层空气孔结构具有严格的周期性，而芯区是空气，因此包层的有效折射率比芯区大，不能通过全内反射机制导光。理论和实验证明这种结构的光子晶体光纤的传输率具有极强的波长依赖性，表明其导光机制为光子带隙效应。仅有落入带隙范围内的光波能够被传输，而其他的光在传输的初始阶段就泄漏掉。图3带隙引导型2数值算法2.1光脉冲传输方程的推导光纤中光脉冲的传输服从麦克斯韦方程组，在国际单位制中，该方程可写成： (2.1-1) (2.1-2) (2.1-3) (2.1-4)式中，E，H分别为电场强度矢量和磁场强度矢量；D，B分别为电位移矢量和磁感应强度矢量；电流密度矢量J和电荷密度表示电磁场的源，在光纤中这样无自由电荷的介质中，显然J=0，。介质内传输的电磁场强度E和H增大时，电位移矢量D和磁感应强度B也随之增大，它们通过物质方程联系起来， (2.1-5) (2.1-6)式中，为真空中介电常数；为真空中的磁导率，P，M分别为感应电极化强度和磁计划强度，在光纤这样的无磁性介质中M＝0。描述光纤中光传输的波动方程可以从麦克斯韦方程组得到。其具体步骤是： (2.1-7)再把式2.1-6带入上式得 (2.1-8)在光纤这样的无磁性介质中M＝0，代入上式得 (2.1-9)再把式2.1-2带入上式中得 (2.1-10)在光纤中这样无自由电荷的介质中，J=0，所以 (2.1-11)把式2.1-5带入上式得 (2.1-12)因为，为真空中的光速，所以推得 (2.1-13)利用公式化简得到： (2.1-14)为完整表达光纤中光波的传播，还需要找到电机化强度P和电场强度E的关系。在远离介质的共振频率处(感兴趣的0.5—2波长范围内光纤的非线性效应正是这种情况)，且只考虑三阶非线性效应，则感应电极化强度由两部分组成 (2.1-15)把2.1-15代入2.1-14得 (2.1-16)由公式将2.1-16进行傅里叶变换得 (2.1-17) (2.1-18) (2.1-19) (2.1-20)且，由上述傅里叶变换，所以2.1-16对应的福利叶变换公式有： (2.1-21)在公式2.1-15中，线性部分为： (2.1-22)式中，是线性各向同性介质的电极化率。在光脉冲强度不大的情况下，可以不考虑。将变量换成(目的将后来的等式配成卷积积分)则应换成这样上式可写成 (2.1-23) (2.1-24) (2.1-25) (2.1-26) (2.1-27)将及2.1-27带入2.1-17得 (2.1-28)令，,有： (2.1-29)假设光纤中传播的光信号是由单色波或准单色波经信号调制得到，对于一个强度调制信号可以写成 (2.1-30)式中是方向单位矢量，也就是假设光波是线偏振波。是信号的包络，相对于光载波频率，是一个随时间慢变化的函数。是光场的横向分布函数。分别是光载波的频率和传输常数。由2.1-30式所给出的光信号，在中心频率附近作傅里叶展开，即 (2.1-31) (2.1-32)式中和表示傅里叶变换和逆变换。信号包络函数和它的频域表示则分别为： (2.1-33) (2.1-34)式中，。 (2.1-35) (2.1-36) (2.1-37)将2.1-31代入2.1-29得到： (2.1-38) (2.1-39)将上式带入得： (2.1-40)由于，两边同时除以后得下式 (2.1-41)由于是z的慢变化函数，而且很大，因而在上式中可以忽略项，将代入2.1-43，得到的方程 (2.1-42)方程两边同除以，得： (2.1-43)假设方程2.1-43等于,即: (2.1-44)方程2.1-44分离成两个关于和的方程： (2.1-45) (2.1-46)2．1-45式就是光纤中，频率为的模式场所满足的波动方程，是其传输常数。2.1-46式则是信号脉冲包络函数沿传播方向的演化方程。对于窄带信号，即，有，所以有： (2.1-47)带入2.1-46式得 (2.1-48)即 (2.1-49)所以得 (2.1-50)方程2.1-50的傅里叶逆变换给出了的传输方程。为了解方程，在频率处把展成泰勒级数。泰勒(taylor)中值定理：如果函数在含有的某个开区间内具有直到阶的导数，则对任一，有 (2.1-51)以此类推将换成，把换成，得 (2.1-52)即 (2.1-53)其中， (2.1-54)把式2.1-52代入2.1-50，得： (2.1-55)对2.1-55式作傅里叶逆变换。在傅里叶变换中，用微分算符代替由公式推得 (2.1-56) (2.1-57) (2.1-58) (2.1-59)所以得 (2.1-60)以上推导中，我们忽略了的影响，当光脉冲很短时，就必须要考虑非线性的影响。如果只考虑到三阶色散，这时的传输方程为： (2.1-61)式中，为非线性系数。通常，为了求解方便，引入运动参考系，它以光信号的群速度运动。在这个参考系中的时间变量为： (2.1-62)因为： (2.1-63)所以有 (2.1-64)积分换分，目的是将 (2.1-65)得 (2.1-66)方程2.1-66简化为： (2.1-67)其中，为二阶色散系数，为三阶色散系数，为非线性系数。对标准的单模光纤，在处，，，(1ps=s,1fs=s)。(注意：和都有可能为正或为负)引入归一化变量 (2.1-68)用2.1-68代入方程2.1-67，得： (2.1-69) (2.1-70) (2.1-71) (2.1-72)将2.1-69,2.1-71,2.1-72带入2.1-68得： (2.1-73)定义如下的变量，并代入方程2.1-73 (2.1-74)得到归一化后光脉冲传输方程,将2.1-74带入2.1-73得到： (2.1-49) (2.1-50)的整数值的物理意义与孤子阶数相联系，时对应基阶孤子，当时对应着高阶孤子。方程2.1-76就是我们在后面程序编码时所要用到的归一化后的方程。在方程2.1-76中，决定了群速度色散是在光纤的正常色散区()还是在反常色散区()。注意：2.2数值算法2.1节推导出的光脉冲传输方程是非线性偏微分方程，在一般情况下不适于求解，因此为了阐明光纤中的非线性效应，通常需要做数值处理。为达到这一目的，可采取许多数值方法，这些方法可分为两大类：1有限差分法；2伪频谱法。一般来说，达到相同的精度，伪频谱法较有限差分法快一两个数量级。分步傅立叶方法是一种已经广泛应用到解非线性色散介质的脉冲传输问题的伪频谱法，这种方法相对于大多数有限差分法有较快的速度，部分原因是采用了快速傅立叶变换算法。在下面介绍分步傅立叶算法时，为简单起见，我们以方程： (2.2-1)为例来进行求解。为便于了解分步傅立叶算法的基本原理，把方程2.2-1改成如下形式 (2.2-2)式中，是差分算符，它表示线性介质的色散和吸收；是非线性算符，它决定了脉冲传输过程中光纤的非线性效应。这些算符表达式为：(2.2-3)(2.2-4)一般来说，沿光纤的长度方向，色散非线性是同时作用的。分步傅立叶方法是通过假定在传输过程中，光场每通过一小段距离h,色散和非线性效应可分别作用，得到近似结果。更准确地说，从到的传输过程中分两步进行。第一步，仅有色散作用，令方程2.2-2中的；第二步，仅有非线性作用，令方程2.2-2中的。其数学表示为： (2.2-5)注意到，在仅有色散项参与计算时存在高阶的偏微分项，在时域中不方便计算，因此可利用傅立叶变换，把偏微分方程变换为代数方程，进行运算。傅立叶变换对定义如下： (2.2-6)根据傅立叶变换的微分性质，算符中的时间微分用代替，利用傅立叶变换和逆变换，则表达式2.2-5变为： (2.2-7)在计算时可采用快速傅立叶变换(FFT)算法，使得方程2.2-7的数值计算速度更快。正是这个原因，分步傅立叶方法较大多数有限差分法快一两个数量级。为估计分步傅立叶算法的精度，注意到方程2.2-2的一个正式的精确解为： (2.2-8)假定与无关。比较方程2.2-5和2.2-8表明，分步傅立叶算法忽略了算符和的非对易性。由两个非对易性操作算符和的贝克一豪斯多夫(Baker-Hausdorff)公式 (2.2-9)式中。把代入方程2.2-9，可以发现分步傅立叶算法可以精确到分步步长的二阶项。采用一个不同的步骤使光脉冲从到一小段内传输，可改善分步傅立叶方法的精度，在此过程中，由下式代替方程2.2-5： (2.2-10)此过程与上一过程主要的不同在于非线性效应包含在小区间的中间而不是边界。由于方程2.2-10中指数算符的对称形式，该方法称为对称分步傅立叶算法。采用方程2.2-10的对称形式的最重要的优点是主要误差项来自方程2.2-9中的双对易子，它是步长的三阶项，因此其精度要比采用式2.2-5进行计算更高。3自陡效应对脉冲传输的影响3.1不考虑色散情况下的自陡效应光脉冲的自陡是群速度对光强的依赖关系造成的，它对SPM(自相位调制)的影响最先是在液态的非线性介质中讨论的，后来才扩展到脉冲在光纤中传输的情形。自陡导致了超短脉冲对SPM展宽频谱的不对称性。为了简单起见，忽略了光纤的损耗()，并定义归一化距离，得方程 (3.1-1)将带入以上方程，并分离其实部和虚部，可得 (3.1-2) (3.1-3)由于强度方程3.1-2与相位方程3.1-3已分离开来，它很容易利用特征值方法求解。其通解为 (3.1-4)这里用到了初始条件，其中描述了处的脉冲形状。方程3.1-4表明，每个从其初始位置直线移动，且直线的斜率与光强有关，此特点将导致脉冲畸变。例如考虑高斯脉冲的情形 (3.1-5)由方程3.1-4可得经传输距离后得脉冲形状为 (3.1-6)要了解的隐含关系，需要对每个求解，已得到给定的值处的脉冲形状。图4给出了处且的脉冲形状的计算结果。虚线表示入射处()脉冲的形状图4无色散情况下的高斯脉冲自陡脉冲后沿的自陡可能产生光波冲击(opticalshock)，它类似于在声波前沿产生的声波冲击。通过令冲击位置处为无限大，由方程3.1-6得到冲击形成的临界距离，它可表示为 (3.1-7)双曲正割脉冲有类似的关系式，只是需要改动一下数字系数(把0.39改成0.43)，对于脉宽约为1ps，峰功约为1W的皮秒脉冲，冲击距离约为100km；然而，对于<100fs,>1kW的飞秒脉冲，<1m。因此，即使光纤只有几厘米长，也会导致脉冲发生显著的自陡。随着脉冲在光纤内传输，其峰值移向脉冲后沿，脉冲就变得不对称;结果，随着传输距离的增加，后沿变得越来越陡。物理上，脉冲的群速度与光强有关，因此脉冲峰的移动速率较两翼为慢。自陡也影响SPM致频谱展宽。在无色散情形下，相位可以通过求解方程3.1-3得到，频谱可采用下式计算得到， (3.1-8)图5给出了时频谱的计算结果。最值得注意的是频谱的不对称性，即红移峰较蓝移峰有较大的峰幅；另一个值得注意的特征是，蓝侧(用受激拉曼散射的术语通常称为反斯托克顿侧)较红测(斯托克顿侧)有更大的SPM致频谱展宽。这两个特征可用自陡所致脉冲形状的变化来定性解释：首先由于冲形状的不对称导致了频谱的不对称；其次图5处高斯脉冲的频谱由于SPM在脉冲后沿附近产生蓝频率分量，较陡的脉冲后沿意味着蓝侧有更宽的频谱展图。在无自陡的条件下，对于图5所用到的参量值，，应该出现六峰对称谱。自陡展宽了蓝侧部分，高频处峰幅度的下降是因为相同的能量分布到了更宽的频谱范围。3.2自陡效应对基态孤子的影响当脉冲宽度<5ps时，必须讨论高阶非线性和高阶色散效应，并要用到方程3.1-1。其中，通过做变换 (3.2-1)引入以群速度移动的参考系(即所谓的延时系)。利用引入的孤子单位，方程3.2-1具有如下形式 (3.2-2)式中，假设脉冲在反常GVD区()传输，并且忽略了光纤损耗()。参量，和分别描述三界色散(TOD)，自陡和脉冲内拉曼散射效应，它们的表达式为 (3.2-3)这三个参量都与脉冲宽度成反比，并且当ps时，可以忽略；而对于飞秒脉冲，它们却变得很明显。这里讨论自陡现象对孤子的影响。为突出参量描述的自陡效应,将方程3.2-2中的和设为零，则光纤中脉冲的演变由方程 (3.2-4)描述。在不考虑GVD效应的情况下，自陡在脉冲的后沿产生了光学冲击。这是因为群速度与光强度有关，因而使得脉冲的峰值部分比两翼传输得慢。GVD使冲击消失，且使脉冲后沿变得相当平坦，可是自陡仍使脉冲中心平移。图6给出了在s=0.2和时，对入射脉冲为，数值解方程3.2-4画出的和10处的脉冲波形和频谱。因为对s≠0，峰值处比两翼的速度慢，所以峰值被延迟并表现为向脉冲后沿移动。此延迟对于来说，可由一个简单的表达式很好的近似。尽管脉冲在传输时稍有展宽(在=10处约为20%)，可是仍保持其孤子特性。这说明方程3.2-4具有孤子解，其趋向是输入脉冲逐渐向孤子演变。这样的解确实存在，并具有以下形式 (3.2-5)式中，与载频的移动有关，这种移动导致群速度改变，从图6所见的峰值延迟，就是因为群速度变化引起的。的明确形式与和有关。当=0时，简化为方程3.2-6的双曲正割形式。