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文档简介
“模块”复习专题精讲
——送教108中学高考数学复习“专题”讲座大连八中:周鹏家必修五复习专题一:
“互余、互补”与“正、余弦定理”在解三角形时,运用正弦定理、余弦定理再结合角的互余关系、互补关系来解决的一类问题,常使人思维短路,得分率较低。究其原因主要是隐含条件挖掘不够,重要的“两互”关系常常被忽略,思想方法的运用不够协调所致。让我们共同来探究一番。例1:如图:要在一座山中打一个涵洞,在山周围取四个点A,B,C,D,使又测得CA=3,AD=7,BD=(单位均为km)求:涵洞AB的长ABCD分析解答:(方法一)设AB=,设,则其余角
由正弦定理,得
-----(1)
再由余弦定理,得
由(1)(2)可得:
答:涵洞的长为7km。解得(方法二)过点作延长线的垂线,交延长线于点,利用平面几何中的相关知识,也可以解决此题。请大家尝试一下例2:如图:已知正方形内有一个点,,求正方形的边长。设设正方形的边长为x(1<x<3)
由,得即而故
例2:
例3:如图:有一个人在V型码头EOF内位于P点的一艘船上,要想到达O地上岸,现有三种方案:自P直接航行到O;②自P与OE垂直航行到A点登陆,再由陆路乘车直达O;③自P与OF垂直航行到B点登陆,再由陆路乘车直达O;现已知陆路车速为船速的2倍,PA=2km,PB=5km,问:选择那种方案用时最省?并通过计算加以说明。,由余弦定理
km分析解答:由已知得即由正弦定理得
由勾股定理得设船速为,则方案②用时为方案③用时为;
方案①用时为所以方案②用时最省,故选择方案②。例4:在ΔABC中,已知AC边上的中线BD=求的值分析解答:解法(一)设E为BC的中点,连接DE,则DE//AB,且设,在ΔBDE中利用余弦定理可得:,,解得或(舍去)
故BC=2,从而解得
再由得,由正弦定理得:
解得
解法(二):如右图
添加辅助线后
由已知可求得;;由勾股定理得;
再由正弦定理得。此法辅助线不好添,计算也并不简便。解法(三):首先利用中线定理,再运用余弦定理,最后运用正弦定理得到结果。此法相对比较繁琐一些。解法(四):首先由向量运算:两边平方得到再利用余弦定理求得最后由正弦定理得结论(过程略),此法较便捷,希望同学们一定亲手试一试。
总结:方法一比较好,但添加辅助的平行线,创设出的互补关系,并利用互补关系是解题的关键也是难点。本来过中点添平行线比较常见,但利用同旁内角互补,再结合正、余弦定理这就要看平时是否训练到位了,方法四也比较好,若能从中点想到向量加法,再经过平方、数量积运算得到边长,是非常好的,这就要求平时多进行思维的灵活性、创造性、深刻性、敏捷性训练,真正去培养自己的解题能力,在尝试、探究、解决问题的过程中体验成功逐渐提升能力,在此提醒大家一定要“锲而不舍”,决不能“浅尝辄止”。例5:(06年湖南高考题)
如图:是直角三角形斜边上一点,,记证明:(2)若求角。
解:(1)由已知得,
故
(2)
又在三角形由正弦定理得中再结合可得
即
解得或(舍)所求角
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