高考数学 考前3个月（上）专题复习 专题二第二讲 三角变换与解三角形配套限时规范训练

第二讲三角变换与解三角形（推荐时间：50分钟）一、选择题1．(·辽宁)已知sinα－cosα＝eq\r(2)，α∈(0，π)，则tanα等于 ()A．－1 B．－eq\f(\r(2),2)C.eq\f(\r(2),2) D．12．已知eq\f(cosπ－2α,sinα－\f(π,4))＝－eq\f(\r(2),2)，则sinα＋cosα等于 ()A．－eq\f(\r(7),2) B.eq\f(\r(7),2)C.eq\f(1,2) D．－eq\f(1,2)3．(·福建)若α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，且sin2α＋cos2α＝eq\f(1,4)，则tanα的值等于 ()A.eq\f(\r(2),2) B.eq\f(\r(3),3)C.eq\r(2) D.eq\r(3)4．(·辽宁)设sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋θ))＝eq\f(1,3)，则sin2θ等于 ()A．－eq\f(7,9) B．－eq\f(1,9)C.eq\f(1,9) D.eq\f(7,9)5．(·重庆)若△ABC的内角A、B、C满足6sinA＝4sinB＝3sinC，则cosB等于()A.eq\f(\r(15),4) B.eq\f(3,4)C.eq\f(3\r(15),16) D.eq\f(11,16)6．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若(a2＋c2－b2)tanB＝eq\r(3)ac，则角B的值为 ()A.eq\f(π,6)B.eq\f(π,3)C.eq\f(π,6)或eq\f(5π,6)D.eq\f(π,3)或eq\f(2π,3)7.(·天津)如图，在△ABC中，D是边AC上的点，且AB＝AD,2AB＝eq\r(3)BD，BC＝2BD，则sinC的值为 ()A.eq\f(\r(3),3) B.eq\f(\r(3),6)C.eq\f(\r(6),3) D.eq\f(\r(6),6)8．给出下列四个命题：①f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4)))的对称轴为x＝eq\f(kπ,2)＋eq\f(3π,8)，k∈Z；②函数f(x)＝sinx＋eq\r(3)cosx的最大值为2；③函数f(x)＝sinxcosx－1的周期为2π；④函数f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上是增函数．其中正确命题的个数是 ()A．1 B．2C．3 D．4二、填空题9．函数f(x)＝(1＋eq\r(3)tanx)cosx的最小正周期为________．10．(·北京)在△ABC中，若a＝2，b＋c＝7，cosB＝－eq\f(1,4)，则b＝________.11．函数y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋x))coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋x))的最大值为________________________________________．12．已知△ABC的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC的面积为_____________________________________________________________________．三、解答题13．(·新课标全国)已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，acosC＋eq\r(3)asinC－b－c＝0.(1)求A；(2)若a＝2，△ABC的面积为eq\r(3)，求b，c.14．(·浙江)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知cosA＝eq\f(2,3)，sinB＝eq\r(5)cosC.(1)求tanC的值；(2)若a＝eq\r(2)，求△ABC的面积．

答案1．A2．D3．D4．A5．D6．D7．D8．B9．2π10．411.eq\f(2＋\r(3),4)12．15eq\r(3)13．解(1)由acosC＋eq\r(3)asinC－b－c＝0及正弦定理得sinAcosC＋eq\r(3)sinAsinC－sinB－sinC＝0.因为B＝π－A－C，所以eq\r(3)sinAsinC－cosAsinC－sinC＝0.由于sinC≠0，所以sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A－\f(π,6)))＝eq\f(1,2).又0<A<π，故A＝eq\f(π,3).(2)△ABC的面积S＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\r(3)，故bc＝4.而a2＝b2＋c2－2bccosA，故b2＋c2＝8.解得b＝c＝2.14．解(1)因为0<A<π，cosA＝eq\f(2,3)，得sinA＝eq\r(1－cos2A)＝eq\f(\r(5),3).又eq\r(5)cosC＝sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC＝eq\f(\r(5),3)cosC＋eq\f(2,3)sinC，所以tanC＝eq\r(5).(2)由tanC＝eq\r(5)，得sinC＝eq\f(\r(5),\r(6))，cosC＝eq\f(1,\r(6)).于是sinB＝eq