3扭转应力及强度

山西建筑职业技术学院建筑工程系建筑力学教研室建筑力学第五章剪切与扭转第四节圆轴扭转时横截面上的应力

要解决圆轴扭转的强度问题，在求出横截面上的扭矩后，还要知道应力的分布情况，以便确定危险截面和危险点。

本节将通过简要的分析、研究，建立圆轴受扭时横截面上的应力公式。山西建筑职业技术学院建筑工程系建筑力学教研室建筑力学

为观察圆轴扭转时的变形，在圆轴表面画上一些间距相等的纵线和圆周线，形成许多小的矩形网格，如图a所示。(a)受扭后的变形如图b所示。mm(b)

可观察到如下现象：

(1)各圆周线的形状、大小和间距都保持不变，仅绕轴线作相对转动。

(2)各纵向线都倾斜了相同的角度γ，且仍保持直线，原来矩形方格变成平行四边形。γ

通过以上现象，可作出以下假设和推断：

(1)平面假设

代表横截面的圆周线，变形前后均保持平面，其形状、大小都不改变，只是绕轴线相对转过一个角度；

(2)两相邻横截面之间的距离也保持不变。山西建筑职业技术学院建筑工程系建筑力学教研室建筑力学

为进一步弄清圆轴横截面上应力的分布情况，用相邻两截面截取受扭圆轴一微段dx，如图a所示。OγdφmTabdx(a)

由于横截面的间距保持不变，未发生轴向变形，故横截面上没有正应力；圆轴横截面上的半径Oa

，受扭后其位置转至Ob

，同时产生切应变

γ，且切应变与点到圆心的距离成正比。由剪切胡克定律可以推测：切应力也与点到圆心的距离成正比。

由以上分析可知：扭转圆轴的横截面上只存在切应力，方向与半径垂直，指向与截面的扭矩相一致，且呈线性分布。TOτmax(b)τmax分布规律如图b所示。

据此，我们直接给出圆轴扭转时横截面上任一点切应力的计算公式τρτ

=TρIP山西建筑职业技术学院建筑工程系建筑力学教研室建筑力学IP

——τ

=TρIPTOτmaxτmaxτρR截面对圆心的极惯性矩，与圆截面的尺寸有关，单位为

mm4。

对于一个指定截面，扭矩T与极惯性矩IP

是定值，ρmax=R时，切应力τ

取得最大值，即τmax=TRIP令WP=RIPτmax=WPT

式中WP与圆截面的尺寸有关，称为抗扭截面系数，是反映圆轴抗扭的几何量，单位为mm3。山西建筑职业技术学院建筑工程系建筑力学教研室建筑力学截面形状实心圆形空心圆形有关尺寸DdD极惯性矩抗扭截面系数IP=32πD4WP=16πD3(1-

α4)IP=32πD4WP=16πD3(1-

α4)α=d/D实心圆、空心圆的极惯性矩和抗扭截面系数山西建筑职业技术学院建筑工程系建筑力学教研室建筑力学例5-4

实心圆轴的直径

d=40mm，传递扭矩

T=628Nm。试计算距离圆心

ρ

=15mm

处某点的切应力以及截面上的最大切应力。628Nmτmaxτρ1520O解(1)计算极惯性矩和抗扭截面系数IP=32πD4=32π×404(mm4)WP=16πD3=16π×403(mm3)(2)计算15mm点的切应力。代入式(5-8)可得τ

=TρIP=×15628×103×32π×404=37.5()MPa(3)计算截面上的最大切应力。代入式(5-10)可得τmax=WPT=×16628×103π×403=50()MPa山西建筑职业技术学院建筑工程系建筑力学教研室建筑力学第五节圆轴扭转时的强度计算

圆轴在扭转时应满足：圆轴横截面上的最大切应力不超过材料的许用切应力，即≤

[τ]

上式称为圆轴扭转的强度条件。τmax=WPT

应用上式可以解决圆轴扭转时的三类强度问题，即进行扭转强度校核、圆轴截面设计及确定许用荷载。山西建筑职业技术学院建筑工程系建筑力学教研室建筑力学例5-5

某传动轴横截面上的最大扭矩T=1.5

kNm，材料的许用切应力[τ]=50MPa。试求：(1)若用实心轴，确定其直径D1

；0.9，确定其内径d和外径D；(3)比较实心轴和空心轴的重量。(2)若改用空心轴，且a=解这属于圆轴截面设计问题。由强度条件可得圆轴所需的抗扭截面系数为WP

≥T[τ]=1.5×10650=30000()mm3(1)确定实心轴的直径D1。由Wp=πD13/16可得D1

=16Wpπ3≥16π3×30000=53.5()mm取D1

=54mm(2)确定空心轴的外径D和内径d。由Wp=πD3(1-a4)/16可得D1

=16Wpπ3≥16π3×30000=76.0()mm(1-0.94)(1-

a4)d

=76×0.9=68.4(mm)取d

=?mm68山西建筑职业技术学院建筑工程系建筑力学教研室建筑力学(3)比较两轴的重量。重量比即面积比，即A空A实=-

682762=0.395542

上例表明：当两轴具有相同的承载能力时，空心轴比实心轴轻得多。选用空心轴既可节省材料，又能减轻自重。因为采用实心轴时，只有横截面边缘处的切应力达到许用切应力，圆心附