福建省示范名校2025届高二上数学期末调研试题含解析_第1页
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文档简介

福建省示范名校2025届高二上数学期末调研试题注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内。2.答题时请按要求用笔。3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试卷上答题无效。4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5.保持卡面清洁,不要折暴、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知抛物线的焦点为,过点的直线交抛物线于,两点,则的取值范围是()A. B.C. D.2.已知为虚数单位,复数是纯虚数,则()A. B.4C.3 D.23.圆心在直线上,且过点,并与直线相切的圆的方程为()A. B.C. D.4.已知数列满足,,,前项和()A. B.C. D.5.已知向量,,则向量等于()A.(3,1,-2) B.(3,-1,2)C.(3,-1,-2) D.(-3,-1,-2)6.如图,将边长为4的正方形折成一个正四棱柱的侧面,则异面直线AK和LM所成角的大小为()A.30° B.45°C.60° D.90°7.已知函数,,若对任意的,,都有成立,则实数的取值范围是()A. B.C. D.8.已知F(3,0)是椭圆的一个焦点,过F且垂直x轴的弦长为,则该椭圆的方程为()A.+=1 B.+=1C.+=1 D.+=19.设双曲线的实轴长为8,一条渐近线为,则双曲线的方程为()A. B.C. D.10.若关于x的不等式的解集为,则关于x的不等式的解集是()A. B.,或C.,或 D.,或,或11.若抛物线的焦点为,则其标准方程为()A. B.C. D.12.某同学为了调查支付宝中的75名好友的蚂蚁森林种树情况,对75名好友进行编号,分别为1,2,…,75,采用系统抽样的方法抽取一个容量为5的样本,已知11号,26号,56号,71号好友在样本中,则样本中还有一名好友的编号是()A.40 B.41C.42 D.39二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知定点,点在直线上运动,则,两点的最短距离为________14.已知数列的前n项和为,且满足通项公式,则________15.抛物线焦点坐标是,则______16.已知数列都是等差数列,公差分别为,数列满足,则数列的公差为__________三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知数列中,,且满足(1)求证数列是等差数列,并求数列的通项公式;(2)求数列的前n项和18.(12分)已知直线,圆.(1)证明:直线l与圆C相交;(2)设l与C的两个交点分别为A、B,弦AB的中点为M,求点M的轨迹方程;(3)在(2)的条件下,设圆C在点A处的切线为,在点B处的切线为,与的交点为Q.试探究:当m变化时,点Q是否恒在一条定直线上?若是,请求出这条直线的方程;若不是,说明理由.19.(12分)已知抛物线的顶点在坐标原点,对称轴为轴,焦点为,抛物线上一点的横坐标为2,且(1)求抛物线的方程;(2)过点作直线交抛物线于两点,设,判断是否为定值?若是,求出该定值;若不是,说明理由.20.(12分)如图,在棱长为的正方体中,为中点(1)求二面角的大小;(2)探究线段上是否存在点,使得平面?若存在,确定点的位置;若不存在,说明理由21.(12分)设:,:.(1)若命题“,是真命题”,求的取值范围;(2)若是的充分不必要条件,求的取值范围.22.(10分)若等比数列的各项为正,前项和为,且,.(1)求数列的通项公式;(2)若是以1为首项,1为公差的等差数列,求数列的前项和.

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】当直线斜率存在时,设直线方程,联立方程组,结合根与系数关系可得,进而求得取值范围,当斜率不存在是,可得,两点坐标,进而可得的值.【详解】当直线斜率存在时,设直线方程为,,,联立方程,得,恒成立,则,,,,,所以,当直线斜率不存在时,直线方程为,所以,,,综上所述:,故选:B.2、C【解析】化简复数得,由其为纯虚数求参数a,进而求的模即可.【详解】由纯虚数,∴,解得:,则,故选:C3、A【解析】设圆的圆心,表示出半径,再由圆心到切线距离等于半径即可列出方程求得参数及圆的方程.【详解】∵圆的圆心在直线上,∴设圆心为(a,-a),∵圆过,∴半径r=,又∵圆与相切,∴半径r=,则,解得a=2,故圆心为(2,-2),半径为,故方程为.故选:A.4、C【解析】根据,利用对数运算得到,再利用等比数列的前n项和公式求解.【详解】解:因为,所以,则,所以数列是以为首项,为公比的等比数列,所以,故选:C5、B【解析】根据空间向量线性运算的坐标表示即可得出答案.【详解】解:因为,,所以.故选:B.6、D【解析】作出折叠后的正四棱锥,确定线面关系,从而把异面直线的夹角通过平移放到一个平面内求得.【详解】由题知,折叠后的正四棱锥如图所示,易知K为的四等分点,L为的中点,M为的四等分点,,取的中点N,易证,则异面直线AK和LM所成角即直线AK和KN所成角,在中,,,故故选:D7、B【解析】根据题意,将问题转化为对任意的,,利用导数求得的最大值,再分离参数,构造函数,利用导数求其最大值,即可求得参数的取值范围.【详解】由题可知:对任意的,,都有恒成立,故可得对任意的,;又,则,故在单调递减,在单调递增,又,,则当时,,.对任意的,,即,恒成立.也即,不妨令,则,故在单调递增,在单调递减.故,则只需.故选:B.8、C【解析】根据已知条件求得,由此求得椭圆的方程.【详解】依题意,所以椭圆方程为.故选:C9、D【解析】双曲线的实轴长为,渐近线方程为,代入解析式即可得到结果.【详解】双曲线的实轴长为8,即,,渐近线方程为,进而得到双曲线方程为.故选:D.10、D【解析】先利用已知一元二次不等式的解集求得参数,再代入所求不等式,利用分式大于零,则分子分母同号,列不等式计算即得结果.【详解】不等式解集为,即的二根是1和2,利用根和系数的关系可知,故不等式即转化成,即,等价于或者,解得或,或者.故解集为,或,或.故选:D.【点睛】分式不等式的解法:(1)先化简成右边为零的形式(或),等价于一元二次不等式(或)再求解即可;(2)先化简成右边为零的形式(或),再利用分子分母同号(或者异号),列不等式组求解即可.11、D【解析】由题意设出抛物线的标准方程,再利用焦点为建立,解方程即可.【详解】由题意,设抛物线标准方程为,所以,解得,所以抛物线标准方程为.故选:D12、B【解析】根据系统抽样等距性即可确定结果.【详解】根据系统抽样等距性得:11号,26号,56号,71号以及还有一名好友的编号应该按大小排列后成等差数列,样本中还有一名好友的编号为26号与56号的等差中项,即41号,故选:B【点睛】本题考查系统抽样,考查基本分析求解能力,属基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】线段最短,就是说的距离最小,此时直线和直线垂直,可先求的斜率,再求直线的方程,然后与直线联立求交点即可【详解】定点,点在直线上运动,当线段最短时,就是直线和直线垂直,的方程为:,它与联立解得,所以的坐标是,所以,故答案为:14、【解析】由时,,可得,利用累乘法得,从而即可求解.【详解】因为,所以时,,即,化简得,又,所以,检验时也成立,所以,所以,故答案:.15、2【解析】根据抛物线的几何性质直接求解可得.【详解】的焦点坐标为,即.故答案为:216、##【解析】利用等差数列的定义即得.【详解】∵数列都是等差数列,公差分别为,数列满足,∴.故答案为:.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)证明见解析;;(2).【解析】(1)根据等差数列的定义证明为常数即可;(2)利用错位相减法即可求和.【小问1详解】由得,,∴数列是以1为首项,1为公差的等差数列,∴,∴;【小问2详解】①,②,①-②得:,.18、(1)证明见解析;(2);(3)点Q恒在直线上,理由见解析.【解析】(1)求出直线过定点,得到在圆内部,故证明直线l与圆C相交;(2)设出点,利用垂直得到等量关系,整理后即为轨迹方程;(3)利用Q、A、B、C四点共圆,得到此圆方程,联立,求出相交弦的方程,即直线的方程,根据直线过的定点,得到,从而得到点Q恒在直线上.【小问1详解】证明:直线过定点,代入得:,故在圆内,故直线l与圆C相交;【小问2详解】圆的圆心为,设点,由垂径定理得:,即,化简得:,点M的轨迹方程为:【小问3详解】设点,由题意得:Q、A、B、C四点共圆,且圆的方程为:,即,与圆C的方程联立,消去二次项得:,即为直线的方程,因为直线过定点,所以,解得:,所以当m变化时,点Q恒在直线上.【点睛】本题的第三问是稍有难度的,处理方法是根据四点共圆,直径的端点坐标,求出此圆的方程,与曲线联立后得到相交弦的方程,是处理此类问题的关键.19、(1)(2)是,0【解析】(1)根据题意,设抛物线的方程为:,则,,进而根据得,进而得答案;(2)直线的方程为,进而联立方程,结合韦达定理与向量数量积运算化简整理即可得答案.【小问1详解】解:由题意,设抛物线的方程为:,所以点的坐标为,点的坐标为,因为,所以,即,解得.所以抛物线的方程为:【小问2详解】解:设直线的方程为,则联立方程得,所以,,因为,所以.所以为定值.20、(1)(2)点为线段上靠近点的三等分点【解析】(1)建立空间直角坐标系,分别写出点的坐标,求出两个平面的法向量代入公式求解即可;(2)假设存在,设,利用相等向量求出坐标,利用线面平行的向量法代入公式计算即可.【小问1详解】如下图所示,以为原点,,,所在直线分别为轴,轴,轴建立空间直角坐标系,则,,,,,,.所以,设平面的法向量,所以,即,令,则,,所以,连接,因为,,,平面,平面,平面,所以平面,所以为平面的一个法向量,所以,由图知,二面角为锐二面角,所以二面角的大小为【小问2详解】假设在线段上存在点,使得平面,设,,,因为平面,所以,即所以,即解得所以在线段上存在点,使得平面,此时点为线段上靠近点的三等分点21、(1)(2)【解析】(1)解不等式得到解集,根据题意列出不等式组,求出的取值范围;(2)先解不等式,再根据充分不必要条件得到是的真子集,进而求出的取值范围.【小问1详解】因为,由可得:,因为“,”为真命题,所以,即,解得:.即的取值范围是.【小问2详解】因为,由可得:,,因为是的充分不必要条件,所以是的真子

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