江西省上饶市横峰中学2025届数学高二上期末联考模拟试题含解析

江西省上饶市横峰中学2025届数学高二上期末联考模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．直线被圆截得的弦长为（）A.1 B.C.2 D.32．已知实数x，y满足，则的取值范围是（）A. B.C. D.3．下列命题中正确的是（）A.函数最小值为2.B.函数的最小值为2.C.函数的最小值为D.函数的最大值为4．一直线过点，则此直线的倾斜角为（）A.45° B.135°C.－45° D.－135°5．若在1和16中间插入3个数，使这5个数成等比数列，则公比为（）A. B.2C. D.46．《九章算数》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积为3升，下面3节的容积共4升，则第五节的容积为（）A.1升 B.升C.升 D.升7．已知椭圆和双曲线有共同的焦点，分别是它们的在第一象限和第三象限的交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，则等于（）A.4 B.2C.2 D.38．设等比数列的前项和为，若，，则（）A.66 B.65C.64 D.639．双曲线的左、右焦点分别为、，P为双曲线C的右支上一点．以O为圆心a为半径的圆与相切于点M，且，则该双曲线的渐近线为（）A. B.C. D.10．双曲线的渐近线方程为A. B.C. D.11．已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上，若，则的面积为（）A. B.C. D.12．已知的二项展开式的各项系数和为32，则二项展开式中的系数为A5 B.10C.20 D.40二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．定义在上的函数满足，且对任意都有，则不等式的解集为__________.14．已知双曲线，则圆的圆心C到双曲线渐近线的距离为______15．设是数列的前项和，且，则_____________.16．已知双曲线的右焦点为F，以F为圆心，以a为半径的圆与双曲线C的一条渐近线交于A，B两点.若(O为坐标原点)，则双曲线C的离心率为___________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）某中学共有名学生，其中高一年级有名学生，为了解学生的睡眠情况，用分层抽样的方法，在三个年级中抽取了名学生，依据每名学生的睡眠时间（单位：小时），绘制出了如图所示的频率分布直方图.（1）求样本中高一年级学生人数及图中的值；（2）估计样本数据的中位数（保留两位小数）；（3）估计全校睡眠时间超过个小时的学生人数.18．（12分）某企业为响应“安全生产”号召，将全部生产设备按设备安全系数分为A，两个等级，其中等设备安全系数低于A等设备.企业定时对生产设备进行检修，并将部分等设备更新成A等设备.据统计，2020年底该企业A等设备量已占全体设备总量的30%.从2021年开始，企业决定加大更新力度，预计今后每年将16%的等设备更新成A等设备，与此同时，4%的A等设备由于设备老化将降级成等设备.（1）在这种更新制度下，在将来的某一年该企业的A等设备占全体设备的比例能否超过80%？请说明理由；（2）至少在哪一年底，该企业的A等设备占全体设备的比例超过60%.（参考数据：，，）19．（12分）如图，在正四棱锥中，为底面中心，，为中点，（1）求证：平面；（2）求：（ⅰ）直线到平面的距离；（ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值20．（12分）（1）已知集合，．：，：，并且是的充分条件，求实数的取值范围（2）已知：，，：，，若为假命题，求实数的取值范围21．（12分）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图，在阳马中，侧棱底面，且，过棱的中点，作交于点，连接（1）证明：．试判断四面体是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，说明理由；（2）记阳马的体积为，四面体的体积为，求的值；（3）若面与面所成二面角的大小为，求的值22．（10分）已知抛物线的顶点是坐标原点，焦点在轴的正半轴上，是抛物线上的点，点到焦点的距离为1，且到轴的距离是（1）求抛物线的标准方程；（2）假设直线通过点，与抛物线相交于，两点，且，求直线的方程

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】利用直线和圆相交所得的弦长公式直接计算即可.【详解】由题意可得圆的圆心为，半径，则圆心到直线的距离，所以由直线和圆相交所得的弦长公式可得弦长为：.故选：C.2、B【解析】实数，满足，通过讨论，得到其图象是椭圆、双曲线的一部分组成的图形，借助图象分析可得的取值就是图象上一点到直线距离范围的2倍，求出切线方程根据平行直线距离公式算出最小值，和最大值的极限值即可得出答案.【详解】因为实数，满足，所以当时，，其图象是位于第一象限，焦点在轴上的双曲线的一部分（含点），当时，其图象是位于第四象限，焦点在轴上的椭圆的一部分，当时，其图象不存在，当时，其图象是位于第三象限，焦点在轴上的双曲线的一部分，作出椭圆和双曲线的图象，其中图象如下：任意一点到直线的距离所以，结合图象可得的范围就是图象上一点到直线距离范围的2倍，双曲线，其中一条渐近线与直线平行，通过图形可得当曲线上一点位于时，取得最小值，无最大值，小于两平行线与之间的距离的倍，设与其图像在第一象限相切于点，由因为或（舍去）所以直线与直线的距离为此时，所以的取值范围是故选：B【点睛】三种距离公式：（1）两点间的距离公式：平面上任意两点间的距离公式为；（2）点到直线的距离公式：点到直线的距离;（3）两平行直线间的距离公式：两条平行直线与间的距离.3、D【解析】根据基本不等式知识对选项逐一判断【详解】对于A，时为负值，故A错误对于B，，而无解，无法取等，故B错误对于，当且仅当即时等号成立，故，D正确，C错误故选：D4、A【解析】根据斜率公式求得直线的斜率，得到，即可求解.【详解】设直线的倾斜角为，由斜率公式，可得，即，因为，所以，即此直线的倾斜角为.故选：A.5、A【解析】根据等比数列的通项得：，从而可求出.【详解】解：成等比数列，∴根据等比数列的通项得：，，故选：A.6、B【解析】设出竹子自上而下各节的容积且为等差数列，根据上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升列出关于首项和公差的方程，联立即可求出首项和公差，根据求出的首项和公差，利用等差数列的通项公式即可求出第5节的容积【详解】解：设竹子自上而下各节的容积分别为：，，，，且为等差数列，根据题意得：，，即①，②，②①得：，解得，把代入①得：，则故选：B【点睛】本题考查学生掌握等差数列的性质，灵活运用等差数列的通项公式化简求值，属于中档题7、A【解析】设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，由定义可得，，在中利用余弦定理可得，即可求出结果.【详解】设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，不妨设在第一象限，根据椭圆和双曲线定义，得，，，由可得，又，在中，，即，化简得，两边同除以，得.故选：A.【点睛】关键点睛：本题考查共焦点的椭圆与双曲线的离心率问题，解题的关键是利用定义以及焦点三角形的关系列出齐次方程式进行求解.8、B【解析】根据等比数列前项和的片段和性质求解即可.【详解】解：由题知：，，，所以，，成等比数列，即5，15，成等比数列，所以，解得.故选：B.9、A【解析】连接、，利用中位线定理和双曲线定义构建参数关系，即求得渐近线方程.【详解】如图，连接、，∵M是的中点，∴是的中位线，∴，且，根据双曲线的定义，得，∴，∵与以原点为圆心a为半径的圆相切，∴，可得，中，，即得，，解得，即，得.由此得双曲线的渐近线方程为.故选：A.【点睛】本题考查了双曲线的定义的应用和渐近线的求法，属于中档题.10、A【解析】根据双曲线的渐近线方程知，，故选A.11、B【解析】求出，可知为等腰三角形，取的中点，可得出，利用勾股定理求得，利用三角形的面积公式可求得结果.【详解】在椭圆中，，，则，所以，，由椭圆的定义可得，取的中点，因为，则，由勾股定理可得，所以，.故选：B.12、B【解析】首先根据二项展开式的各项系数和，求得，再根据二项展开式的通项为，求得，再求二项展开式中的系数.【详解】因为二项展开式的各项系数和，所以，又二项展开式的通项为=，，所以二项展开式中的系数为．答案选择B【点睛】本题考查二项式展开系数、通项等公式，属于基础题二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】利用构造函数法，结合导数来求得不等式的解集.【详解】构造函数，，所以在上递减，由，得，即，所以，即等式的解集为.故答案为：14、2【解析】求出圆心和双曲线的渐近线方程，即得解.【详解】解：由题得圆的圆心为，双曲线的渐近线方程为，即.所以圆心到双曲线渐近线的距离为.故答案为：215、【解析】根据题意可知，再利用裂项相消法，即可求出结果.【详解】因为，所以.故答案为：.16、【解析】过F作，利用点到直线距离可求出，再根据勾股定理可得，，由可得，即可建立关系求解.【详解】如图，过F作，则E是AB中点，设渐近线为，则，则在直角三角形OEF中，，在直角三角形BEF中，，，则，即，即，则，即，.故答案为：.【点睛】本题考查双曲线离心率的求解，解题的关键是分别表示出，，由建立关系.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）样本中高一年级学生的人数为，；（2）；（3）.【解析】（1）利用分层抽样可求得样本中高一年级学生的人数，利用频率直方图中所有矩形的面积之和为可求得的值；（2）利用中位数左边的矩形面积之和为可求得中位数的值；（3）利用频率分布直方图可计算出全校睡眠时间超过个小时的学生人数.【小问1详解】解：样本中高一年级学生的人数为.，解得.【小问2详解】解：设中位数为，前两个矩形的面积之和为，前三个矩形的面积之和为，所以，则，得，故样本数据的中位数约为.【小问3详解】解：由图可知，样本数据落在的频率为，故全校睡眠时间超过个小时的学生人数约为.18、（1）A等设备量不可能超过生产设备总量的80%，理由见解析；（2）在2025年底实现A等设备量超过生产设备总量的60%.【解析】(1)根据题意表示出2020年开始，经过年后A等设备量占总设备量的百分比为，求出，根据的范围进行判断；(2)令＞即可求解.【小问1详解】记该企业全部生产设备总量为“1”，2020年开始，经过年后A等设备量占总设备量的百分比为，则经过1年即2021年底该企业A等设备量，，可得，又所以数列是以为首项，公比为的等比数列，可得，所以，显然有，所以A等设备量不可能超过生产设备总量的80%.【小问2详解】由，得.因为单调递减，又，，所以在2025年底实现A等设备量超过生产设备总量的60%.19、（1）证明见解析；（2）（i）；（ii）.【解析】（1）连接，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可证得结论成立；（2）（i）利用空间向量法可求得直线到平面的距离；（ii）利用空间向量法可求得直线与平面所成角的正弦值.【小问1详解】证明：连接，则为的中点，且，在正四棱锥中，平面，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示空间直角坐标系，则、、、、、、、，，设平面的法向量为，，，则，取，则，因为，则，又因为平面，所以，平面.【小问2详解】解：（i），所以，直线到平面的距离为.（ii），则，因此，直线与平面所成角的正弦值为.20、（1）；（2）【解析】（1）由二次函数的性质，求得，又由，求得集合，根据命题是命题的充分条件，所以，列出不等式，即可求解（2）依题意知，均为假命题，分别求得实数的取值范围，即可求解【详解】（1）由，∵，∴，，∴，所以集合，由，得，所以集合，因为命题是命题的充分条件，所以，则，解得或，∴实数的取值范围是.（2）依题意知，，均为假命题，当是假命题时，恒成立，则有，当是假命题时，则有，或.所以由均为假命题，得，即.【点睛】本题主要考查了复合命题的真假求参数，以及充要条件的应用，其中解答中正确得出集合间的关系，列出不等式，以及根据复合命题的真假关系求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题21、（1）证明见解析，是鳖臑，四个面的直角分别为∠DEB，∠DEF，∠EFB，∠DFB（2）4（3）【解析】（1）由直线与直线，直线与平面的垂直的转化证明得出PB⊥EF，DE∩FE＝E，所以PB⊥平面DEF，即可判断DE⊥平面PBC，PB⊥平面DEF，可知四面体BDEF的四个面都是直角三角形，确定直角即可；（2）PD是阳马P−ABCD的高，DE是鳖臑D−BCE的高，BC⊥CE，，由此能求出的值（3）根据公理2得出DG是平面DEF与平面ACBD的交线．利用直线与平面的垂直判断出DG⊥DF，DG⊥DB，根据平面角的定义得出∠BDF是面DEF与面ABCD所成二面角的平面角，转化到直角三角形求解即可【小问1详解】因为PD⊥底面ABCD，所以PD⊥BC，由底面ABCD为长方形，有BC⊥CD，而PD∩CD＝D，所以BC⊥平面PCD．而DE⊂平面PDC，所以BC⊥DE又因为PD＝CD，点E是PC的中点，所以DE⊥PC而PC∩CB＝C，所以DE⊥平面PBC．而PB⊂平面PBC，所以PB⊥DE又PB⊥EF，DE∩FE＝E，所以PB⊥平面DEF由DE⊥平面PBC，PB⊥平面DEF，可知四面体BDEF的四个面都是直角三角形，即四