山西省忻州巿第一中学2025届高一上数学期末监测试题含解析

山西省忻州巿第一中学2025届高一上数学期末监测试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．函数的图象的一个对称中心是（）A B.C. D.2．管理人员从一池塘内随机捞出40条鱼，做上标记后放回池塘.10天后，又从池塘内随机捞出70条鱼，其中有标记的有2条.根据以上数据可以估计该池塘内鱼的总条数是（）A.2800 B.1800C.1400 D.12003．在正内有一点，满足等式，，则（）A. B.C. D.4．纳皮尔是苏格兰数学家，其主要成果有球面三角中纳皮尔比拟式、纳皮尔圆部法则（1614）和纳皮尔算筹（1617），而最大的贡献是对数的发明，著有《奇妙的对数定律说明书》，并且发明了对数尺，可以利用对数尺查询出任意一对数值.现将物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度是（℃），空气的温度是（℃），经过t分钟后物体的温度T（℃）可由公式得出，如温度为90℃的物体，放在空气中冷却2.5236分钟后，物体的温度是50℃，若根据对数尺可以查询出，则空气温度是（）A.5℃ B.10℃C.15℃ D.20℃5．平行线与之间的距离等于（）A. B.C. D.6．已知，，三点，点使直线，且，则点D的坐标是(

)A. B.C. D.7．已知向量，向量，则的最大值，最小值分别是（）A.，0 B.4，C.16，0 D.4，08．若函数，则（）A. B.C. D.9．函数的部分图象如图所示，将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象，则下列说法正确的是（）A.函数为奇函数B.函数的最小正周期为C.函数的图象的对称轴为直线D.函数的单调递增区间为10．直线与直线互相垂直，则这两条直线的交点坐标为（）A. B.C. D.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．函数中角的终边经过点，若时，的最小值为.（1）求函数的解析式；（2）求函数的单调递增区间.12．已知向量，，若，则与的夹角为______13．设，，则的取值范围是______.14．已知函数，，那么函数图象与函数的图象的交点共有__________个15．若，则的定义域为____________.16．已知平面和直线，给出条件：①；②；③；④；⑤（1）当满足条件_________时，有；（2）当满足条件________时，有．（填所选条件的序号）三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知为奇函数，且（1）求的值；（2）判断在上的单调性，并用单调性定义证明18．已知函数，不等式解集为，设（1）若存在，使不等式成立，求实数的取值范围；（2）若方程有三个不同的实数解，求实数的取值范围19．已知函数（1）求函数的最小正周期；（2）求函数在上的值域20．已知函数（1）若不等式的解集为，求的值；（2）当时，求关于的不等式的解集21．在①函数的图象向右平移个单位长度得到的图象，图象关于原点对称；②向量，；③函数.这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.已知_________，函数的图象相邻两条对称轴之间的距离为.（1）求；（2）求函数在上的单调递减区间.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、B【解析】利用正弦函数的对称性质可知，，从而可得函数的图象的对称中心为，再赋值即可得答案【详解】令，，解得：，.所以函数的图象的对称中心为，.当时，就是函数的图象的一个对称中心，故选：B.2、C【解析】由从池塘内捞出70条鱼，其中有标记的有2条，可得所有池塘中有标记的鱼的概率，结合池塘内具有标记的鱼一共有40条鱼，按照比例即得解.【详解】设估计该池塘内鱼的总条数为，由题意，得从池塘内捞出70条鱼，其中有标记的有2条，所有池塘中有标记的鱼的概率为：，又因为池塘内具有标记的鱼一共有40条鱼，所以，解得，即估计该池塘内共有条鱼故选：C3、A【解析】过作交于，作交于，则，可得，在中由正弦定理可得答案.【详解】过作交于，作交于，则，，在中，，，由正弦定理得.故选：A.4、B【解析】依题意可得，即，即可得到方程，解得即可；【详解】：依题意，即，又，所以，即，解得；故选：B5、C【解析】，故选6、D【解析】先设点D的坐标，由题中条件，且，建立D点横纵坐标的方程，解方程即可求出结果.【详解】设点,则由题意可得：,解得，所以D点坐标为.【点睛】本题主要考查平面向量，属于基础题型.7、D【解析】利用向量的坐标运算得到|2用θ的三角函数表示化简求最值【详解】解：向量，向量，则2（2cosθ，2sinθ+1），所以|22＝（2cosθ）2+（2sinθ+1）2＝8﹣4cosθ+4sinθ＝8﹣8sin（），所以|22的最大值，最小值分别是：16，0；所以|2的最大值，最小值分别是4，0；故选：D【点睛】本题考查了向量的坐标运算以及三角函数解析式的化简；利用了两角差的正弦公式以及正弦函数的有界性8、C【解析】应用换元法求函数解析式即可.【详解】令，则，所以，即.故选：C9、D【解析】根据图象得到函数解析式，将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象，可得解析式，分别根据正弦函数的奇偶性、单调性、周期性与对称性，对选项中的结论判断，从而可得结论.【详解】由图象可知，，∴，则.将点的坐标代入中，整理得，∴，即；，∴，∴.∵将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象，∴.，∴既不是奇函数也不是偶函数，故A错误；∴的最小正周期，故B不正确.令，解得，则函数图像的对称轴为直线.故C错误；由，可得，∴函数的单调递增区间为.故D正确；故选：D.【点睛】关键点睛：本题主要考查三角函数的图象与性质，熟记正弦函数的奇偶性、单调区间、最小正周期与对称轴是解决本题的关键.10、B【解析】时，直线分别化为：，此时两条直线不垂直.时，利用两条直线垂直可得：，解得.联立方程解出即可得出.【详解】时，直线分别化为：，此时两条直线不垂直.时，由两条直线垂直可得：，解得.综上可得：.联立，解得，.∴这两条直线的交点坐标为.故选：【点睛】本题考查了直线相互垂直、分类讨论方法、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、（1）（2），【解析】（1）根据角的终边经过点求，再由题意得周期求即可；（2）根据正弦函数的单调性求单调区间即可.【小问1详解】因为角的终边经过点，所以，若时，的最小值为可知，∴【小问2详解】令，解得故单调递增区间为：，12、##【解析】先求向量的模，根据向量积，即可求夹角.【详解】解：，，所以与的夹角为.故答案为：13、【解析】由已知求得，然后应用诱导公式把求值式化为一个角的一个三角函数形式，结合正弦函数性质求得范围【详解】，，所以，所以，，，，故答案为：14、8【解析】在同一坐标系中，分别画出函数，及函数的图像，如图所示：由图可知，两个函数的图象共有8个交点故答案为8点睛：解决函数与方程问题的基本思想就是数形结合思想和等价转化思想，运用函数图象来研究函数零点或方程解的个数，在画函数图象时，切忌随手一画，可利用零点存在定理，结合函数图象的性质，如单调性，奇偶性，将问题简化．15、【解析】使表达式有意义，解不等式组即可.【详解】由题，解得，即，故答案为：.【点晴】此题考函数定义域的求法，属于简单题.16、(1).③⑤；(2).②⑤【解析】若m⊂α，α∥β，则m∥β；若m⊥α，α∥β，则m⊥β故答案为（1）③⑤（2）②⑤考点：本题主要考查直线与平面垂直的位置关系点评：熟练掌握直线与平面平行、垂直的判定与性质，基础题三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）递减，见解析【解析】(1)函数是奇函数，所以，得到，从而解得；(2)在区间上任取两个数，且，判断的符号，得到，由此证明函数的单调性.详解】(1)由题意知，则，解得；(2)函数在上单调递减，证明如下：在区间上任取两个数，且，因为，所以即，，所以即，函数在上单调递减.【点睛】本题考查由函数的奇偶性求参数，利用定义证明函数的单调性，属于基础题.18、（1）；（2）【解析】（1）由不等式的解集为可知是方程的两个根，即可求出，根据的单调性求出其在的最大值，即可得出m的范围；（2）方程可化为，令，则有两个不同的实数解，，根据函数性质可列出不等式求解.【详解】（1）∵不等式的解集为∴，是方程的两个根∴，解得．∴则∴存在，使不等式成立，等价于在上有解，而在时单调递增，∴∴的取值范围为（2）原方程可化为令，则，则有两个不同的实数解，，其中，，或，记，则①，解得或②，不等式组②无实数解∴实数的取值范围为【点睛】本题考查一元二次不等式的解集与方程的根的关系，考查函数的单调性，考查利用函数性质解决方程解的情况，属于较难题.19、（1）；（2）.【解析】（1）利用降幂公式、辅助角公式，结合正弦型函数最小正周期公式进行求解即可；（2）结合（1）的结论，利用正弦型函数的单调性进行求解即可.【小问1详解】，函数的最小正周期为；【小问2详解】由，则，则，即，所以函数在上的值域为.20、（1）；（2）见解析.【解析】(1)根据二次不等式解集与二次函数图像的关系即可求出a的取值；(2)根据二次函数图像的性质即可分类讨论解不等式.【小问1详解】不等式即，可化为因为的解集是，所以且解得；【小问2详解】不等式即，因为，所以不等式可化为当时，即，原不等式的解集当时，即，原不等式的解集为当时即原不等式的解集.综上所述，当时，原不等式的解；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集.21、选择见解析；（1）；（2）单调递减区间为.【解析】选条件①:由函数的图象相邻两条对称轴之间的距离为，得到，解得，再由平移变换和图象关于原点对称，解得，得到，（1）将代入求解；（2）令，结合求解.选条件②:利用平面向量的数量积运算得到，再由，求得得到.（1）将代入求解；（2）令，结合求解.选条件③:利用两角和的正弦公式，二倍角公式和辅助角法化简得到，再由，求得得到.（1）将代入求解；（2）令，结合求解.【详解】选条件①:由题意可知，最小正周期，∴,∴，∴，又函数图象关于原点对称，∴，∵，∴，∴，（1）；（2）由，得，令，得，令，得，∴函数在上的单调递减区间为.选条件②：∵，∴，又最小正周期，∴，∴，（1）；（2）由，得，令