2024-2025学年高中数学第一章数列1.1数列的概念教师用书教案北师大版必修5

PAGE第一章数列§1数列1.1数列的概念学习目标1.了解数列、通项公式的概念,能依据通项公式确定数列中的项(数学抽象)2.能依据数列的前几项写出数列的一个通项公式(逻辑推理)必备学问·自主学习导思1.{an}与an有什么区分?2.1,2,3,4与1,2,3,4,…是否是相同的数列?1.数列的概念(1)数列:一般地,按肯定次序排列的一列数叫作数列.(2)项:数列中的每一个数叫作这个数列的项.(3)数列的表示:数列的一般形式可以写成a1,a2,a3,…,an,…,简记为:{an}.数列的第1项a1也称首项,an是数列的第n项,也叫数列的通项.{an}与an有什么区分?提示:{an}与an是不同的概念.{an}表示数列a1,a2,a3,…,an…,而an仅表示数列{an}的第n项.2.数列的分类(1)项数有限的数列叫作有穷数列.(2)项数无限的数列叫作无穷数列.1,2,3,4与1,2,3,4,…是否是相同的数列?提示:两数列不是相同的数列.1,2,3,4是有穷数列,1,2,3,4,…是无穷数列.3.数列的通项公式假如数列{an}的第n项an与n之间的函数关系可以用一个式子表示成an=f(n),那么这个式子叫作数列{an}的通项公式.4.数列与函数的关系数列可以看作是定义域为正整数集N+(或它的有限子集{1,2,…,n})的函数,当自变量从小到大依次取值时,该函数对应的一列函数值就是这个数列.数列和函数值域有什么区分?提示:数列是一种特别的函数,并且数列有序,函数值域是集合,具有无序性.1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”).(1)数列a1,a2,a3,…,an可以表示为{a1,a2,a3,…,an}. ()(2)数列看作函数时,其定义域可以是正整数集的随意子集. ()(3)数列的通项公式是唯一的. ()提示:(1)×.数列中的项是有次序的,集合中的元素是无序的.(2)×.数列看作函数时,其定义域可以是正整数集的子集,但必需是从1起先,从小到大的正整数.(3)×.不肯定,如数列1,0,1,0,…的通项公式可以是an=QUOTE也可以是an=QUOTE或an=QUOTE等.2.下列说法中,正确的是 ()A.数列1,3,5,7可表示为{1,3,5,7}B.数列1,0,-1,-2与数列-2,-1,0,1是相同的数列C.数列中的项可以相等D.数列a,b,c和数列c,b,a肯定不是同一数列【解析】选C.{1,3,5,7}不表示数列,故A错误;数列具有有序性,故B错误;D中,当a=c时,数列a,b,c和数列c,b,a表示同一数列,故D错误;数列中的项可以相等,故C正确.3.(教材二次开发:练习改编)数列2,3,4,5,…的一个通项公式为 ()A.an=n B.an=n+1C.an=n+2 D.an=2n【解析】选B.这个数列的前4项都比序号大1,所以它的一个通项公式为an=n+1.关键实力·合作学习类型一数列的有关概念(数学抽象)1.下列说法正确的是 ()A.数列1,2,3,4,5,6与数列1,2,5,6,3,4是同一个数列B.数列1,2,3,4,5,6可以表示为QUOTEC.0,2,4,6,8,…,2n是无穷数列D.同一个数在一个数列中可以重复出现2.在数列1,1,2,3,5,8,x,21,34,55中,x等于 ()A.11 B.12 C.13 3.下列说法正确的是 ()A.1,4,2,QUOTE,QUOTE不是数列B.数列QUOTE的第k项为1+QUOTEC.-1,1,3,5,…是数列D.数列0,2,4,6,8,…可记为{2n}【解析】1.选D.两个数列只有元素相同,排列依次也相同时,才是同一个数列,故A不正确;数列与集合不同,数列不能表示成集合的形式,故B不正确;当n确定后,数列0,2,4,6,8,…,2n的项数就确定了,所以该数列是有穷数列,故C错误;依据数列定义知D正确.2.选C.由前6项可知:从第3个数起,每一个数都是它前面两个数的和.所以x=13.3.选C.A中的1,4,2,QUOTE,QUOTE是数列;B中,数列的第k项为1+QUOTE;D中,数列应记为{2n-2},所以D不正确;很明显C正确.数列概念的三个留意点(1)数列{an}表示数列a1,a2,a3,…,an,…,不是表示一个集合,与集合表示有本质的区分.(2)从数列的定义可以看出,假如组成数列的数相同而排列次序不同,那么它们就是不同的数列;在定义中,并没有规定数列中的数必需不同,因此,同一个数在数列中可以重复出现.(3)数列中各项的次序揭示了数列的规律性,是理解、把握数列的关键.【补偿训练】下列说法正确的是 ()A.数列3,5,7与数列7,5,3是相同数列B.数列2,3,4,4可以记为{2,3,4}C.数列1,QUOTE,QUOTE,…,QUOTE,…可以记为QUOTED.数列{2n+1}的第5项是10【解析】选C.数列是有序的,选项A错;数列与数集是两个不同的概念,选项B错;对于D,当n=5时,2×5+1=11,选项D错,故C正确.类型二通项公式的应用(逻辑推理)角度1由通项公式写出数列的项

【典例】依据下面数列{an}的通项公式,写出它的前5项.(1)an=QUOTE;(2)an=(-1)n·QUOTE.【思路导引】把数列的通项公式中的序号n用1,2,3,4,5代替就可以求出数列的相应项.【解析】(1)因为an=QUOTE,所以a1=QUOTE=0,a2=QUOTE=QUOTE,a3=QUOTE=QUOTE=QUOTE,a4=QUOTE=QUOTE,a5=QUOTE=QUOTE=QUOTE.(2)因为an=(-1)n·QUOTE,所以a1=(-1)1·QUOTE=0,a2=(-1)2·QUOTE=QUOTE,a3=(-1)3·QUOTE=-1,a4=(-1)4·QUOTE=QUOTE,a5=(-1)5·QUOTE=-QUOTE=-QUOTE.角度2推断一个数是否是数列中的项

【典例】已知数列{an}的通项公式是an=QUOTE.试推断QUOTE和QUOTE是否是该数列中的项?若是,求出它是第几项;若不是,说明理由.【思路导引】某一个数是数列中的项,则必对应通项公式中的一个正整数n.【解析】令QUOTE=QUOTE,得n2=9,所以n=3(n=-3舍去),故QUOTE是该数列中的项,并且是第3项;令QUOTE=QUOTE,得n2=QUOTE,所以n=±QUOTE,由于QUOTE与-QUOTE都不是正整数,因此QUOTE不是数列中的项.已知:an=QUOTE,(1)求a3.(2)若an=QUOTE,求n.【解析】(1)将n=3代入an=QUOTE,得a3=QUOTE=QUOTE.(2)将an=QUOTE代入an=QUOTE,得QUOTE=QUOTE,解得n=8.1.利用数列的通项公式求某项的方法数列的通项公式给出了第n项an与它的位置序号n之间的关系,只要用序号代替公式中的n,就可以求出数列的相应项.2.推断某数值是否为该数列的项的方法先假定它是数列中的第n项,然后列出关于n的方程.若方程解为正整数,则是数列的一项;若方程无解或解不是正整数,则不是该数列的一项.1.已知数列{an}的通项公式是an=n2+2,则其第3,4项分别是 ()A.11,3B.11,15C.11,18D.13,18【解析】选C.a3=32+2=11,a4=42+2=18.2.已知数列1,QUOTE,QUOTE,QUOTE,…,QUOTE,…,则3QUOTE是它的 ()A.第22项 B.第23项C.第24项 D.第28项【解析】选B.令QUOTE=3QUOTE=QUOTE,即2n-1=45,解得n=23.3.(2024·玉溪高一检测)已知数列QUOTE满意a1=1,an+1=-QUOTE,n∈N*,则a2019=.

【解析】依据题干表达式得到a2=-QUOTE=-QUOTE,a3=-QUOTE=-2,a4=-QUOTE=1,a5=-QUOTE=-QUOTE,a6=-QUOTE=-2,a7=-QUOTE=1.所以数列具有周期性,周期为3,又2019÷3=673.故得到a2019=-2.答案:-2类型三求通项公式(数学抽象)角度1视察法求通项公式

【典例】把1,3,6,10,15,21这些数叫作三角形数,这是因为这些数目的点可以排成一个正三角形(如图所示),则第七个三角形数是 ()A.27 B.28 C.29 【解析】选B.视察三角形数的增长规律,可以发觉每一项比它的前一项多的点数正好是本身的序号,所以依据这个规律计算即可,依据三角形数的增长规律可知第七个三角形数是1+2+3+4+5+6+7=28.如图所示的是一系列有机物的结构简图,图中的“小黑点”表示原子,两点之间的“短线”表示化学键,按图中结构,第n个图有化学键 ()A.6n个 B.(4n+2)个C.(5n-1)个 D.(5n+1)个【解析】选D.由题中图形知,各图中“短线”个数依次为6,6+5,6+5+5,…若把6看作1+5,则上述数列为1+5,1+2×5,1+3×5,…于是第n个图形有(5n+1)个化学键.角度2归纳法求通项公式

【典例】依据数列的前几项,写出数列的一个通项公式.(1)QUOTE,QUOTE,QUOTE,QUOTE,…(2)QUOTE,2,QUOTE,8,QUOTE,…(3)-1,2,-3,4,…(4)2,22,222,2222,…【思路导引】视察、分析、归纳各个数列中前几项与其序号之间的关系,把这个规律性的关系用通项公式表示出来.【解析】(1)分子均为偶数,分母分别为1×3,3×5,5×7,7×9,…是两个相邻奇数的乘积.故an=QUOTE.(2)将分母统一成2,则数列变为QUOTE,QUOTE,QUOTE,QUOTE,QUOTE,…,其各项的分子为n2,所以an=QUOTE.(3)该数列的前4项的肯定值与序号相同,且奇数项为负,偶数项为正,故an=(-1)n·n.(4)数列各项可化为:QUOTE×9,QUOTE×99,QUOTE×999,…所以通项公式为an=QUOTE(10n-1).由数列的前几项求通项公式的思路(1)先统一项的结构,如都化成分数、根式等,然后通过视察、分析、联想、比较,去发觉项与序号之间的关系.(2)假如关系不明显,可将各项同时加上或减去一个数,或分解、还原等,将规律呈现,便于找通项公式.(3)要借助一些基本数列的通项,如正整数数列、正整数的平方数列、奇数列、偶数列等.(4)符号用(-1)n或(-1)n+1来调整.(5)分式的分子、分母分别找通项,还要充分借助分子、分母的关系.(6)对于周期出现的数列,可考虑拆成几个简洁数列和的形式,或者利用周期函数,如三角函数等求通项.1.若数列{an}的前4项分别是QUOTE,-QUOTE,QUOTE,-QUOTE,则此数列的一个通项公式为an=()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选A.因为数列各项正、负相间,且奇数项为正,偶数项为负,所以可以用(-1)n+1限制,又各项的分母比数列的该项的项数大1,所以an=QUOTE.2.若数列{an}的通项公式是an=3-2n,则a2n=,QUOTE=.

【解析】因为an=3-2n,所以a2n=3-22n=3-4n,QUOTE=QUOTE=QUOTE.答案:3-4nQUOTE3.(2024·临川高一检测)在数列QUOTE中,若a1=1,且对随意的n∈N*都有an+1=an+n+1,则数列QUOTE的通项公式an=.

【解析】因为an+1=an+n+1,所以an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=n+(n-1)+…+2+1=QUOTE,(n≥2),因为a1=1=QUOTE,所以an=QUOTE.答案:QUOTE课堂检测·素养达标1.将正整数的前5个数排列如下:①1,2,3,4,5; ②5,4,3,2,1;③2,1,5,3,4; ④4,1,5,3,2.那么可以称为数列的有 ()A.① B.①②C.①②③ D.①②③④【解析】选D.数列是按“肯定依次”排列着的一列数.2.下面有三种说法:①假如已知一个数列{an}满意an+2=an+an+1,a1=1,那么可以写出这个数列的任何一项;②数列QUOTE,QUOTE,QUOTE,QUOTE,…的通项公式是an=QUOTE;③数列1,-1,1,-1,…与数列-1,1,-1,1,…是同一数列.其中正确说法的个数是 ()A.1 B.2 C.3 【解析】选D.①错误,已知an+2=an+an+1,a1=1无法写出a2;②错误,an=QUOTE;③错误,两数列是不同的数列.3.数列0.8,0.98,0.998,0.9998…的一个通项公式是an=.

【解析】0.8=1-0.2=1-QUOTE,0.98=1-0.02=1-QUOTE,0.998=1-0.002=1-QUOTE,0.9998=1-0.0002=1-QUOTE,…归纳可得an=1-QUOTE.答案:1-QUOTE4.数列QUOTE,QUOTE,QUOTE,1,QUOTE,QUOTE,…的一个通项公式为an=.

【解析】将原数列变形为QUOTE,QUOTE,QUOTE,QUOTE,QUOTE,QUOTE,…,所以an=QUOTE.答案:QUOTE5.(教材二次开发:练习改编)视察下面数列的特点,用适当的数填空,并写出每个数列的一个通项公式:(1)QUOTE,QU