2025届高考数学一轮复习第九章概率统计与统计案例第三节几何概型课时规范练文含解析北师大版

PAGE第九章概率、统计与统计案例第三节几何概型课时规范练A组——基础对点练1．某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少须要等待15秒才出现绿灯的概率为()A.eq\f(7,10) B.eq\f(5,8)C.eq\f(3,8) D.eq\f(3,10)解析：记“至少须要等待15秒才出现绿灯”为事务A，则P(A)＝eq\f(25,40)＝eq\f(5,8).答案：B2．(2024·武汉武昌区调研)在区间[0，1]上随机取一个数x，则事务“log0.5(4x－3)≥0”发生的概率为 A.eq\f(3,4) B.eq\f(2,3)C.eq\f(1,3) D.eq\f(1,4)解析：因为log0.5(4x－3)≥0，所以0<4x－3≤1，即eq\f(3,4)<x≤1，所以所求概率P＝eq\f(1－\f(3,4),1－0)＝eq\f(1,4)，故选D.答案：D3．在棱长为3的正方体ABCD－A1B1C1D1内任取一点P，则点P到正方体各面的距离都不小于1的概率为 A.eq\f(1,27) B.eq\f(26,27)C.eq\f(8,27) D.eq\f(1,8)解析：正方体中到各面的距离都不小于1的点的集合是一个中心与原正方体中心重合，且棱长为1的正方体，该正方体的体积是V1＝13＝1，而原正方体的体积为V＝33＝27，故所求的概率P＝eq\f(V1,V)＝eq\f(1,27).答案：A4．已知事务“在矩形ABCD的边CD上随机取一点P，使△APB的最大边是AB”发生的概率为eq\f(1,2)，则eq\f(AD,AB)＝ ()A.eq\f(1,2) B.eq\f(1,4)C.eq\f(\r(3),2) D.eq\f(\r(7),4)解析：由已知，点P的分界点恰好是边CD的四等分点，由勾股定理可得AB2＝(eq\f(3,4)AB)2＋AD2，解得(eq\f(AD,AB))2＝eq\f(7,16)，即eq\f(AD,AB)＝eq\f(\r(7),4)，故选D.答案：D5．在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2)))上随机取一个数x，则cosπx的值介于eq\f(\r(2),2)与eq\f(\r(3),2)之间的概率为 ()A.eq\f(1,3) B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,5) D.eq\f(1,6)解析：区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2)))的长度为1，满意cos(πx)的值介于eq\f(\r(2),2)与eq\f(\r(3),2)之间的x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)，－\f(1,6)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,6)，\f(1,4)))，区间长度为eq\f(1,6)，由几何概型概率公式得P＝eq\f(\f(1,6),1)＝eq\f(1,6).答案：D6．如图，正三角形ABC内的图形来自中国古代的太极图．正三角形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正三角形的中心成中心对称．在正三角形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是 ()A.eq\f(1,4) B.eq\f(1,2)C.eq\f(\r(3)π,18) D.eq\f(2\r(3)π,9)解析：设正三角形边长为a，则圆的半径为eq\f(\r(3)a,6)，正三角形的面积为eq\f(\r(3),4)a2，圆的面积为eq\f(πa2,12).由图形的对称性可知，太极图中黑白部分面积相等，即各占圆面积的一半．由几何概型概率的计算公式得，此点取自黑色部分的概率是eq\f(\f(1,2)·\f(πa2,12),\f(\r(3),4)a2)＝eq\f(\r(3)π,18).故选C.答案：C7．在棱长为2的正方体内部随机取一点，则该点到正方体8个顶点的距离都不小于1的概率为 ()A.eq\f(1,6) B.eq\f(5,6)C.eq\f(π,6) D．1－eq\f(π,6)解析：符合条件的点P落在棱长为2的正方体内，且以正方体的每一个顶点为球心，半径为1的eq\f(1,8)球体外；依据几何概型的概率计算公式得，P＝eq\f(23－8×\f(1,8)×π×\f(4,3)×13,23)＝1－eq\f(π,6).答案：D8．已知O，A，B三地在同一水平面内，A地在O地正东方向2km处，B地在O地正北方向2km处，某测绘队员在A，B之间的直线马路上任选一点C作为测绘点，用测绘仪进行测绘，O地为一磁场，距离其不超过eq\r(3)km的范围内会对测绘仪等电子仪器形成干扰，使测量结果不精确，则该测绘队员能够得到精确数据的概率是 ()A.eq\f(1,2) B.eq\f(\r(2),2)C．1－eq\f(\r(3),2) D．1－eq\f(\r(2),2)解析：在等腰直角三角形OAB中，以O为圆心，eq\r(3)为半径的圆截AB所得的线段长为2，而|AB|＝2eq\r(2)，故该测绘队员能够得到精确数据的概率是1－eq\f(2,2\r(2))＝1－eq\f(\r(2),2)，故选D.答案：D9．在区间[－2，4]上随机地取一个数x，若x满意|x|≤m的概率为eq\f(5,6)，则m＝________．解析：由几何概型知eq\f(5,6)＝eq\f(m－（－2）,6)，解得m＝3.答案：310．利用计算机产生0～1之间的匀称随机数a，则事务“3a－1>0解析：由题意知0≤a≤1，事务“3a－1>0”发生时，a>eq\f(1,3)且a≤1，取区间长度为测度，由几何概型的概率公式得其概率P＝eq\f(1－\f(1,3),1)＝eq\f(2,3).答案：eq\f(2,3)B组——素养提升练11．(2024·洛阳统考)在区间(0，2)内随机取一个实数a，则满意eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－y≥0，,y≥0，,x－a≤0))的点(x，y)构成区域的面积大于1的概率是 ()A.eq\f(1,8) B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,2) D.eq\f(3,4)解析：作出约束条件eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－y≥0，,y≥0，,x－a≤0))表示的平面区域如图中阴影部分所示，则阴影部分的面积S＝eq\f(1,2)×a×2a＝a2＞1，∴1＜a＜2，依据几何概型的概率计算公式得所求概率为eq\f(2－1,2－0)＝eq\f(1,2).答案：C12．(2024·湖北五校联考)已知定义在区间[－3，3]上的函数f(x)＝2x＋m满意f(2)＝6，在[－3，3]上任取一个实数x，则使得f(x)的值不小于4的概率为()A.eq\f(1,6) B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,2) D.eq\f(2,3)解析：∵f(2)＝6，∴22＋m＝6，解得m＝2.由f(x)≥4，得2x＋2≥4，∴x≥1，而x∈[－3，3]，故依据几何概型的概率计算公式，得f(x)的值不小于4的概率P＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3).答案：B13.如图所示，A是圆上肯定点，在圆上其他位置任取一点A′，连接AA′，得到一条弦，则此弦的长度小于或等于半径长度的概率为 ()A.eq\f(1,2) B.eq\f(\r(3),2)C.eq\f(1,3) D.eq\f(1,4)解析：当AA′的长度等于半径长度时，∠AOA′＝eq\f(π,3)，A′点在A点左右都可取得，故由几何概型的概率计算公式得P＝eq\f(\f(2π,3),2π)＝eq\f(1,3).答案：C14．已知正棱锥S­ABC的底面边长为4，高为3，在正棱锥内任取一点P，使得VP­ABC＜eq\f(1,2)VS­ABC的概率是 ()A.eq\f(3,4) B.eq\f(7,8)C.eq\f(1,2) D.eq\f(1,4)解析：由题意知，当点P在三棱锥的中截面以下时，满意VP­ABC＜eq\f(1,2)VS­ABC，故使得VP­ABC＜eq\f(1,2)VS­ABC的概率P＝eq\f(大三棱锥的体积－小三棱锥的体积,大三棱锥的体积)＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(3)＝eq\f(7,8).答案：B15．在区间[－π，π]内随机取两个数分别记为a，b，则使得函数f(x)＝x2＋2ax－b2＋π有零点的概率为 ()A.eq\f(7,8) B.eq\f(3,4)C.eq\f(1,2) D.eq\f(1,4)解析：建立如图所示的平面直角坐标系，则试验的全部结果构成的区域为正方形ABCD及其内部．要使函数f(x)＝x2＋2ax－b2＋π有零点，则必需有Δ＝4a2－4(－b2＋π)≥0，即a2＋b2≥π，其表示的区域为图中阴影部分．故所求概率P＝eq\f(S阴影,S正方形)＝