2024-2025学年高中数学第一章常用逻辑用语1.3全称量词与存在量词学案含解析北师大版选修2-11

PAGE§3全称量词与存在量词学问点一全称量词与全称命题的定义[填一填](1)在命题的条件中，“全部”“每一个”“任何”“随意一条”“一切”等都是在指定范围内，表示整体或全部的含义，这样的词叫作全称量词，像这样含有全称量词的命题叫作全称命题．(2)在某些全称命题中，有时全称量词可以省略．[答一答]将下列不含全称量词的全称命题改写成含有全称量词的命题．(1)不共线的三点确定一个平面；(2)平行线不相交；(3)对顶角相等．提示：(1)随意不共线的三点都可以确定一个平面．(2)随意两条平行线都不相交．(3)每一组对顶角都相等．学问点二存在量词与特称命题的定义[填一填]在命题中，“有些”“至少有一个”“有一个”“存在”等都有表示个别或一部分的含义，这样的词叫作存在量词，像这样含有存在量词的命题，叫作特称命题．[答一答]下列各命题中含有的量词分别是什么？(1)随意实数的平方都是正数；(2)0乘以任何数都等于0；(3)任何一个实数都有相反数；(4)△ABC的内角中有小于60°的角．提示：(1)随意(2)任何(3)任何(4)有学问点三全称命题、特称命题的否定形式[填一填](1)要说明一个全称命题是错误的，只需找出一个反例就可以了．事实上是要说明这个全称命题的否定是正确的．全称命题的否定是特称命题．(2)要说明一个特称命题“存在一些对象满意某一性质”是错误的，就要说明全部的对象都不满意这一性质．事实上是要说明这个特称命题的否定是正确的．特称命题的否定是全称命题．[答一答]1．命题的否定和否命题的区分与联系．提示：命题的否定是只否定命题的结论，而否命题是条件和结论同时否定，原命题和命题的否定必需一真一假，原命题和否命题没有固定的真假关系．2．如何写出含有量词的命题的否定，原先的命题与它的否定在形式上有何改变？提示：写含有量词的否定，不只是否定命题的结论，还要把全称量词改为存在量词或把存在量词改为全称量词．1．关于全称量词和全称命题的几个留意点：(1)全称量词往往有肯定的限制范围，该范围干脆影响着全称命题的真假．若对于给定范围x∈M内的一切值，全称命题成立，则全称命题为真命题．若能举出反例，则为假命题．(2)有的命题省去全称量词，仍是全称命题．如“有理数都是实数”就省去了全称量词“全部”．因此，要判定一个命题是否是全称命题，除看它是否含有全称量词外，还要结合详细意义．(3)在全称命题中，可以包括多个变量．如：对随意a，b∈R，(a＋b)(a2－ab＋b2)＝a3＋b3.全称命题为真，意味着对限定集合中的每一个元素都具有某种性质，使所给语句为真．当然，当a＝3，b＝5时，上式自然是正确的．2．特称命题的真假判定：要判定一个特称命题为真，只要在限定集合M中，能找到一个元素，使特称命题成马上可；否则，这一特称命题为假．3．常见量词的否定形式：类型一全称命题、特称命题的推断【例1】推断下列命题哪些是全称命题，哪些是特称命题．(1)对随意x∈R，x2>0；(2)有些无理数的平方也是无理数；(3)正四面体的各面都是正三角形；(4)存在x＝1，使方程x2＋x－2＝0；(5)对随意x∈{x|x>－1},3x＋4>0成立；(6)存在a＝1且b＝2，使a＋b＝3成立．【思路探究】先视察命题中所含的量词，依据量词的意义来推断命题的类别．不含量词的命题要留意结合命题的语境进行分析．【解】(1)(5)含全称量词“随意”，(3)虽不含有量词，但其本义是全部正四面体的各面都是正三角形．故(1)(3)(5)为全称命题；(2)(4)(6)为特称命题，分别含有存在量词“有些”“存在”“存在”．规律方法推断一个命题是全称命题还是特称命题时，须要留意以下两点：(1)若命题中含有量词，则干脆推断所含量词是全称量词还是存在量词；(2)若命题中不含有量词，则要依据命题的实际意义进行推断．推断下列语句是否是全称命题或特称命题．(1)有一个实数a，a不能取对数．(2)全部不等式的解集A，都有A⊆R.(3)三角函数都是周期函数吗？(4)有的向量方向不定．(5)自然数的平方是正数．解：因为(1)(4)含有存在量词，所以命题(1)(4)为特称命题．又因为“自然数的平方是正数”的实质是“随意一个自然数的平方都是正数”，所以(2)(5)均为全称命题．(3)是疑问句，不是命题．综上所述，(1)(4)为特称命题，(2)(5)为全称命题，(3)不是命题．类型二全称命题、特称命题的否定形式【例2】推断下列命题的真假，并写出这些命题的否定．(1)三角形的内角和为180°；(2)每个二次函数的图像都开口向下；(3)存在一个四边形不是平行四边形．【思路探究】全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题．【解】(1)是全称命题且为真命题．命题的否定是：三角形的内角和不全为180°，即存在一个三角形且它的内角和不等于180°.(2)是全称命题且为假命题．命题的否定是：存在一个二次函数的图像开口不向下．(3)是特称命题且为真命题．命题的否定是：全部的四边形都是平行四边形．规律方法解题时要留意存在量词、全称量词的不同表示形式．特称命题p：存在x∈A，p(x)，其否定为：随意x∈A，非p(x)；全称命题q：随意x∈A，q(x)，其否定为：存在x∈A，非q(x)．推断下列命题是全称命题还是特称命题，并写出其否定形式．(1)有理数都能写成分数的形式；(2)方程x2＋2x＋8＝0有实数解；(3)有一个素数是偶数；(4)对随意m∈Z，都有m2－3>0成立．解：(1)是全称命题，省略了全称量词“随意一个”，即“随意一个有理数都能写成分数的形式”，命题的否定为：存在一个有理数不能写成分数的形式，为假命题．(2)是特称命题，即“存在实数x，使方程x2＋2x＋8＝0成立”，命题的否定为：对随意实数x，方程x2＋2x＋8＝0不成立，为真命题．(3)是特称命题，即“存在一个素数是偶数”，命题的否定为：全部的素数都不是偶数，为假命题(2是素数，也是偶数)．(4)命题中含有全称量词“随意”，所以是全称命题；否定形式：存在m∈Z，使m2－3≤0成立．类型三利用全称命题、特称命题求参数的取值范围【例3】对于满意0≤p≤4的一切实数，不等式x2＋px>4x＋p－3恒成立，试求x的取值范围．【思路探究】本题看上去是一个不等式的问题，但是经过等价转化，确定适当的变量和参数，把它转化为一个简洁的一次函数，并借助函数图像建立一个关于x的不等式组，从而求得x的取值范围．【解】不等式x2＋px>4x＋p－3恒成立，即(x－1)p＋x2－4x＋3>0恒成立，构造函数f(p)＝(x－1)p＋x2－4x＋3.当x＝1时，f(p)＝0，不满意f(p)>0，∴f(p)表示p的一次函数．∵p∈[0,4]，∴函数f(p)的图像是一条线段，要使f(p)>0在[0,4]上恒成立，需满意eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f0>0，,f4>0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－4x＋3>0，,x－1·4＋x2－4x＋3>0，))解得x<－1或x>3.所以x的取值范围是(－∞，－1)∪(3，＋∞)．规律方法全称命题的考查在试题中常常出现，如：“恒成立”问题就属于这一题型．其命题方憧憬往是求式子中某个参数的取值范围．而特称命题常常以适合某种条件的结论“存在”“不存在”“是否存在”，求出相应的参数的取值范围．解题时的依据是：“假设存在，利用条件进行推理论证，若导出合理结论，则存在性随之解决；若导致冲突，则可否定存在性．”已知二次函数f(x)＝ax2＋x.对于随意x∈[0,1]，|f(x)|≤1成立，试求实数a的取值范围．解：|f(x)|≤1⇔－1≤f(x)≤1⇔－1≤ax2＋x≤1，x∈[0,1]．①当x＝0时，a≠0，①式明显成立；当x∈(0,1]时，①式化为－eq\f(1,x2)－eq\f(1,x)≤a≤eq\f(1,x2)－eq\f(1,x)在x∈(0,1]上恒成立．设t＝eq\f(1,x)，则t∈[1，＋∞)，则有－t2－t≤a≤t2－t，所以只需eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a≥－t2－tmax＝－2，,a≤t2－tmin＝0，))⇒－2≤a≤0，又a≠0，故－2≤a<0.综上，所求实数a的取值范围是[－2,0)．——规范解答——依据全称命题、特称命题的真假确定参数范围【例4】若命题“存在x0∈R，使axeq\o\al(2,0)＋2x0＋a<0成立”是真命题，求实数a的取值范围．【思路分析】解决本题的关键是将已知的特称命题是真命题转化为相应的函数在x轴下方肯定有图象，这是函数思想的应用．【解】设函数f(x)＝ax2＋2x＋a，原命题为真等价于函数f(x)在x轴下方有图象．当a＝0时，f(x)＝2x，满意题意；当a<0时，二次函数f(x)的图象是开口向下的抛物线，在x轴下方肯定有图象，满意题意；当a>0时，只需4－4a2>0，所以0<a<1.综上，实数a的取值范围是(－∞，1)．(1)若命题“对于随意实数x，不等式sinx＋cosx>m恒成立”是真命题，求实数m的取值范围；(2)若命题“存在实数x，使不等式sinx＋cosx>m有解”是真命题，求实数m的取值范围．解：(1)令y＝sinx＋cosx，x∈R，∵y＝sinx＋cosx＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))≥－eq\r(2)，又∵随意x∈R，sinx＋cosx>m恒成立，∴只要m<－eq\r(2)即可．∴所求m的取值范围是(－∞，－eq\r(2))．(2)令y＝sinx＋cosx，x∈R，∵y＝sinx＋cosx＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))∈[－eq\r(2)，eq\r(2)]．又∵存在x∈R，使sinx＋cosx>m有解，∴只要m<eq\r(2)即可，∴所求m的取值范围是(－∞，eq\r(2))．1．下列特称命题是真命题的是(B)A．存在x∈R，使x2<0B．有的三角形是等边三角形C．有的偶数不能被2整除D．平面内存在一个四边形的内角和小于360°解析：A，C，D均为假命题，B是真命题．2．给出下列四个命题：①对随意的x∈R，x2>0；②存在x∈R，使得x2≤x成立；③对于集合M，N，若x∈M∩N，则x∈M且x∈N；④存在α，β∈R，使tan(α＋β)＝tanα＋tanβ.其中真命题的个数是(D)A．0 B．1C．2 D．3解析：存在x＝0，使x2＝0，故①是假命题；明显②③④都是真命题．3．命题“某些平行四边形是矩形”的否定是(C)A．某些平行四边形不是矩形B．每一个平行四边形都是矩形C．每一个平行四边形都不是矩形D．以上都不对解析：先否定结论，再把量