2025届高考数学一轮复习第八章平面解析几何第九节第1课时最值范围证明问题课时规范练理含解析新人教版

PAGE第1课时最值、范围、证明问题[A组基础对点练]1．已知抛物线C：x2＝2py(p＞0)，圆O：x2＋y2＝1.(1)若抛物线C的焦点F在圆O上，且A为抛物线C和圆O的一个交点，求|AF|；(2)若直线l与抛物线C和圆O分别相切于点M，N，求|MN|的最小值及相应p的值．解析：(1)由题意得F(0，1)，从而抛物线C：x2＝4y.解方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＝4y，,x2＋y2＝1))得y＝－2±eq\r(5).不妨设yA＝eq\r(5)－2，∴|AF|＝eq\r(5)－1.(2)设M(x0，y0)(y0＞0)，则切线l：y＝eq\f(x0,p)(x－x0)＋y0，结合xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0))＝2py0，整理得x0x－py－py0＝0.由ON⊥l且|ON|＝1得eq\f(|－py0|,\r(xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0))＋p2))＝1，即|py0|＝eq\r(xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0))＋p2)＝eq\r(2py0＋p2)，∴p＝eq\f(2y0,yeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0))－1)且yeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0))－1＞0.∴|MN|2＝|OM|2－1＝xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0))＋yeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0))－1＝2py0＋yeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0))－1＝eq\f(4yeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0)),yeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0))－1)＋yeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0))－1＝4＋eq\f(4,yeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0))－1)＋(yeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0))－1)≥8，当且仅当y0＝eq\r(3)时等号成立．∴|MN|的最小值为2eq\r(2)，此时p＝eq\r(3).2．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的离心率为eq\f(2\r(2),3)，直线l和椭圆C交于A，B两点，当直线l过椭圆C的焦点，且与x轴垂直时，|AB|＝eq\f(2,3).(1)求椭圆C的方程；(2)设直线l过点(1，0)且倾斜角为钝角，P为弦AB的中点，当∠OPB最大时，求直线l的方程．解析：(1)由题意知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)＝\f(2\r(2),3)，,\f(2b2,a)＝\f(2,3)，,a2＝b2＋c2，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2＝9，,b2＝1.))所以椭圆C的方程为eq\f(x2,9)＋y2＝1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线l：y＝k(x－1)(k＜0).联立得方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x2,9)＋y2＝1，,y＝k（x－1），))消去y，得(9k2＋1)x2－18k2x＋9k2－9＝0，故x1＋x2＝eq\f(18k2,9k2＋1).故P(x0，y0)，则x0＝eq\f(x1＋x2,2)＝eq\f(9k2,9k2＋1)，y0＝k(x0－1)＝keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9k2,9k2＋1)－1))＝－eq\f(k,9k2＋1)，所以直线OP的斜率kOP＝eq\f(y0,x0)＝－eq\f(1,9k).设直线l，OP的倾斜角分别为α，β，则∠OPB＝α－β，tan∠OPB＝tan(α－β)＝eq\f(tanα－tanβ,1＋tanαtanβ)＝eq\f(9,8)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(k＋\f(1,9k))).因为k＜0，所以－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(k＋\f(1,9k)))＝(－k)＋eq\f(1,－9k)≥2eq\r(（－k）·\f(1,－9k))＝eq\f(2,3)，即k＋eq\f(1,9k)≤－eq\f(2,3)，所以tan∠OPB≤－eq\f(3,4)，当且仅当k＝－eq\f(1,3)时，等号成立，所以当∠OPB最大时，直线l的斜率k＝－eq\f(1,3)，此时直线l的方程为x＋3y－1＝0.[B组素养提升练]1．已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，A为C上位于第一象限的随意一点，过点A的直线l交C于另一点B，交x轴的正半轴于点D.(1)若当点A的横坐标为3，且△ADF为等边三角形，求C的方程；(2)对于(1)中求出的抛物线C，若点D(x0，0)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0≥\f(1,2)))，记点B关于x轴的对称点为E，AE交x轴于点P，且AP⊥BP，求证：点P的坐标为(－x0，0)，并求点P到直线AB的距离d的取值范围．解析：(1)由题知Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))，|FA|＝3＋eq\f(p,2)，则D(3＋p，0)，FD的中点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)＋\f(3p,4)，0))，则eq\f(3,2)＋eq\f(3p,4)＝3，解得p＝2，故C的方程为y2＝4x.(2)证明：依题可设直线AB的方程为x＝my＋x0(m≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则E(x2，－y2)，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y2＝4x，,x＝my＋x0))消去x，得y2－4my－4x0＝0，因为x0≥eq\f(1,2)，所以Δ＝16m2＋16x0＞0，y1＋y2＝4m，y1y2＝－4x0设P的坐标为(xP，0)，则eq\o(PE,\s\up6(→))＝(x2－xp，－y2)，eq\o(PA,\s\up6(→))＝(x1－xP，y1)，由题知eq\o(PE,\s\up6(→))∥eq\o(PA,\s\up6(→))，所以(x2－xP)y1＋y2(x1－xP)＝0，即x2y1＋y2x1＝(y1＋y2)xP＝eq\f(yeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))y1＋yeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))y2,4)＝eq\f(y1y2（y1＋y2）,4)，明显y1＋y2＝4m≠0，所以xp＝eq\f(y1y2,4)＝－x0，即证P(－x0，0)，由题知△EPB为等腰直角三角形，所以kAE＝1，即eq\f(y1＋y2,x1－x2)＝1，也即eq\f(y1＋y2,\f(1,4)（yeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))－yeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))）)＝1，所以y1－y2＝4，所以(y1＋y2)2－4y1y2＝16.即16m2＋16x0＝16，m2＝1－x0，x0＜1，又因为x0≥eq\f(1,2)，所以eq\f(1,2)≤x0＜1，d＝eq\f(|－x0－x0|,\r(1＋m2))＝eq\f(2x0,\r(1＋m2))＝eq\f(2x0,\r(2－x0))，令eq\r(2－x0)＝t∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(1，\f(\r(6),2)))，x0＝2－t2，d＝eq\f(2（2－t2）,t)＝eq\f(4,t)－2t，易知f(t)＝eq\f(4,t)－2t在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(1，\f(\r(6),2)))上是减函数，所以d∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),3)，2)).2．已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的离心率为eq\f(\r(3),2)，右焦点为F，且该椭圆过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－\f(\r(3),2))).(1)求椭圆C的方程；(2)当动直线l与椭圆C相切于点A，且与直线x＝eq\f(4\r(3),3)相交于点B时，求证：△FAB为直角三角形．解析：(1)由题意得eq\f(c,a)＝eq\f(\r(3),2)，eq\f(1,a2)＋eq\f(3,4b2)＝1，又a2＝b2＋c2，解得b2＝1，所以a2＝4，即椭圆C的方程为eq\f(x2,4)＋y2＝1.(2)证明：由题意可得直线l的斜率存在，设l：y＝kx＋m，联立得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋m,\f(x2,4)＋y2＝1))，得(4k2＋1)x2＋8kmx＋4m2－4＝0，判别式Δ＝64k2m2－16(4k2＋1)(m2－1)＝0，得m2＝4k2＋1＞0.设A(x1，y1)，则x1＝eq\f(－8km,2（4k2＋1）)＝eq\f(－8km,2m2)＝－eq\f(4k,m)，y1＝kx1＋m＝eq\f(－4k2,m)＋m＝eq\f(1,m)，即Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4k,m)，\f(1,m))).易得Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4\r(3),3)，\f(4\r(3),3)k＋m))，F(eq\r(3)，0)，则eq\o(FA,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4k,m)－\r(3)，\f(1,m)))，eq\o(FB,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，\f(4\r(3),3)k＋m))，eq\o(FA,\s\up6(→))·eq\o(FB,\s\up6(→))＝