2024-2025学年高考数学一轮复习讲义(新高考)第03讲导数与函数的极值、最值(含新定义解答题)(分层精练)(学生版+解析)

6．（2023高二上·江苏·专题练习）已知函数，存在最小值，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．7．（2024·河南·一模）已知函数的导函数为，且，则的极值点为（

）A．或 B． C．或 D．8．（23-24高二下·吉林通化·阶段练习）已知函数其中，，若对任意，恒成立，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．二、多选题9．（23-24高二上·湖南长沙·期末）已知函数的导函数的图象如图所示，下列说法正确的是（

）

A．函数在上单调递增 B．函数在上单调递减C．函数在处取得极大值 D．函数有最大值10．（23-24高三下·湖南长沙·阶段练习）已知函数，则下列说法正确的有A．有唯一零点B．无最大值C．在区间上单调递增D．为的一个极小值点三、填空题11．（23-24高二下·四川遂宁·阶段练习）已知函数在处取得极值5，则.12．（23-24高二下·天津滨海新·阶段练习）已知函数，若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是.四、解答题13．（2024高三·全国·专题练习）已知函数f(x)＝ax2－2bx－clnx＋2b.(1)若a＝1，b＝0，c＝2，求f(x)在[，e]上的最值；(2)若a＝0，c＝－1，求函数f(x)在[1，2]上的最大值．14．（2024·内蒙古赤峰·一模）已知函数.(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)当时，求函数的单调递增区间；(3)若函数在区间上只有一个极值点，求a的取值范围.B能力提升1．（23-24高二下·江苏南京·开学考试）设，若函数有极值点，则的取值范围为（

）A． B． C． D．2．（2024·陕西咸阳·二模）已知函数，若是函数的唯一极小值点，则的取值范围为（

）A． B． C． D．3．（2024·内蒙古呼和浩特·一模）在区间上，函数存在单调递增区间，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．4．（23-24高二下·江苏苏州·阶段练习）若存在，使得不等式成立，则实数m的最大值为（

）A． B． C．4 D．5．（2024·云南·一模）已知在上只有一个极值点，则实数的取值范围为.6．（2023·全国·模拟预测）已知对于任意正数，恒成立，则正数的取值范围为．C综合素养（新定义解答题）1．（23-24高三上·上海黄浦·期中）设函数与的定义域均为，若存在，满足且，则称函数与“局部趋同”．(1)判断函数与是否“局部趋同”，并说明理由；(2)已知函数．求证：对任意的正数，都存在正数，使得函数与“局部趋同”；(3)对于给定的实数，若存在实数，使得函数与“局部趋同”，求实数的取值范围．第03讲导数与函数的极值、最值(分层精练）A夯实基础B能力提升C综合素养（新定义解答题）A夯实基础一、单选题1．（2024高三·全国·专题练习）函数f（x）＝x－lnx的（）A．极大值为1 B．极小值为1C．极小值为－1 D．极小值为e－1【答案】B【解析】略2．（23-24高三上·黑龙江·阶段练习）如图是函数的导函数的图象，下列结论正确的是（

）

A．在处取得极大值 B．是函数的极值点C．是函数的极小值点 D．函数在区间上单调递减【答案】C【分析】根据导函数的正负即可求解的单调性，即可结合选项逐一求解.【详解】由图象可知：当时，单调递减，当时，单调递增，故是函数的极小值点，无极大值.故选：C3．（20-21高二上·陕西渭南·期末）已知函数的定义域为，且其导函数在内的图像如图所示，则函数在区间内的极大值点的个数为（

）

A．3 B．2 C．1 D．0【答案】C【分析】结合图象，根据导数大于零，即导函数的图象在轴上方，说明原函数在该区间上是单调递增，否则为减函数，极大值点两侧导数的符号，从左往右，先正后负，因此根据图象即可求得极大值点的个数．【详解】结合函数图象，根据极大值的定义可知在该点处从左向右导数符号先正后负，结合图象可知，函数在区间的极大值点只有.故选：C.4．（21-22高二下·四川成都·期中）函数在[0，3]上的最大值为（

）A．－2 B． C．－1 D．1【答案】B【分析】求导，由导函数求出单调性，从而确定极大值，再求出端点值，比较得到最大值.【详解】，令得：或，令得：，故在上单调递减，在上单调递增，所以在处取得极大值，，又，故在[0，3]上的最大值为.故选：B5．（23-24高二下·四川遂宁·阶段练习）若函数在区间上存在最值，则的取值范围是（

）A． B． C． D．或【答案】C【分析】借助导数研究函数单调性即可得其在何处取得最值，即可得解.【详解】，则当时，，当时，，即在上单调递减，在上单调递增，即在处取得最值，则有，解得.故选：C.6．（2023高二上·江苏·专题练习）已知函数，存在最小值，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用导数讨论函数的性质，作出函数图形，由题意，结合图形可得，即可求解.【详解】，，令得，且时，；时，，时，，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，又，令时，解得或，所以其图象如下：由图可知，时存在最小值，所以，解得，即实数a的取值范围为.故选：7．（2024·河南·一模）已知函数的导函数为，且，则的极值点为（

）A．或 B． C．或 D．【答案】D【分析】先对函数求导，先后代入和，确定函数的解析式，再通过导函数的符号确定函数的极小值点即可.【详解】对进行求导，可得，将代入整理，①将代入可得，即，将其代入①，解得：，故得.于是，由可得或，因，故当时，，当时，，即是函数的极小值点，函数没有极大值.故选：D.8．（23-24高二下·吉林通化·阶段练习）已知函数其中，，若对任意，恒成立，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由题意不等式成立转化为，利用导数求最值解不等式即可.【详解】由于，，，，，，即，在上单调递增，由任意的，都有成立，所以，即，，，又，得，则实数的取值范围为，故选：D．二、多选题9．（23-24高二上·湖南长沙·期末）已知函数的导函数的图象如图所示，下列说法正确的是（

）

A．函数在上单调递增 B．函数在上单调递减C．函数在处取得极大值 D．函数有最大值【答案】BC【分析】根据导数符号与原函数单调性之间的关系可得的单调性，进而逐项分析判断.【详解】由题意可知：当时，（不恒为0）；当时，；所以在上单调递减，在上单调递增.可知：A错误；B正确；且函数在处取得极大值，故C正确；虽然确定的单调性，但没有的解析式，故无法确定的最值，故D错误；故选：BC.10．（23-24高三下·湖南长沙·阶段练习）已知函数，则下列说法正确的有A．有唯一零点B．无最大值C．在区间上单调递增D．为的一个极小值点【答案】BCD【分析】求出函数的零点判断A；利用导数探讨函数在上的取值情况判断B；利用导数探讨单调性及极值情况判断CD.【详解】对于A，依题意，，即和是函数的零点，A错误；对于B，当时，令，求导得，函数在上递增，当时，，而在上递增，值域为，因此当时，，则无最大值，B正确；对于C，，令，求导得，当时，令，则，即在上递增，，则在上递增，，因此在上递增，即在上单调递增，C正确；对于D，当时，，求导得，显然函数在上递增，而，则存在，使得，当时，，函数在上单调递增，则，即当时，，则，又，因此为的一个极小值点，D正确.故选：BCD【点睛】方法点睛：函数零点的求解与判断方法：①直接求零点：令，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．②零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间上是连续不断的曲线，且，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．③利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．三、填空题11．（23-24高二下·四川遂宁·阶段练习）已知函数在处取得极值5，则.【答案】【分析】由极值及极值点的定义可得、，计算即可得.【详解】，则有，解得，，解得，故.故答案为：.12．（23-24高二下·天津滨海新·阶段练习）已知函数，若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是.【答案】【分析】根据给定条件，求出函数在上的最小值即可得解.【详解】函数，求导得，当时，，因此函数在上单调递增，，由不等式在上恒成立，得，所以实数的取值范围是.故答案为：四、解答题13．（2024高三·全国·专题练习）已知函数f(x)＝ax2－2bx－clnx＋2b.(1)若a＝1，b＝0，c＝2，求f(x)在[，e]上的最值；(2)若a＝0，c＝－1，求函数f(x)在[1，2]上的最大值．【答案】(1)最大值为e2－2，最小值为1(2)答案见解析【详解】解：(1)由已知，得f(x)＝x2－2lnx，所以f′(x)＝2x－＝.当x∈(，1)时，f′(x)＜0，则f(x)单调递减；当x∈(1，e)时，f′(x)＞0，则f(x)单调递增，所以f(x)min＝f(1)＝1.又f()＝－2ln＝＋2，f(e)＝e2－2＞＋2，所以f(x)max＝f(e)＝e2－2，即f(x)在[，e]上的最大值为e2－2，最小值为1.(2)由已知得f(x)＝lnx－2bx＋2b，则f′(x)＝－2b＝.当b≤0时，x∈(0，＋∞)时，f′(x)＞0，函数f(x)单调递增，故b≤0时，函数f(x)在[1，2]上的最大值为f(2)＝ln2－2b；当b＞0时，x∈(0，)时，f′(x)＞0，函数f(x)单调递增，x∈(，＋∞)时，f′(x)＜0，函数f(x)单调递减．当≤1，即b≥时，f(x)在[1，2]上单调递减，最大值为f(1)＝0；当≥2，即b≤时，f(x)在[1，2]上单调递增，最大值为f(2)＝ln2－2b；当1＜＜2，即＜b＜时，f(x)在[1，)上单调递增，[，2]上单调递减，最大值为f()＝2b－ln2b－1.综上，所以当b≤时，f(x)在[1，2]上的最大值为f(2)＝ln2－2b；当＜b＜时，f(x)在[1，2]上的最大值为f()＝2b－ln2b－1；当b≥时，f(x)在[1，2]上的最大值为f(1)＝0.【考查意图】利用导数求函数的最值．14．（2024·内蒙古赤峰·一模）已知函数.(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)当时，求函数的单调递增区间；(3)若函数在区间上只有一个极值点，求a的取值范围.【答案】(1)(2)单调递增区间为，(3)【分析】（1）根据题意，求导得，由导数的几何意义即可得到结果；（2）根据题意，求导得，求解不等式，即可得到结果；（3）方法Ⅰ：将函数极值点问题转化为零点问题，然后分，与讨论，即可得到结果；方法Ⅱ：将问题转化为函数交点问题，再结合二次函数的性质，即可得到结果.【详解】（1）当时，，则，所以，，，故当时，曲线在点处的切线方程为，即.（2）当时，，该函数的定义域为，，由，即，解得或，因此，当时，函数的单调递增区间为，（3）法Ⅰ：因为，则，令，因为函数在上有且只有一个极值点，则函数在上有一个异号零点，当时，对任意的，恒成立，无零点，故不符合题意；当时，函数在上单调递增，因为，只需，故符合题意；当时，函数的图象开口向下，对称轴为直线，因为，只需，故不符合题意，舍去综上所述，实数a的取值范围是.法Ⅱ：令，则有根，令，设，，又函数对称轴为，则时，单调递增，所以，即，.B能力提升1．（23-24高二下·江苏南京·开学考试）设，若函数有极值点，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据函数存在极值点的条件得到方程，参变分离后即可求得范围.【详解】因为，所以，若函数有极值点，则有解，方程化为，故选：A.2．（2024·陕西咸阳·二模）已知函数，若是函数的唯一极小值点，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】求导后令，再求，分及讨论的正负，从而得到的单调性与对应极值点即可得解.【详解】，令，则，当时，，故单调递增，又，故当时，，当时，，故在上单调递减，在上单调递增，故是函数的唯一极小值点，符合题意，当时，，故一定存在，使在上单调递减，此时不是函数的极小值点，故时不符合题意，综上所述，的取值范围为.故选：A.【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是对这一种情况的处理，利用推得不是函数的极小值点，从而得解.3．（2024·内蒙古呼和浩特·一模）在区间上，函数存在单调递增区间，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据给定条件，利用导数结合函数单调性建立不等式，再构造函数求出函数最大值即得.【详解】函数，求导得，依题意，不等式在上有解，即在上有解，令，，求导得，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，当时，，因此，所以实数的取值范围是.故选：C4．（23-24高二下·江苏苏州·阶段练习）若存在，使得不等式成立，则实数m的最大值为（

）A． B． C．4 D．【答案】A【分析】求出在有解，构造函数，根据函数的单调性求出的最大值即可．【详解】由存在，使得不等式成立得：故答案为：.6．（2023·全国·模拟预测）已知对于任意正数，恒成立，则正数的取值范围为．【答案】【分析】将不等式同构为：，即，构造函数分析单调性，只需比较与的大小即可.【详解】不等式，由于，两边同乘，可得：，即，构造函数，其导函数为，所以函数在上单调递增，由，得，因此，即，则恒成立，令函数，求导得，当时，，单调递减；当时，，单调递增，，因此，则，所以正数的取值范围为.故答案是：C综合素养（新定义解答题）1．（23-24高三上·上海黄浦·期中）设函数与的定义域均为，若存在，满足且，则称函数与“局部趋同”．(1)判断函数与是否“局部趋同”，并说明理由；(2)已知函数．求证：对任意的正数，都存在正数，使得函数与“局部趋同”；(3)对于给定的实数，若存在实数，使得函数与“局部趋同