人教版2024-2025学年八年级数学专题12.3全等三角形(压轴题综合测试卷)专题特训(学生版+解析)

专题12.3全等三角形（满分120）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________题号一二三总分得分评卷人得分一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）1．（23-24八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，方格纸中△DEF的三个顶点分别在小正方形的顶点上，像这样的三个顶点都在格点上的三角形有格点三角形，则图中与△DEF全等的格点三角形有（

）个．A．10 B．11 C．12 D．132．（22-23八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，已知点D在AC上，点B在AE上，△ABC≌△DBE，且∠BDA=∠A，若∠A:∠C=4:3．则∠DBC等于（

）

A．36° B．24° C．12° D．15°3．（23-24七年级下·江苏南通·期末）如图，△ABC中，∠A=24°，△DEF中，∠F=66°，BC，EF边上的高相等，若AC=DF，则∠B的度数为（

）A．30° B．42° C．45° D．60°4．（23-24八年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，正方形ABCD的顶点B在直线l上，将直线l向上平移线段AB的长得到直线m，直线m分别交AD，CD于点E，F，若求△DEF的周长，则只需知道（

）A．AB的长 B．EF的长 C．DE的长 D．DF的长5．（23-24八年级上·重庆渝北·阶段练习）如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，∠ABC的平分线BD交AC于点D，CE⊥BD，交BD的延长线于点E，若BD=8，则CE长为（

）A．2 B．3 C．4 D．56．（23-24八年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，OA=OC，OB=OD且OA⊥OB，OC⊥OD，有下列结论：①△AOD≌△COB；②CD=AB；③∠CDA=∠ABC．其中正确的结论是（A．①② B．①②③ C．①③ D．②③7．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，分别以AB、AC、BC为边长在AB同侧作三个正方形，点I落在边GF上，若要求图中阴影部分的面积之和，则只需知道下列哪个图形的面积？该图形是（

A．△BCN B．△ABC C．△BHM D．正方形ABHI8．（23-24八年级上·湖北·周测）已知AB=10，AC=6，BD=8，其中∠CAB=∠DBA=α．点P以每秒2个单位长度的速度，沿着C→A→B路径运动．同时，点Q以每秒x个单位长度的速度，沿着D→B→A路径运动，一个点到达终点后另一个点随即停止运动．它们的运动时间为t秒．①若x=1，则点P运动路程始终是点Q运动路程的2倍；②当P、Q两点同时到达A点时，x=6；③若α=90°，t=5，x=1时，PC与PQ垂直；以上说法正确的选项为（

）

A．① B．①② C．①②③ D．①③9．（23-24八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在锐角三角形ABC中，AH是BC边上的高，分别以AB，AC为一边，向外作正方形ABDE和ACFG（正方形四条边都相等，四个角都是直角），连接CE，BG和EG，EG与HA的延长线交于点M，下列结论：①BG=CE；②BG⊥CE；③AM是A．1个 B．2个 C．3个 D．4个10．（23-24八年级上·山东济南·期末）如图，在△ABC中，BE，CE，CD分别平分∠ABC，∠ACB，∠ACF，AB∥CD，下列结论：①∠BDC=∠BAC；②∠BEC=90°+∠ABD；③∠CAB=∠CBA；④

A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④评卷人得分二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分）11．（23-24八年级上·江苏泰州·期末）如图，点B、E在CF上，且△ABC≌△DEF，若CF=8，BE=4，则CE的长为12．（22-23八年级上·湖北武汉·期中）在如图所示的3×3正方形网格中，∠1+∠2+∠3=度．13．（23-24八年级上·四川德阳·期末）如图，在∠AOB的边OA，OB上取点M，N，连接MN，PM平分∠AMN，PN平分∠MNB，若MN=2，△PMN的面积是2，△OMN的面积是8，则△OMN的周长是．14．（23-24八年级上·江苏常州·阶段练习）如图，在△ADE和△ABC中，∠E=∠C，DE=BC，EA=CA，过A作AF⊥DE，垂足为F，DE交CB的延长线于点G，连接AG．四边形DGBA的面积为12，AF=4，则FG的长是．

15．（22-23七年级下·江苏盐城·期末）已知：△ABC中，∠ACB=90°，AC=CB，D为射线CB上一动点，连接AD，在直线AC右侧作AE⊥AD，且AE=AD．连接BE交直线AC于M，若2AC=7CM，则S△ADBS△AEM

评卷人得分三、解答题（本大题共8小题，满分75分）1．（6分）（2024·山西晋中·三模）如图，已知锐角△ABG，AD为BC边上的高．（1）尺规作图：作∠ABC的平分线交AD于点E，交AC于点F；（2）在作出符合条件的（1）的图中，若BE=AC，∠ABC=45°，求证：17．（6分）（2024·江苏盐城·中考真题）已知：如图，点A、B、C、D在同一条直线上，AE∥BF，若________，则AB=CD．请从①CE∥DF；②CE=DF；③∠E=∠F这3个选项中选择一个作为条件（写序号），使结论成立，并说明理由．18．（8分）（22-23八年级上·浙江台州·阶段练习）如图，△ABC中，点D在BC边上，∠BAD=100°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作EF⊥AB，垂足为F，且∠AEF=50°，连接DE．

（1）求∠CAD的度数；（2）求证：DE平分∠ADC；（3）若AB=6，AD=4，CD=8，且S△ACD=18，求19．（9分）（23-24八年级上·浙江金华·阶段练习）如图①，在Rt△ABC中，∠B=90°,AB=12cm,BC=16cm,AC=20cm，现有一动点P，从点A出发，沿着三角形的边AB→BC→CA运动，回到点

（1）如图①，当△ABP的面积等于△ABC面积的一半时，求t的值：（2）如图②，点D在BC边上CD=4cm，点E在AC边上CE=5cm,ED⊥BC,ED=3cm，在△ABC的边上，若另外有一个动点Q与点P同时从点A出发，沿着边AC→CB→BA运动，回到点A停止．在两点运动过程中的某一时刻，以A,P,Q为顶点的三角形恰好与20．（10分）（23-24七年级下·江苏南通·期末）已知△ABC中，AB=AC=6，∠BAC=90°，动点D，E分别在边CA和射线BA上，连接BD，CE．（1）如图1，点E在BA延长线上，且∠ECA=∠DBA．①若AD=2，求BE的长；②判断BD和CE的关系，并证明；（2）如图2，CF⊥CA，CF=CA，点E在边BA上，且AE=CD，当BD+CE的值最小时，求CD的长．21．（12分）（23-24八年级上·北京东城·期中）已知，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B+∠ADC=180°,E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=1

（1）为探究上述问题，小王同学先画出了其中一种特殊情况，即如图1，当∠B=∠ADC=90°时．小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG=BE，连接AG．请你在图1中添加上述辅助线，并补全下面的思路．小明的解题思路：先证明△ABE≌______；再证明了△AEF≌______，即可得出BE,EF,FD之间的数量关系为EF=BE+FD．（2）请你借鉴小王的方法探究图2，当∠B+∠ADC=180°时，上述结论是否依然成立，如果成立，请证明你的结论，如果不成立，请说明理由．（3）如图3，若E、F分别是边BC、CD延长线上的点，其他已知条件不变，此时线段EF、BE、FD之间的数量关系为______．（不用证明）22．（12分）（23-24七年级下·江西吉安·阶段练习）（1）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．如图1，已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线l经过点A，BD⊥直线l，CE⊥直线l，垂足分别为点D、E．证明：DE=BD+CE．（2）组员小刘想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线l上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE=BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．（3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，过△ABC的边AB、AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG，AH是BC边上的高，延长HA交EG于点I，求证：I是EG的中点．23．（12分）（23-24八年级上·江苏南通·期中）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，△ABC中，若AB=6，AC=4，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到E，使DE=AD，连接BE．请根据小明的方法思考：（1）由已知和作图能得到△ADC≌△EDB，得到BE=AD，在△ABE中求得2AD的取值范围，从而求得AD的取值范围是．方法总结：上述方法我们称为“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系．（2）如图2，AD是△ABC的中线，AB=AE，AC=AF，∠BAE+∠CAF=180°，试判断线段AD与EF的数量关系，并加以证明；（3）如图3，在△ABC中，D，E在边BC上，且BD=CE．求证：AB+AC>AD+AE．专题12.3全等三角形（满分120）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________题号一二三总分得分评卷人得分一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）1．（23-24八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，方格纸中△DEF的三个顶点分别在小正方形的顶点上，像这样的三个顶点都在格点上的三角形有格点三角形，则图中与△DEF全等的格点三角形有（

）个．A．10 B．11 C．12 D．13【思路点拨】本题主要考查了全等三角形的判定，应用SSS判定三角形全等，注意观察图形，数形结合是解决本题的关键．用SSS判定两三角形全等．认真观察图形可得答案．【解题过程】解：如图示2×3排列的每6个小正方形上都可找出4个全等的三角形：△DAF，△BGQ，△CGQ，△NFH，△AFH，△WBI，△QBI，△CKR，△CGR，△KWI，△KRW．共11个.故选：B．2．（22-23八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，已知点D在AC上，点B在AE上，△ABC≌△DBE，且∠BDA=∠A，若∠A:∠C=4:3．则∠DBC等于（

）

A．36° B．24° C．12° D．15°【思路点拨】本题考查全等三角形的性质和三角形的内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．根据全等三角形的性质，∠BDE=∠A=∠BDA，∠E=∠C，又∠ABD=∠BDE+∠E，∠A:∠C=4:3，在△ABD中根据内角和定理求解．【解题过程】解：∵△ABC≌△DBE，∴∠BDE=∠A=∠BDA，∠E=∠C，∵∠A:∠C=4:3，∴∠A:∠BDA:∠BDE:∠E=4:4:4:3，又∠A+∠BDA+∠BDE+∠E=180°，∴∠C=∠E=36°，∠BDE=∠A=∠BDA=48°，∠CDE=∠A+∠E=48°+36°=84°，∴∠DBC=180°−∠C−∠CDE−∠BDE=180°−36°−84°−48°=12°，故选：C．3．（23-24七年级下·江苏南通·期末）如图，△ABC中，∠A=24°，△DEF中，∠F=66°，BC，EF边上的高相等，若AC=DF，则∠B的度数为（

）A．30° B．42° C．45° D．60°【思路点拨】本题主要考查全等三角形的判定及性质，三角形外角的性质，熟练掌握全等三角形的判定及性质是关键．分别过A、D两点作AG⊥BC，DH⊥EF于点G、H，证明Rt△ACG≌Rt△DFH(【解题过程】解：分别过A、D两点作AG⊥BC，DH⊥EF于点G、H，∵在Rt△ACG和RtAG=DH∴Rt∴∠∵∠ACG=∠∴∠故选：B．4．（23-24八年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，正方形ABCD的顶点B在直线l上，将直线l向上平移线段AB的长得到直线m，直线m分别交AD，CD于点E，F，若求△DEF的周长，则只需知道（

）A．AB的长 B．EF的长 C．DE的长 D．DF的长【思路点拨】本题主要考查了平移的性质和全等三角形的性质和判定，同时也利用了三角形周长的定义，掌握平移的性质以及全等三角形的性质与判定是解题的关键．过B作BH⊥m于H，连接BE，BF，然后利用已知条件可以证明Rt△AEB≌Rt△HEB(【解题过程】解：过B作BH⊥m于H，连接BE，BF，∵直线l向上平移线段AB的长得到直线m，∴AH=AB，而∠A=∠BHE=90°，EB=EB，∴Rt∴AE=EH，同理Rt△FCB≌∴HF=CF，∴△DEF的周长为：DE+EF+DF=DE+EH+HF+DF=DE+AE+DF+CF=AD+CD=2AB．∴求△DEF的周长，则只需知道AB的长．故选：C．5．（23-24八年级上·重庆渝北·阶段练习）如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，∠ABC的平分线BD交AC于点D，CE⊥BD，交BD的延长线于点E，若BD=8，则CE长为（

）A．2 B．3 C．4 D．5【思路点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，作辅助线构造全等三角形是解题关键．延长BA、CE交于点F，先证明△ABD≌△ACFASA，得到BD=CF=8，再证明△BEF≌△BECASA，得到EF=CE，即可求出【解题过程】解：如图，延长BA、CE交于点F，∵∠BAC=90°，CE⊥BD，∴∠ABD+∠ADB=90°，∠ACF+∠CDE=90°，∵∠ADB=∠CDE，∴∠ABD=∠ACF，在△ABD和△ACF中，∠ABD=∠ACFAB=AC∴△ABD≌△ACFASA∴BD=CF=8，∵BD平分∠ABC，∴∠EBF=∠EBC，在△BEF和△BEC中，∠EBF=∠EBCBE=BE∴△BEF≌△BECASA∴EF=CE，∴CE=1故选：C．6．（23-24八年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，OA=OC，OB=OD且OA⊥OB，OC⊥OD，有下列结论：①△AOD≌△COB；②CD=AB；③∠CDA=∠ABC．其中正确的结论是（A．①② B．①②③ C．①③ D．②③【思路点拨】先由条件OA=OC，OB=OD且OA⊥OB，OC⊥OD就可以得出△COD≌△AOB，就有∠CDO=∠ABO，CD=AB，进而可以得出△AOD≌△COB就有∠ADO=∠CBO，从而得出结论．【解题过程】解：∵OA⊥OB，OC⊥OD，∴∠AOB=∠COD=90°．∴∠AOB+∠AOC=∠COD+∠AOC，即∠COB=∠AOD．在△AOB和△COD中，AO=CO∠AOB=∠COD∴△AOB≌△COD(SAS∴AB=CD，∠ABO=∠CDO．在△AOD和△COB中AO=CO∠AOD=∠COB∴△AOD≌△COB(SAS∴∠CBO=∠ADO，∴∠ABO−∠CBO=∠CDO−∠ADO，即∠ABC=∠CDA．综上所述，①②③都是正确的．故选：B．7．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，分别以AB、AC、BC为边长在AB同侧作三个正方形，点I落在边GF上，若要求图中阴影部分的面积之和，则只需知道下列哪个图形的面积？该图形是（

A．△BCN B．△ABC C．△BHM D．正方形ABHI【思路点拨】本题考查全等三角形的判定和性质，关键是明△ABC≌△H'BD，Rt△ABC≌Rt△AIG，△MIF≌△NHE．延长DE交BH于H'，根据ASA证明△ABC≌△H'BD，得到AB=BH'，△BDH的面积=△ABC的面积，得到BH=BH'，因此H'和H重合，由HL推出Rt△ABC≌Rt△AIG，得到IG=BC=DE，△AIG的面积=△ABC【解题过程】解：延长DE交BH于H'∵四边形ABHI，四边形BDEC是正方形，∴AB=BH=AI，BC=BD，∠ABN=∠CBD=∠D=90°，∴∠ABC=∠HBD，∵BC=BD，∠ACB=∠D=90°，∴△ABC≌△H'BDASA∴AB=BH'，△BDH的面积∵AB=BH，∴BH=BH∴H'∵四边形ACFG是正方形，∴AC=AG，∠G=∠ACB=∠F=90°，∵AB=AI，∴Rt△ABC≌∴IG=BC=DE，△AIG的面积=△ABC的面积，∵DH=AC=FG，∴FI=EH，∵四边形CBDE是正方形，∴BC∥DH，∴∠NHE=∠CBN，∵∠F=∠MHN=90°，∠FMI=∠HMB，∴∠MIF=∠CBN，∴∠MIF=∠NHE，∵FI=EH，∠F=∠NEH=90°，∴△MIF≌△NHEASA∴△MIF的面积=△NHE的面积，∴阴影面积的和=△ABC的面积的2倍，∴要求图中阴影部分的面积之和，只需知道△ABC的面积．故选：B．8．（23-24八年级上·湖北·周测）已知AB=10，AC=6，BD=8，其中∠CAB=∠DBA=α．点P以每秒2个单位长度的速度，沿着C→A→B路径运动．同时，点Q以每秒x个单位长度的速度，沿着D→B→A路径运动，一个点到达终点后另一个点随即停止运动．它们的运动时间为t秒．①若x=1，则点P运动路程始终是点Q运动路程的2倍；②当P、Q两点同时到达A点时，x=6；③若α=90°，t=5，x=1时，PC与PQ垂直；以上说法正确的选项为（

）

A．① B．①② C．①②③ D．①③【思路点拨】根据路程等于时间乘以速度求出点P和点Q的路程，即可判断①；首先求出点P到达点A时的时间，然后根据题意列出算式求解即可判断②；首先画出图形，根据题意求出AC=6，AP=10−6=4，BQ=BD−DQ=8−5=3，PB=AB−AP=10−4=6，然后得到△CAP和△PBQ不全等，进而证明出∠CPQ≠90°，即可判断③．【解题过程】解：①∵点P以每秒2个单位长度的速度，运动时间为t秒，∴点P运动路程为2t，若x=1，则点Q运动路程为t，∴点P运动路程始终是点Q运动路程的2倍，故①正确；②当P点到达A点时，t=6÷2=3秒，∵P、Q两点同时到达A点，∴x=10+8③如图所示，

当t=5，x=1时，点P运动的路程为2×5=10，点Q运动的路程为5×1=5，∵AC=6，DQ=5，∴AP=10−6=4，BQ=BD−DQ=8−5=3，∵AB=10，∴PB=AB−AP=10−4=6，∴AP≠BQ，∴△CAP和△PBQ不全等，∴∠C≠∠QPB，∵∠C+∠CPA=90°，∴∠QPB+∠CPA≠90°，∴∠CPQ≠90°，∴PC与PQ不垂直，故③错误；综上所述，正确的选项为①②．故选：B．9．（23-24八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在锐角三角形ABC中，AH是BC边上的高，分别以AB，AC为一边，向外作正方形ABDE和ACFG（正方形四条边都相等，四个角都是直角），连接CE，BG和EG，EG与HA的延长线交于点M，下列结论：①BG=CE；②BG⊥CE；③AM是A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【思路点拨】本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，在解答时作辅助线EP⊥HA的延长线于P，过点G作GQ⊥AM于Q构造出全等三角形是难点，运用全等三角形的性质是关键，分析题意，根据正方形的性质可得可求出∠CAE=∠BAG，由“边角边”可得△ABG≌△AEC，可判断①是否正确；设BG、CE相交于点N，由△ABG≌△AEC可得∠ACE=∠AGB，即可判断②的正确性；根据同角的余角相等求出∠ABH=∠EAP，再证明△ABH≌△EAP，根据全等三角形性质即可判断④是否正确；证明△EPM≌△GQM，根据全等三角形的对应边相等即可判断③是否正确，从而完成解答．【解题过程】解：在正方形ABDE和ACFG中，AC=AG，AB=AE，∴∠CAG+∠BAC=∠BAE+∠BAC，即∠CAE=∠BAG，在△ABG和△AEC中，AB=AE，∠CAE=∠BAG，∴△ABG≌△AECSAS∴BG=CE，故①正确；设BG、CE相交于点∵△ABG≌△AEC，∴∠AGB=∠ACE，∴∠NCF+∠NGF=∠ACF+∠AGF=90°+90°=180°，∴∠CNG=360°−∠NCF+∠NGF+∠F∴BG⊥CE，故②正确；过点G作GQ⊥AM于Q，过点E作EP⊥HA的延长线于P，如图所示：∵AH⊥BC，∴∠ABH+∠BAH=90°，∵∠BAE=90°，∴∠EAP+∠BAH=180°−90°=90°，∴∠EAP=∠ABH，在△ABH和△EAP中，∠ABH=∠EAP，∠AHB=∴△ABH≌△EAPAAS∴∠EAM=∠ABC，同理可得GQ=AH，∴EP=GQ，∵在△EPM和△GQM中，∠P=∠MQG=90°，∠EMP=∠GMQ，∴△EPM≌△GQMAAS∴EM=GM，∴AM是△AEG的中线，故③正确．综上所述，①②③④结论都正确，共4个．故选：D．10．（23-24八年级上·山东济南·期末）如图，在△ABC中，BE，CE，CD分别平分∠ABC，∠ACB，∠ACF，AB∥CD，下列结论：①∠BDC=∠BAC；②∠BEC=90°+∠ABD；③∠CAB=∠CBA；④

A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④【思路点拨】由角平分线的定义及三角形外角的性质可得∠BDC=12∠BAC，进而判定①；由角平分线的定义及平角的定义可求∠ECD=90°，利用三角形外角的性质及平行线的性质可判定②；利用角平分线的定义可判定③；由角平分线的性质及判定可得AD为△ABC外角∠MAC【解题过程】解：∵AB∴∠ACD=∠BAC，∠ABC=∠DCF，∵BE平分∠ABC∴∠ABD=∠DBC=∵CD平分∠ACF，∠ACF=∠ABC+∠BAC，∴∠ACD=∠DCF=1∵∠DCF=∠DBC+∠BDC=1∴1∴∠BDC=1∵CE平分∠ACB，∴∠ACE=1∵∠ACB+∠ACF=180°，∴∠ACE+∠ACD=90°，即∠ECD=90°，∴∠BEC=∠ECD+∠CDB=90°+∠CDB，∵AB∴∠CDB=∠ABD∴∠BEC=90°+∠ABD，故②正确；∵BD平分∠ABC，∴∠CBA=2∠ABD=2∠BDC∵∠BDC=1∴∠CAB=∠CBA，故③正确；过点D作DN⊥BF于N，DG⊥AC于G，DH⊥BM于H，如图，

∵CD平分∠ACF，DN⊥BF，DG⊥AC，∴DN=DG∵BD平分∠ABC，DG⊥AC，DH⊥BM，∴DN=DH∴DG=DH∴AD为△ABC外角∠MAC的平分线，∴∠DAM=∠DAC=∵∠MAC=∠ABC+∠ACB=2∠CBD+2∠BCE，∴∠DAC=∠CBD+∠BCE∵∠DAC+∠ADB=∠DEC+∠BCE∴∠ADB=∠BCE，∵AB∥∴∠ABC=∠DCF，∵∠BCE=∠ACE，∠DCF=∠ACD∴∠ABC+∠ADB=∠ACD+∠ACE=∠DCE=90°即∠ADB+∠ABC=90°，故④正确．故选：C．评卷人得分二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分）11．（23-24八年级上·江苏泰州·期末）如图，点B、E在CF上，且△ABC≌△DEF，若CF=8，BE=4，则CE的长为【思路点拨】据全等三角形的性质可得BC=EF，进而可得EC=FB，再由CF=8，BE=4，即可求出CE的长．本题主要考查了全等三角形的性质，熟练掌握“全等三角形对应边相等”是解题的关键．【解题过程】解：∵△ABC≌∴BC=EF，∴BC−BE=EF−BE，即EC=FB，∵CF=8，BE=4，∴BF+EC=CF−BE，即2CE=8−4=4，∴CE=2，故答案为：2．12．（22-23八年级上·湖北武汉·期中）在如图所示的3×3正方形网格中，∠1+∠2+∠3=度．【思路点拨】证明△ABC≌△DEF，△DCG≌△CEB得出∠2+∠1=45°,根据网格的特点可知∠3=45°，即可求解．【解题过程】解：如图，在△ABC与△DEF中，AC=DF∠ACB=∠DFE∴△ABC≌△DEF，∴∠1=∠4，∵FD∥∴∠2=∠FDC，同理可得△DCG≌△CEB，∴EC=ED，∠2=∠BEC，∵∠BEC+∠ECB=90°，∴∠2+∠EBC=90°，∴∠ECD=90°，∴△ECD是等腰直角三角形，∴∠CDE=45°，即∠4+∠FDC=∠1+∠2=45°，根据网格的特点可知∠3=45°，∴∠1+∠2+∠3=90°，故答案为：90．13．（23-24八年级上·四川德阳·期末）如图，在∠AOB的边OA，OB上取点M，N，连接MN，PM平分∠AMN，PN平分∠MNB，若MN=2，△PMN的面积是2，△OMN的面积是8，则△OMN的周长是．【思路点拨】本题考查了角平分线的性质，过P作PH⊥MN与H，PK⊥OB于K，PL⊥AO于L，连接PO，利用角平分线的性质和三角形的面积可得PK=PL=PH=2，根据△OMN的面积+△PMN的面积=△POM的面积+△PON的面积，进行计算即可求出OM+ON=10，进而得到△OMN的周长，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．【解题过程】解：过P作PH⊥MN与H，PK⊥OB于K，PL⊥AO于L，连接PO，∵PM平分∠AMN，PN平分∠MNB，∴PL=PH，PK=PH，∴PL=PK，∵MN=2，△PMN的面积=1∴PH=2，∴PK=PL=2，∵△POM的面积=12OM·PL，△PON∴△OMN的面积+△PMN的面积=△POM的面积+△PON的面积=1∴12∴OM+ON=10，∴△OMN的周长=OM+ON+MN=10+2=12，故答案为：12．14．（23-24八年级上·江苏常州·阶段练习）如图，在△ADE和△ABC中，∠E=∠C，DE=BC，EA=CA，过A作AF⊥DE，垂足为F，DE交CB的延长线于点G，连接AG．四边形DGBA的面积为12，AF=4，则FG的长是．

【思路点拨】过点A作AH⊥BC于H，证△ABC≌△AED，得AF=AH，再证Rt△AFG≌Rt△AHG，同理Rt△ADF≌Rt【解题过程】解：过点A作AH⊥BC于H，如图所示：在△ABC和△ADE中，BC=DE∠C=∠E∴△ABC≌△AED∴AD=AB,又∵AF⊥DE，∴12∴AF=AH，∵AF⊥DE,AH⊥BC，∴∠AFG=∠AHG=90°，在Rt△AFG和RtAG=AG∴Rt△AFG≌同理：Rt△ADF≌∴S四边形∵Rt△AFG≌∴∵AF=4,∴12解得：FG=3；故答案为：3．15．（22-23七年级下·江苏盐城·期末）已知：△ABC中，∠ACB=90°，AC=CB，D为射线CB上一动点，连接AD，在直线AC右侧作AE⊥AD，且AE=AD．连接BE交直线AC于M，若2AC=7CM，则S△ADBS△AEM

【思路点拨】添加辅助线，构造全等三角形，根据全等三角形的性质求出线段间的数量关系，最后进行分类讨论即可求解．【解题过程】解：①如图，过E作EG⊥AC于点G，

∴∠ACB=∠AGE=∠CGE=90°，∴∠DAC+∠ADC=90°，∵AE⊥AD，∴∠DAE=90°，即：∠DAC+∠GAE=90°，∴∠ADC=∠GAE，在△ADC和△EAG中，∠ACD=∠AGE∠ADC=∠GAE∴△ADC≌△EAGAAS∴AC=GE，CD=AG，∴△BMC≌△EMGAAS∴GM=MC，设CM=2a，则AC=7a，∴GM=CM=2a，BC=AC=7a，∴AG=CD=AC−GM−CM=7a−2a−2a=3a，∴BD=BC−CD=7a−3a=4a，AM=AG+GM=3a+2a=5a，则S△ADB②如图，过E作EH⊥AC交AC延长线于点H，

∴∠ACB=∠AHE=90°，∴∠DAC+∠ADC=90°，∵AD⊥AE，∴∠DAE=90°，即：∠DAC+∠HAE=90°，∴∠ADC=∠HAE，在△ADC和△EAH中，∠ACD=∠AHE∠ADC=∠HAE∴△ADC≌△EAHAAS∴AC=HE，CD=AH，∴AC=CB=HE，在△BMC和△EMH中，∠BMC=∠EMH∠BCM=∠EHM∴△BMC≌△EMHAAS∴HM=MC，设CM=2m，则AC=7m，∴HM=CM=2m，BC=AC=7m，∴AH=CD=AC+GM+CM=7m+2m+2m=11m，∴BD=CD−BC=11m−7m=4m，AM=AC+CM=7m+2m=9m，则S△ADB故答案为：45或4评卷人得分三、解答题（本大题共8小题，满分75分）1．（6分）（2024·山西晋中·三模）如图，已知锐角△ABG，AD为BC边上的高．（1）尺规作图：作∠ABC的平分线交AD于点E，交AC于点F；（2）在作出符合条件的（1）的图中，若BE=AC，∠ABC=45°，求证：【思路点拨】本题主要考查了尺规作图、全等三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识点成为解题的关键．（1）以B为圆心，任意长为半径画弧，与AB、BC的两个交点，再分别以这两个交点为圆心，大于这两个交点间的距离的一半为半径画弧，得两弧的交点，以B为端点，过两弧的交点作射线交AD于点E，交AC于点F即可．（2）通过证明△BED≌△ACD可得∠BDE=∠DAC，再由对顶角相等可得∠BED=∠AEF，然后根据直角三角形的性质及等量代换即可解答．【解题过程】（1）解：如图，射线AE即为所求．（2）解：∵∠ABC=45°，AD为BC边上的高，∴∠BAD=∠ABC=45°，∠ADB=∠ADC=90°，∴BD=AD，∵BE=AC，∴Rt△BED≌∴∠DBE=∠DAC，∵∠BED=∠AEF，∴∠AEF+∠DAC=∠BED+∠DBE=90°，即BF⊥AC．17．（6分）（2024·江苏盐城·中考真题）已知：如图，点A、B、C、D在同一条直线上，AE∥BF，若________，则AB=CD．请从①CE∥DF；②CE=DF；③∠E=∠F这3个选项中选择一个作为条件（写序号），使结论成立，并说明理由．【思路点拨】题目主要考查全等三角形的判定和性质，①根据平行线的性质得出∠A=∠FBD,∠D=∠ECA，再由全等三角形的判定和性质得出AC=BD，结合图形即可证明；②得不出相应的结论；③根据全等三角形的判定得出△AEC≌△BFD(SAS【解题过程】解：选择①CE∥DF；∵AE∥BF，∴∠A=∠FBD,∠D=∠ECA，∵AE=BF，∴△AEC≌△BFD(AAS∴AC=BD，∴AC−BC=BD−BC，即AB=CD；选择②CE=DF；无法证明△AEC≌△BFD，无法得出AB=CD；选择③∠E=∠F；∵AE∥∴∠A=∠FBD，∵AE=BF，∠E=∠F，∴△AEC≌△BFD(ASA∴AC=BD，∴AC−BC=BD−BC，即AB=CD；故答案为：①或③（答案不唯一）18．（8分）（22-23八年级上·浙江台州·阶段练习）如图，△ABC中，点D在BC边上，∠BAD=100°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作EF⊥AB，垂足为F，且∠AEF=50°，连接DE．

（1）求∠CAD的度数；（2）求证：DE平分∠ADC；（3）若AB=6，AD=4，CD=8，且S△ACD=18，求【思路点拨】（1）根据垂直得到∠AFE=90°，利用三角形外角的性质得到∠BAE=140°，再根据∠BAE=∠BAD+∠CAD，即可求出∠CAD的度数；（2）过点E作EG⊥AD，EH⊥BC，根据角平分线的性质得到EF=EG，EF=EH，进而得到EG=EH，再根据角平分线的判定定理即可证明结论；（3）根据三角形的面积公式求出EH=3，再根据三角形的面积公式计算，即可求出△ABE的面积．【解题过程】（1）解：∵EF⊥AB，∴∠F=90°，∵∠AEF=50°，∴∠BAE=∠F+∠AEF=90°+50°=140°，∵∠BAE=∠BAD+∠CAD，∠BAD=100°，∴∠CAD=∠BAE−∠BAD=140°−100°=40°，（2）证明：过点E作EG⊥AD交AD于点G，EH⊥BC交BC于点H，由（1）可知，∠EAF=∠CAD=40°，∴AE平分∠FAD，∵EF⊥AF，EG⊥AD，∴EF=EG，∵BE平分∠ABC，EF⊥BF，EH⊥BC，∴EF=EH，∴EG=EH，∵EG⊥AD，EH⊥BC，∴DE平分∠ADC；

（3）解：∵S∴∴∵AD=4，CD=8，EG=EH，∴1∴EH=3∴EF=3∵AB=6∴S19．（9分）（23-24八年级上·浙江金华·阶段练习）如图①，在Rt△ABC中，∠B=90°,AB=12cm,BC=16cm,AC=20cm，现有一动点P，从点A出发，沿着三角形的边AB→BC→CA运动，回到点

（1）如图①，当△ABP的面积等于△ABC面积的一半时，求t的值：（2）如图②，点D在BC边上CD=4cm，点E在AC边上CE=5cm,ED⊥BC,ED=3cm，在△ABC的边上，若另外有一个动点Q与点P同时从点A出发，沿着边AC→CB→BA运动，回到点A停止．在两点运动过程中的某一时刻，以A,P,Q为顶点的三角形恰好与【思路点拨】（1）根据三角形中线平分三角形面积可知，当点P为BC的中点时和点P为AC中点时，△ABP的面积等于△ABC面积的一半，据此根据时间=路程÷速度进行求解即可；（2）根据题意分四种情况进行分析，利用全等三角形的性质得出点P、Q所走的路程，进而可求出P的运动时间，即Q的运动时间，再利用速度=路程÷时间求解即可．【解题过程】（1）解：当点P在BC上时，由三角形中线平分三角形面积可知，当点P为BC的中点时，△ABP的面积等于△ABC面积的一半，∴此时t=12+同理当点P为AC中点时，△ABP的面积等于△ABC面积的一半，∴此时t=12+16+综上所述，t的值为10或19；（2）解：设点Q的运动速度为xcm/s，由题意得，DC=4cm,CE=5①当点P在AB上，点Q在AC上，△APQ≌

AP=DE=3cm，∴32解得x=103②当点P在AB上，点Q在AC上，△APQ≌

AP=EC=5cm，∴52解得x=65③当点P在AC上，点Q在AB上，△APQ≌

AP=ED=3，∴点P的路程为AB+BC+PC=12+16+20−3=45cm，点Q的路程为∴452解得：x=8645④当点P在AC上，点Q在AB上，△APQ≌

AP=EC=5cm，∴点P的路程为AB+BC+PC=12+16+20−5=43cm，点Q的路程为∴432解得：x=9043综上所述，点Q的运动速度为103cm/s或65cm/s或9043cm/s或8620．（10分）（23-24七年级下·江苏南通·期末）已知△ABC中，AB=AC=6，∠BAC=90°，动点D，E分别在边CA和射线BA上，连接BD，CE．（1）如图1，点E在BA延长线上，且∠ECA=∠DBA．①若AD=2，求BE的长；②判断BD和CE的关系，并证明；（2）如图2，CF⊥CA，CF=CA，点E在边BA上，且AE=CD，当BD+CE的值最小时，求CD的长．【思路点拨】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题关键．（1）①利用“ASA”证明△ABD≌△ACE，由全等三角形的性质可得AE=AD=2，然后由BE=AB+AE，即可获得答案；②延长BD，交CE与P，由全等三角形的性质可得BD=CE，结合∠E+∠ECA=90°，∠ECA=∠DBA，易得∠E+∠DBA=90°，即可证明BD⊥CE；（2）首先证明△CDF≌△AEC，由全等三角形的性质可得FD=CE，易得BD+CE=BD+FD，故当点B、D、F在同一直线上时，BD+FD取最小值，即BD+CE取最小值，再证明△FCD≌△BAD，由全等三角形的性质可得CD=AD，故CD=1【解题过程】（1）解：①∵∠BAC=90°，动点D，E分别在边CA和射线BA上，∴∠CAE=180°−∠BAC=90°，在△ABD和△ACE中，∠ECA=∠DBA∠BAD=∠CAE=90°∴△ABD≌△ACEASA∴AE=AD=2，∵AB=AC=6，∴BE=AB+AE=6+2=8；②BD=CE且BD⊥CE，证明如下：如下图，延长BD，交CE与P，∵△ABD≌△ACE，∴BD=CE，∵∠CAE=90°，∴∠E+∠ECA=90°，∵∠ECA=∠DBA，∴∠E+∠DBA=90°，∴∠BPE=180°−∠E+∠DBA即BD⊥CE；（2）∵CF⊥CA，∴∠FCD=90°=∠BAC，在△CDF和△AEC中，CF=AC∠FCD=∠CAE=90°∴△CDF≌△AECSAS∴FD=CE，∴BD+CE=BD+FD，如下图，当点B、D、F在同一直线上时，BD+FD取最小值，即BD+CE取最小值，∵CF=CA，AB=AC=6，∴CF=AB，在△FCD和△BAD中，∠CDF=∠ADB∠DCF=∠DAB=90°∴△FCD≌△BADAAS∴CD=AD，∵AB=AC=6，∴CD=121．（12分）（23-24八年级上·北京东城·期中）已知，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B+∠ADC=180°,E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=1

（1）为探究上述问题，小王同学先画出了其中一种特殊情况，即如图1，当∠B=∠ADC=90°时．小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG=BE，连接AG．请你在图1中添加上述辅助线，并补全下面的思路．小明的解题思路：先证明△ABE≌______；再证明了△AEF≌______，即可得出BE,EF,FD之间的数量关系为EF=BE+FD．（2）请你借鉴小王的方法探究图2，当∠B+∠ADC=180°时，上述结论是否依然成立，如果成立，请证明你的结论，如果不成立，请说明理由．（3）如图3，若E、F分别是边BC、CD延长线上的点，其他已知条件不变，此时线段EF、BE、FD之间的数量关系为______．（不用证明）【思路点拨】（1）根据题意，画出图形，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，即可得出结论；（2）延长FD到点G，使DG=BE，连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，即可得出结论；（3）在BC上取一点G，使BG=DF，先证明△ABG≌△ADF，再证明△AEG≌△AEF，即可得出结论．本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是利用截长补短法，构造全等三角形．【解题过程】（1）解：补全图形，如图：

解题思路为先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，即可得出BE,EF,FD之间的数量关系为EF=BE+FD；故答案为：△ADG,△AGF；（2）成立，证明如下：延长FD到点G，使DG=BE，则∠ADF+∠ADG=180°，

∵∠B+∠ADC=180°，∴∠B=∠ADG，∵AB=AD，∴△ABE≌△ADG，∴AG=AE，∠1=∠3，∵∠EAF=1∴∠1+∠2=1∴∠3+∠2=12∠BAD∴∠EAF=∠FAG，又AF=AF，∴△AEF≌△AGF，∴EF=GF，∵GF=DF+DG，∴EF=DF+BE；（3）解：在BC上取一点G，使BG=DF，

∵∠ADF+∠ADC=180°，∠B+∠ADC=180°，∴∠B=∠ADF，又AB=AD，∴△ABG≌△ADF，∴AG=AF，∠1=∠2，∴∠1+∠3=∠2+∠3=∠EAF=1∴∠GAE=1又AE=AE，∴△AGE≌△AFE，∴EF=EG=BE−BG=BE−DF．’故答案为：EF=BE−DF．22．（12分）（23-24七年级下·江西吉安·阶段练习）（1）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．如图1，已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线l经过点A，BD⊥直线l，CE⊥直线l，垂足分别为点D、E．证明：DE=BD+CE．（2）组员小刘想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线l上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE=BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．（3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，过△ABC的边AB、AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG，AH是BC边上的高，延长HA交EG于点I，求证：I是EG的中点．【思路点拨】本题主要考查全等三角形的判定和性质，由条件证明三角形全等得到BD=AE、CE=AD是解题的关键．（1）由条件可证明△ABD≌△CAE，可得DA=CE，AE=BD，可得（2）由条件可知∠BAD+∠CAE=180°−α，且∠DBA+∠BAD=180°−α，可得∠DBA=∠CAE，结合条件可证明△ABD≌（3）由条件可知EM=AH=GN，可得EM=GN，结合条件可证明△EMI≌△GNI，可得出结论I是【解题过程】解：（1）如