2024-2025学年高考数学一轮复习讲义(新高考)第02讲等差数列及其前n项和(知识+真题+6类高频考点)(精讲)(学生版+解析)

第02讲等差数列及其前n项和目录TOC\o"1-2"\h\u第一部分：基础知识 1第二部分：高考真题回顾 2第三部分：高频考点一遍过 3高频考点一：等差数列基本量的运算 3高频考点二：等差数列的判断与证明 5高频考点三：等差数列的性质及其应用（角度1：等差数列的性质） 6高频考点四：等差数列的性质及其应用（角度2：等差数列前n项和的性质） 7高频考点五：等差数列的性质及其应用（角度3：等差数列的最值问题） 8第四部分：新定义题 10第一部分：基础知识1.等差数列的概念(1)定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母表示．数学语言表示为()(或者），为常数．(2)等差中项：若，，成等差数列，则叫做和的等差中项，且.注：证明一个数列是等差数列可以使用①定义法：()(或者）②等差中项法：2.等差数列的有关公式(1)若等差数列的首项是，公差是，则其通项公式为，可推广为(*)．(2)等差数列的前项和公式(其中)．3.等差数列的常用性质已知为等差数列，为公差，为该数列的前项和．(1)等差数列中，当时，()．特别地，若，则()．(2)相隔等距离的项组成的数列是等差数列，即，，，…仍是等差数列，公差为()．(3)也成等差数列，其首项与首项相同，公差为.(4)，，…也成等差数列，公差为.（5）若数列,均为等差数列且其前项和分别为,,则4.等差数列与函数的关系(1)等差数列与一次函数的关系可化为的形式．当时，是关于的一次函数；当时，数列为递增数列；当时，数列为递减数列．(2)等差数列前项和公式可变形为.当时，它是关于的二次函数，表示为(，为常数)．第二部分：高考真题回顾1．（2024·全国·高考真题（甲卷文））已知等差数列an的前项和为，若，则（

）A． B． C．1 D．2．（2024·全国·高考真题（新课标Ⅱ））记为等差数列的前n项和，若，，则.3．（2024·上海·高考真题）若．(1)过，求的解集；(2)存在使得成等差数列，求的取值范围．第三部分：高频考点一遍过高频考点一：等差数列基本量的运算典型例题例题1．（2024·江苏苏州·模拟预测）等差数列按照如图的方式排列成一个的方阵，并从里到外分为n层.设第n层内的所有数字和为，且有，则数列的公差为．例题2．（2024·四川达州·二模）等差数列的前项和为，且.(1)求；(2)若为等比数列，，求通项公式.例题3．（2024高二上·江苏·专题练习）在等差数列中，(1)已知，，，求和；(2)已知，，求；(3)已知，，，求．练透核心考点1．（24-25高二上·全国·课后作业）（1）在等差数列中，，求的值；（2）在等差数列中，，，求．2．（24-25高二上·全国·课堂例题）在等差数列an(1)已知，，求；(2)已知，，，求及；(3)已知，，，求项数.3．（24-25高二上·全国·课后作业）在等差数列中．(1)，，，求n和d；(2)，，求和d．方法总结：解决等差数列基本量运算的思想方法(1)方程思想:等差数列的基本量为首项和公差,通常利用已知条件及通项公式或前项和公式列方程(组)求解,等差数列中包含,,,,五个量,可“知三求二”.(2)整体思想:当所给条件只有一个时,可将已知和所求都用,表示,寻求两者间的联系,整体代换即可求解.高频考点二：等差数列的判断与证明典型例题例题1．（2024高三·全国·专题练习）在正项数列中，，则（

）A．16 B．8 C． D．7例题2．（24-25高二上·全国·课堂例题）若数列的前项和，求这个数列的通项公式，并判断这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？练透核心考点1．（2024高二·云南）已知数列中，，，.(1)求的值；(2)证明：数列是等差数列；(3)求数列的通项公式.2．（23-24高二上·重庆·阶段练习）已知是等差数列，若，．(1)求的通项公式；(2)证明是等差数列．证明是等差数列定义法()(或者）等差中项法判断是等差数列的通项关于的一次函数的前项和（注意没有常数项）高频考点三：等差数列的性质及其应用（角度1：等差数列的性质）典型例题例题1．（24-25高三上·甘肃白银·阶段练习）已知等差数列的前10项和为100，且，则（

）A．5 B．10 C．15 D．20例题2．（2024·辽宁·模拟预测）记等差数列的前n项和为，若，，则（

）A．60 B．80 C．140 D．160练透核心考点1．（24-25高三上·广西南宁·开学考试）已知等差数列的前项和为，若，，则（

）A． B． C． D．2．（2023·四川·模拟预测）已知等差数列的前项和为，且，则（

）A．36 B．48 C．52 D．66高频考点四：等差数列的性质及其应用（角度2：等差数列前n项和的性质）典型例题例题1．（23-24高二下·山东潍坊·期中）已知等差数列的前项和为，若，，则（

）A．54 B．63 C．72 D．135例题2．（2024高二·全国·专题练习）已知是等差数列的前n项和，若，，则等于（）A．﹣4040 B．﹣2024 C．2024 D．4040例题3．（23-24高二下·辽宁大连·阶段练习）已知等差数列的前项和分别为与，且，则（

）A． B． C． D．例题4．（2024高三·全国·专题练习）已知、是等差数列、的前n项和，且，求.例题2．（23-24高二下·全国·课后作业）数列是等差数列，，．(1)从第几项开始有？(2)求此数列的前项和的最大值．练透核心考点1．（23-24高二下·贵州遵义·期末）数列的前n项和记为，已知，．(1)求证：是等差数列；(2)若，，成等比数列，求的最大值．2．（23-24高二上·广东深圳）已知等差数列中，，.(1)求的通项公式；(2)若的前项和为，求的最大值.方法总结求等差数列前项和最值的两种方法第四部分：新定义题1．（24-25高三上·安徽·开学考试）定义：从数列中随机抽取m项按照项数从小到大的顺序依次记为，将它们组成一个项数为m的新数列，其中，若数列为递增数列，则称数列是数列的“m项递增衍生列”；(1)已知数列满足，数列是的“3项递增衍生列”，写出所有满足条件的﹔(2)已知数列是项数为m的等比数列，其中，若数列为1，16，81，求证：数列不是数列的“3项递增衍生列”；(3)已知首项为1的等差数列的项数为14，且，数列是数列的“m项递增衍生列”，其中．若在数列中任意抽取3项，且均不构成等差数列，求m的最大值．2．（23-24高二下·北京房山·期末）若数列满足：对任意，都有，则称是“数列”．(1)若，，判断，是否是“数列”；(2)已知是等差数列，，其前项和记为，若是“数列”，且恒成立，求公差的取值范围；(3)已知是各项均为正整数的等比数列，，记，若是“数列”，不是“数列”，是“数列”，求数列的通项公式．第02讲等差数列及其前n项和目录TOC\o"1-2"\h\u第一部分：基础知识 1第二部分：高考真题回顾 2第三部分：高频考点一遍过 4高频考点一：等差数列基本量的运算 4高频考点二：等差数列的判断与证明 8高频考点三：等差数列的性质及其应用（角度1：等差数列的性质） 10高频考点四：等差数列的性质及其应用（角度2：等差数列前n项和的性质） 12高频考点五：等差数列的性质及其应用（角度3：等差数列的最值问题） 15第四部分：新定义题 18第一部分：基础知识1.等差数列的概念(1)定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母表示．数学语言表示为()(或者），为常数．(2)等差中项：若，，成等差数列，则叫做和的等差中项，且.注：证明一个数列是等差数列可以使用①定义法：()(或者）②等差中项法：2.等差数列的有关公式(1)若等差数列的首项是，公差是，则其通项公式为，可推广为(*)．(2)等差数列的前项和公式(其中)．3.等差数列的常用性质已知为等差数列，为公差，为该数列的前项和．(1)等差数列中，当时，()．特别地，若，则()．(2)相隔等距离的项组成的数列是等差数列，即，，，…仍是等差数列，公差为()．(3)也成等差数列，其首项与首项相同，公差为.(4)，，…也成等差数列，公差为.（5）若数列,均为等差数列且其前项和分别为,,则4.等差数列与函数的关系(1)等差数列与一次函数的关系可化为的形式．当时，是关于的一次函数；当时，数列为递增数列；当时，数列为递减数列．(2)等差数列前项和公式可变形为.当时，它是关于的二次函数，表示为(，为常数)．第二部分：高考真题回顾1．（2024·全国·高考真题（甲卷文））已知等差数列an的前项和为，若，则（

）A． B． C．1 D．【答案】D【知识点】等差数列前n项和的基本量计算、等差数列通项公式的基本量计算、利用等差数列的性质计算【分析】可以根据等差数列的基本量，即将题目条件全转化成和来处理，亦可用等差数列的性质进行处理，或者特殊值法处理.【详解】方法一：利用等差数列的基本量由，根据等差数列的求和公式，，又.故选：D方法二：利用等差数列的性质根据等差数列的性质，，由，根据等差数列的求和公式，，故.故选：D方法三：特殊值法不妨取等差数列公差，则，则.故选：D2．（2024·全国·高考真题（新课标Ⅱ））记为等差数列的前n项和，若，，则.【答案】95【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、求等差数列前n项和【分析】利用等差数列通项公式得到方程组，解出，再利用等差数列的求和公式节即可得到答案.【详解】因为数列为等差数列，则由题意得，解得，则.故答案为：.3．（2024·上海·高考真题）若．(1)过，求的解集；(2)存在使得成等差数列，求的取值范围．【答案】(1)(2)【知识点】根据二次函数零点的分布求参数的范围、根据函数的单调性解不等式、等差中项的应用【分析】（1）求出底数，再根据对数函数的单调性可求不等式的解；（2）存在使得成等差数列等价于在0,+∞上有解，利用换元法结合二次函数的性质可求的取值范围．【详解】（1）因为y=fx的图象过，故，故即（负的舍去），而在0,+∞上为增函数，故，故即，故的解集为.（2）因为存在使得成等差数列，故有解，故，因为，故，故在0,+∞上有解，由在0,+∞上有解，令，而在0,+∞上的值域为1,+∞，故即.第三部分：高频考点一遍过高频考点一：等差数列基本量的运算典型例题例题1．（2024·江苏苏州·模拟预测）等差数列按照如图的方式排列成一个的方阵，并从里到外分为n层.设第n层内的所有数字和为，且有，则数列的公差为．【答案】4【知识点】等差数列通项公式的基本量计算【分析】由题意，求出，设等差数列的公差为，则，即可解出数列的公差.【详解】由题意的，设等差数列的公差为，则，即，解得.故答案为：4.例题2．（2024·四川达州·二模）等差数列的前项和为，且.(1)求；(2)若为等比数列，，求通项公式.【答案】(1)(2)【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等差数列前n项和的基本量计算、等比数列通项公式的基本量计算【分析】（1）应用等差数列基本量运算得出，再求；（2）应用等比数列通项公式基本量运算得出公比，再求通项即可.【详解】（1）设等差数列公差为，.（2）数列公比为例题3．（2024高二上·江苏·专题练习）在等差数列中，(1)已知，，，求和；(2)已知，，求；(3)已知，，，求．【答案】(1)，(2)(3)【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、求等差数列前n项和、等差数列前n项和的基本量计算【分析】（1）根据等差数列前项和公式求出，再由通项公式求出；（2）设等差数列的公差为，依题意得到关于、的方程组，解得、，再由求和公式计算可得（3）利用等差数列前项和公式及下标和性质求出，从而得到，最后由求和公式计算可得.【详解】（1）由题意得，解得．又，∴，∴，．（2）设等差数列的公差为，，，，解得，则．（3），，，．练透核心考点1．（24-25高二上·全国·课后作业）（1）在等差数列中，，求的值；（2）在等差数列中，，，求．【答案】（1）1；（2）.【知识点】利用等差数列的性质计算、等差数列片段和的性质及应用、等差数列通项公式的基本量计算、等差数列前n项和的基本量计算【分析】（1）利用等差数列的前项和公式及项的性质化简后，代入即得；（2）利用等差数列的片段和的性质得到新的等差数列，由等差数列的前项和公式求出新数列的公差，通过求新数列的第11项即可求出.【详解】（1）∵an为等差数列，∴，，∴．（2）∵数列an∴，，，…，也成等差数列，设其公差为d，由此数列的前10项之和为，即（*）．又∵，代入（*）式，解得，∴，．2．（24-25高二上·全国·课堂例题）在等差数列an(1)已知，，求；(2)已知，，，求及；(3)已知，，，求项数.【答案】(1)110(2)，(3)14【知识点】求等差数列前n项和、利用等差数列通项公式求数列中的项、等差数列通项公式的基本量计算、等差数列前n项和的基本量计算【分析】（1）设等差数列an的公差为，根据等差数列通项公式以及求和公式求得，进而可得结果；（2）根据等差数列求和公式求得，进而可得结果；（3）根据等差数列性质可得，再结合等差数列求和公式运算求解.【详解】（1）设等差数列an的公差为，则，解得，所以.（2）因为，整理得，解得或（舍去），所以．（3）因为，，可得，即．又因为，所以．3．（24-25高二上·全国·课后作业）在等差数列中．(1)，，，求n和d；(2)，，求和d．【答案】(1)，(2)，【知识点】等差数列前n项和的基本量计算、等差数列通项公式的基本量计算【分析】（1）根据等差数列的通项公式和求和公式列方程解出；（2）根据等差数列的求和公式和通项公式列方程解出．【详解】（1），．，．（2），．，．方法总结：解决等差数列基本量运算的思想方法(1)方程思想:等差数列的基本量为首项和公差,通常利用已知条件及通项公式或前项和公式列方程(组)求解,等差数列中包含,,,,五个量,可“知三求二”.(2)整体思想:当所给条件只有一个时,可将已知和所求都用,表示,寻求两者间的联系,整体代换即可求解.高频考点二：等差数列的判断与证明典型例题例题1．（2024高三·全国·专题练习）在正项数列中，，则（

）A．16 B．8 C． D．7【答案】D【知识点】由递推关系式求通项公式、利用定义求等差数列通项公式【分析】先根据已知得出是等差数列，再根据已知计算出公差，结合等差数列的通项公式计算即可.【详解】是等差数列,，可得等差数列公差为3，.故选:D.例题2．（24-25高二上·全国·课堂例题）若数列的前项和，求这个数列的通项公式，并判断这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？【答案】是，首项，公差．【知识点】判断等差数列、利用an与sn关系求通项或项、等差数列前n项和的二次函数特征【分析】根据与之间的关系求得，再结合等差数列的定义分析判断.【详解】因为，当时，；当时，；且适合上式，所以，．可得，所以数列an是等差数列，且首项，公差．练透核心考点1．（2024高二·云南）已知数列中，，，.(1)求的值；(2)证明：数列是等差数列；(3)求数列的通项公式.【答案】(1)(2)证明见解析(3)【知识点】由递推关系证明数列是等差数列、根据数列递推公式写出数列的项、利用定义求等差数列通项公式、求等差数列前n项和【分析】（1）根据题意，令，即可求得的值；（2）根据题意，化简得到，结合等差数列的定义，即可得证；（3）由（2）求得，利用叠加法，结合等差数列的求和公式，即可求解.【详解】（1）解：数列中，，，且，令，可得.（2）证明：由，当时，可得，则，又由，，可得，所以是公差为的等差数列，即数列是公差为4等差数列.（3）解：由（2）知，数列是首项为，公差为的等差数列，可得，所以.即数列的通项公式为2．（23-24高二上·重庆·阶段练习）已知是等差数列，若，．(1)求的通项公式；(2)证明是等差数列．【答案】(1)，(2)证明见解析【知识点】利用定义求等差数列通项公式、由递推关系证明数列是等差数列【分析】（1）设等差数列的公差为d，得，结合等差数列的通项公式即得；（2）根据等差数列的定义可证.【详解】（1）设等差数列的公差为d，，，所以，（2）证明：因为所以是公差为−8的等差数列.证明是等差数列定义法()(或者）等差中项法判断是等差数列的通项关于的一次函数的前项和（注意没有常数项）高频考点三：等差数列的性质及其应用（角度1：等差数列的性质）典型例题例题1．（24-25高三上·甘肃白银·阶段练习）已知等差数列的前10项和为100，且，则（

）A．5 B．10 C．15 D．20【答案】C【知识点】利用等差数列的性质计算、等差数列前n项和的基本量计算、等差中项的应用【分析】利用等差中项可知，根据等差数列求和公式运算求解.【详解】因为为等差数列，则，即，又因为，可得，所以．故选：C.例题2．（2024·辽宁·模拟预测）记等差数列的前n项和为，若，，则（

）A．60 B．80 C．140 D．160【答案】C【知识点】求等差数列前n项和、等差数列通项公式的基本量计算、利用等差数列的性质计算【分析】根据给定条件，求出等差数列的公差及首项，再利用前n项和公式计算即得.【详解】等差数列中，，而，则，公差，，所以.故选：C练透核心考点1．（24-25高三上·广西南宁·开学考试）已知等差数列的前项和为，若，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【知识点】利用等差数列的性质计算、求等差数列前n项和【分析】由条件结合等差数列性质求，再结合等差数列求和公式和性质求.【详解】因为数列为等差数列，所以，又，所以，所以，又，所以.故选：D.2．（2023·四川·模拟预测）已知等差数列的前项和为，且，则（

）A．36 B．48 C．52 D．66【答案】D【知识点】利用等差数列的性质计算、求等差数列前n项和【分析】根据等差数列性质及求和公式进行计算即可.【详解】由，得，得.故选：D高频考点四：等差数列的性质及其应用（角度2：等差数列前n项和的性质）典型例题例题1．（23-24高二下·山东潍坊·期中）已知等差数列的前项和为，若，，则（

）A．54 B．63 C．72 D．135【答案】B【知识点】求等差数列前n项和、等差数列片段和的性质及应用【分析】首先根据题意得到，，为等差数列，再根据等差中项的性质即可得到答案.【详解】因为是等差数列，所以，，为等差数列，即成等差数列，所以，解得.故选：B例题2．（2024高二·全国·专题练习）已知是等差数列的前n项和，若，，则等于（）A．﹣4040 B．﹣2024 C．2024 D．4040【答案】B【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、前n项和与n的比所组成的等差数列、利用定义求等差数列通项公式【分析】根据等差数列前n项和的性质，结合等差数列的通项公式进行求解即可.【详解】是等差数列的前n项和，则数列是等差数列．，，则数列的公差，首项为，，．故选：B．例题3．（23-24高二下·辽宁大连·阶段练习）已知等差数列的前项和分别为与，且，则（

）A． B． C． D．【答案】A【知识点】两个等差数列的前n项和之比问题【分析】利用等差数列的求和公式及性质可得答案.【详解】因为均为等差数列，所以，因为，所以.故选：A例题4．（2024高三·全国·专题练习）已知、是等差数列、的前n项和，且，求.【答案】.【知识点】等差数列前n项和的基本量计算、两个等差数列的前n项和之比问题、由Sn求通项公式【分析】根据等差数列的前项和公式的二次函数结构，可设，结合，即可求解.【详解】若等差数列的公差有为零，不符合题意；所以等差数列、的公式均不为，由等差数列的前项和公式知，即等差数列的前项和公式知是关于的二次函数，因为，可设，（其中），可得，所以.故答案为：.练透核心考点1．（23-24高二上·河北唐山·期末）记是等差数列的前n项和，若，，则（

）A．27 B．36 C．45 D．78【答案】D【知识点】求等差数列前n项和、等差数列片段和的性质及应用【分析】根据等差数列an的前n项和的性质：对于，,成等差数列，取,列出方程组求解即得.【详解】因是等差数列an的前n项和，则成等差数列，于是，代入，，解得：，又,代入上述值，解得：.故选：D.2．（23-24高二下·云南·期中）设数列和都为等差数列，记它们的前项和分别为和，满足，则（

）A． B． C． D．【答案】B【知识点】利用等差数列的性质计算、两个等差数列的前n项和之比问题【分析】由等差数列前项和公式及下标和定理计算即可．【详解】数列和都为等差数列，且，则，故选：B．3．（24-25高二上·全国·课后作业）在等差数列中，，其前n项和为，若，则．【答案】【知识点】前n项和与n的比所组成的等差数列、利用等差数列通项公式求数列中的项【分析】由等差数列前n项和的性质,知也为等差数列，由题意得其公差，，根据等差数列的通项公式可得，即可求解.【详解】由等差数列前n项和的性质可知，数列也为等差数列，设其公差为d，则由，可得，即．又，所以，所以．故答案为：.4．（23-24高二上·贵州黔东南）设两个等差数列和的前项和分别为和，且，则.【答案】【知识点】两个等差数列的前n项和之比问题【分析】设，则，可求得、的值，即可得解.【详解】设，则，则，，则.故答案为：.高频考点五：等差数列的性质及其应用（角度3：等差数列的最值问题）典型例题例题1．（23-24高二上·安徽阜阳·阶段练习）已知数列是等差数列，且，.(1)求的通项公式；(2)若数列的前n项和为，求的最小值及取得最小值时n的值.【答案】(1)(2)取最小值为，或【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、求等差数列前n项和的最值、求等差数列前n项和【分析】（1）设出等差数列的首项和公差，由题意列式求出首项和公差，则等差数列的通项公式可求；（2）写出等差数列的前n项和，利用配方法求得的最小值并求得使取得最小值时n的取值．【详解】（1）设的公差为d，则，解得，所以.（2），所以当或时，取得最小值，最小值为.例题2．（23-24高二下·全国·课后作业）数列是等差数列，，．(1)从第几项开始有？(2)求此数列的前项和的最大值．【答案】(1)(2)2108.4【知识点】求等差数列前n项和的最值、利用等差数列通项公式求数列中的项、利用定义求等差数列通项公式【分析】（1）求出数列的通项公式，解不等式即可；（2）方法1：根据等差数列前项和的性质即可求此数列的前项和结合配方法求最大值即可；方法2：结合（1）知，，则有，从而根据数列的前项和即可求解．【详解】（1）因为，，所以．令，则．由于，故当时，，即从第项开始各项均小于；（2）方法1：．当取最接近于的自然数，即时，取到最大值．方法2：因为，，由（1），知，，所以，且．所以．【点睛】解决此类问题有两种思路：一是利用等差数列的前项和公式，可用配方法求最值，也可用顶点坐标法求最值；二是依据等差数列的通项公式，当时，数列一定为递增数列，当时，数列一定为递减数列．所以当，且时，无穷等差数列的前项和有最大值，其最大值是所有非负项的和；当，且时，无穷等差数列的前项和有最小值，其最小值是所有非正项的和，求解非负项是哪一项时，只要令即可．练透核心考点1．（23-24高二下·贵州遵义·期末）数列的前n项和记为，已知，．(1)求证：是等差数列；(2)若，，成等比数列，求的最大值．【答案】(1)证明见详解(2)【知识点】由递推关系证明数列是等差数列、求等差数列前n项和的最值、等比中项的应用、利用an与sn关系求通项或项【分析】（1）用与的关系式即可证明；（2）利用等比中项的性质结合（1）的结论可求得，由等差数列的前项和公式可得，利用二次函数的对称性和最值可得的最大值.【详解】（1）①，当时，②，得：，即，即，且.是公差为的等差数列.（2）由（1）知是公差为的等差数列，，又，，成等比数列，，，即，故，解得.，，二次函数的对称轴为，，当或时取到最大值为.故的最大值为.2．（23-24高二上·广东深圳）已知等差数列中，，.(1)求的通项公式；(2)若的前项和为，求的最大值.【答案】(1)(2)2020【知识点】求等差数列前n项和的最值、等差数列通项公式的基本量计算【分析】（1）计算，得到等差数列公差，得到通项公式.（2）计算，根据二次函数性质得到最值.【详解】（1），，设的公差为，，所以，.（2）（法一），所以是单调递减数列，因为，设的前项和最大，则，即或，的最大值为.（法二），，的前项和为，即，对称轴，所以或时取最大值