人教版2024-2025学年八年级数学专题11.4双角平分线模型(压轴题专项讲练)专题特训(学生版+解析)

专题11.4双角平分线模型1．（23-24七年级下·四川宜宾·期末）如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的角平分线交于点D，且∠EBC=25∠ABC、∠ECB=25∠ACB，则A．5∠E−4∠D=180° B．5∠D−4∠E=180°C．5∠E−4∠D=90° D．5∠D−4∠E=90°2．（23-24七年级下·山东烟台·期末）如图，在△ABC中，∠A=90°，BE，CD分别平分∠ABC和∠ACB，且相交于F，EG∥BC，CG⊥EG于点G，则下列结论：①∠CEG=2∠DCA；②∠DFE=130°；③∠EFC=12∠G：④∠ADC=∠GCDA．①③④⑤ B．①②③④ C．①②③ D．①③④3．（23-24七年级下·广东广州·阶段练习）如图，四边形ABCD中，AB∥CD,AD∥BC,∠ABC的平分线交AD于点E，∠DCE的平分线交BE于点F，下列结论：①∠1=∠2；②∠F=∠1+∠3；③CE⊥BF；④若CE⊥BF，则∠4=2∠3．其中正确的结论有（

）．A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④4．（23-24七年级上·河南洛阳·期末）如图，AB∥CD，EG、EM、FM分别平分∠AEF、∠BEF、∠EFD，有下列结论：①∠EMF=90°；②GE⊥ME；③FM∥GE；④∠EGF与A．1 B．2 C．3 D．45．（23-24七年级下·黑龙江鸡西·期末）如图，AB⊥BC，AE平分∠BAD交BC于点E，AE⊥DE，∠1+∠2=90°，M，N分别是BA，CD延长线上的点，∠EAM和∠EDN的平分线交于点F．下列结论：①AB∥CD；②∠AEB+∠ADC=180°；③DE平分∠ADC；④∠F为定值．其中结论正确的有（）A．①③④ B．①②④ C．①②③ D．①②③④6．（23-24七年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，∠ABD、∠ACD的角平分线交于点P，若∠A>∠D,∠ACD−∠ABD=64°，∠P=18°，则∠A的度数为．7．（23-24七年级下·江西景德镇·期末）已知△ABC，∠A=80°，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，过点O作BC的平行线分别交AB，AC于点F，E．则∠EOB与8．（23-24七年级下·四川宜宾·期末）如图，△ABC中，点P是BA延长线上的一点，PD⊥CB于点D,∠BCA的平分线与∠BPD的平分线交于点F．当∠BAC=50°时，则∠PFC的度数为．

9．（23-24七年级下·湖北孝感·期中）如图，直线EF∥MN，点A，B分别是EF，MN上的动点，点G在MN上，∠ACB=m°，∠AGB和∠CBN的角平分线交于点D，若∠D=52°，则m的值为．

10．（23-24七年级下·广东河源·期末）如图，在△ABC中，AE，BF是角平分线，它们相交于点O．

（1）若∠C=72°，则∠AOB的度数为_______；（2）猜想∠AOB的度数与∠C的度数存在的数量关系，并说明理由．11．（24-25八年级上·全国·课后作业）已知∠MON，点A，B分别在射线ON，OM上移动（不与点O重合），AD平分∠BAN，BC平分∠ABM，AD（或其反向延长线）与（1）如图①，若∠MON=90°，试猜想∠ACB的度数，并直接写出结果；（2）如图②，若∠MON=α，问：当点A，B在射线ON，OM上运动的过程中，12．（23-24八年级上·吉林四平·阶段练习）【感知】（1）如图①，线段AB,CD相交于点O，连接AC,BD．求证：∠A+∠C=∠B+∠D；【探究】（2）如图②，分别作图①中∠CAB和∠BDC的平分线AP和DP相交于点P，且与CD,AB分别相交于点M、N．若∠B=70°,∠C=100°，求∠P的度数；【应用】（3）如图③，分别作图①中∠CAB和∠BDC的内部作射线AP和DP相交于点P，与CD,AB分别相交于点M、N，且使∠CAP=13∠BAC,∠CDP=13∠BDC．若13．（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，在△ABC中∠A=60°．

（1）∠ABC，∠ACB的角平分线相交于点P，求（2）∠ABC，∠ACB的三等分线分别相交于点P1（3）∠ABC，∠ACB的n等分线分别相交于点P1,P2,…Pn−1，则∠BP1C=________（结果用含n的式子表示），14．（23-24八年级上·河南郑州·期末）如图①，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P．

（1）若∠A=60°，则∠BPC的度数是；（2）如图②，作△ABC外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q，试探索∠Q，∠A之间的数量关系；（3）如图③，延长线段BP，QC交于点E，在△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，求∠A的度数．15．（2024七年级下·江苏·专题练习）如图，点A、B分别在∠MON的边OM、ON上运动（不与点O重合），BC是∠ABN的平分线，BC的反向延长线交∠OAB的平分线于点D．（1）如图（1）当∠MON=90°，∠OAB=60°时，∠D=°．（2）如图（2）当∠D=60°时，∠MON=°．（3）在解题过程中，你认为∠D与∠MON是否有数量关系，如有请写出关系式并说明理由．16．（23-24七年级上·江苏盐城·期中）已知ON⊥GM于点O，直线CD交ON于点B，点A在射线OM上．（1）如图1，若CD⊥AB于点B，AE平分∠OAB，交CD于点E，交ON于点F，求证：∠BEF=∠BFE；（2）如图2，若CD平分∠NBA，OE平分∠BOG交CD于点E，∠OAB=58°，则∠OEB的度数为________．（3）如图3，若CD平分∠NBA，OE平分∠BOG交CD于点E，BF平分∠OBA交OE反向延长线于点F，在△BEF中，如果一个角是另一个角的3倍，请求出∠BAO的度数．17．（23-24七年级下·江苏无锡·阶段练习）已知∠MON=90°，点A、B分别在OM、ON上运动（不与点O重合）．（1）如图1，AE、BE分别是∠BAO和∠ABO的平分线，随着点A、B的运动，∠AEB__________．（2）如图2，已知AB不平行于CD，AD、BC分别是∠BAP和∠ABM的平分线，DE、CE分别是∠ADC和∠BCD的平分线，点A、B在运动的过程中，∠CED的度数将不发生变化，∠CED=．（3）如图3，延长BA至G，已知∠BAO、∠OAG的平分线与∠BOQ的平分线及其延长线相交于E、F，在△AEF中，如果有一个角是另一个角的3倍，试求∠ABO的度数．18．（23-24七年级下·四川成都·期中）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，连接BE、CD，且∠EBA+∠ACD=∠BAC．（1）证明：BE∥CD；（2）若∠E=82°，∠A=44°，求∠D的度数；（3）作∠BEC与∠BDC的角平分线交于点G，探究∠BAC、∠EGD的数量关系，并证明你的结论．19．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）已知：如图，在△ABC中，P为△ABC内一点，BP平分∠ABC，CP平分∠ACP．

（1）如图1，当∠A=100°时，则∠BPC的度数为__________．（2）如图2，过C作CQ⊥CP，交BP延长线于点Q，求证：∠Q=1（3）如图3，在（2）的条件下，过C作CM⊥PQ，延长CM与BA延长线交于点N，若∠ABP=57∠HCM，且∠AHQ−5∠PCB=∠ABC20．（23-24七年级下·辽宁大连·阶段练习）（1）如图1，在△ABC中，点M在CB延长线上，点N在线段AC上，连接MN交AB于点D，∠BAN和∠CMN的平分线交于点P．①若∠C=60°，∠BDN=140°，请你测量∠P的度数为______；猜想出∠C、∠BDN和∠P之间的数量关系为______；②请写出求∠P度数的过程．（2）如图2，在△ABC中，点M在线段CB上，点N在CA延长线上，连接MN交AB于点D，∠BAN和∠BMN的平分线交于点P，求∠C、∠BDN和∠P之间的数量关系．专题11.4双角平分线模型1．（23-24七年级下·四川宜宾·期末）如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的角平分线交于点D，且∠EBC=25∠ABC、∠ECB=25∠ACB，则A．5∠E−4∠D=180° B．5∠D−4∠E=180°C．5∠E−4∠D=90° D．5∠D−4∠E=90°【思路点拨】本题考查了角平分线定义，三角形内角和，掌握这两个知识点是关键；由角平分线定义及三角形内角和得∠D=90°+12∠A．再由∠EBC=25∠ABC、【解题过程】解：∵BD、CD分别是∠ABC与∠ACB的角平分线，∴∠DBC=1∴∠DBC+∠DCB=1∴∠D=180°−(∠DBC+∠DCB)=90°+1∵∠EBC=25∴∠EBC+∠ECB=2∴∠E=180°−(∠EBC+∠ECB)=3∵∠D=90°+1∴∠A=2∠D−180°，∴∠E=3整理得：5∠E−4∠D=180°．故选：D．2．（23-24七年级下·山东烟台·期末）如图，在△ABC中，∠A=90°，BE，CD分别平分∠ABC和∠ACB，且相交于F，EG∥BC，CG⊥EG于点G，则下列结论：①∠CEG=2∠DCA；②∠DFE=130°；③∠EFC=12∠G：④∠ADC=∠GCDA．①③④⑤ B．①②③④ C．①②③ D．①③④【思路点拨】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，熟知平行线的性质，角平分线的定义是解题的关键．根据平行线的性质与角平分线的定义即可判断①；只需要证明∠ADC+∠ACD=90°，∠GCD+∠BCD=90°，即可判断④；根据角平分线的定义和三角形内角和定理先推出∠BFC=135°，即可判断②③；根据现有条件无法推出⑤．【解题过程】解：∵CD平分∠ACB，∴∠ACB=2∠DCA，∠ACD=∠BCD∵EG∥∴∠CEG=∠ACB=2∠DCA，故①正确；∵∠A=90°，CG⊥EG，EG∥∴∠ADC+∠ACD=90°，CG⊥BC，即∠BCG=90°，∴∠GCD+∠BCD=90°，又∵∠BCD=∠ACD，∴∠ADC=∠GDC，故④正确；∵∠A=90°，∴∠ABC+∠ACB=90°，∵BE，CD分别平分∠ABC，∠ACB，∴∠FBC=1∴∠BFC=180°−∠FBC−∠FCB=180°−1∴∠EFC=180°−∠BFC=45°，∵CG⊥EG∴∠G=90°，∴∠EFC=1∵∠BFC=135°，∴∠DFE=∠BFC=135°，故②错误；∵∠G=90°∴△EGC是直角三角形，根据现有条件，无法推出CG=CE，即无法得到△EGC是等腰直角三角形，故⑤错误；∴正确的有①③④，故选：D．3．（23-24七年级下·广东广州·阶段练习）如图，四边形ABCD中，AB∥CD,AD∥BC,∠ABC的平分线交AD于点E，∠DCE的平分线交BE于点F，下列结论：①∠1=∠2；②∠F=∠1+∠3；③CE⊥BF；④若CE⊥BF，则∠4=2∠3．其中正确的结论有（

）．A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④【思路点拨】本题考查的是角平分线的定义，平行线的性质，三角形的内角和定理的应用，熟练的利用以上知识解决问题是关键；先证明∠2=∠FBC，∠1=∠FBC，可判断①，由∠ABC+∠BCD=180°，∠FBC+∠F+∠FCB=180°可判断②，由CE⊥BF可得∠ECB=12∠DCB【解题过程】解：∵AD∥∴∠2=∠FBC，∵∠ABC的平分线交AD于点E，∴∠1=∠FBC，∴∠1=∠2，故①符合题意；∵AB∥∴∠ABC+∠BCD=180°，∴∠1+∠FBC+∠FCB+∠3=180°，∵∠FBC+∠F+∠FCB=180°，∴∠F=∠1+∠3，故②符合题意；∵∠ABC+∠BCD=180°，∴12若CE⊥BF，∴∠EBC+∠ECB=90°，而∠EBC=1∴∠ECB=1由③可得：当CE⊥BF，∴∠ECB=1∵CF平分∠DCE，∴∠3=∠ECF=1∴∠ECB=2∠3，∵AD∥∴∠4=∠ECB，∴∠4=2∠3，故④符合题意；故选C4．（23-24七年级上·河南洛阳·期末）如图，AB∥CD，EG、EM、FM分别平分∠AEF、∠BEF、∠EFD，有下列结论：①∠EMF=90°；②GE⊥ME；③FM∥GE；④∠EGF与A．1 B．2 C．3 D．4【思路点拨】由两直线平行，同旁内角互补，及角平分线的定义，可得∠MEF+∠EFM=90°，根据三角形内角和定理，即可判断①正确，由角平分线的定义，和平角的定义，即可判断②正确，由①②的结论，根据同旁内角互补，两直线平行，即可判断③正确，由②的结论，∠BEM+∠AEG=90°，根据两直线平行同位角相等，得到∠AEG=∠EGF，根据等角的余角相等，即可判断④正确，本题考查了，平行线的性质与判定，交平分线的定义，等角的余角相等，三角形内角和定理，解题的关键是：熟练掌握相关性质定理．【解题过程】解：∵AB∥∴∠BEF+∠DFE=180°，∵EM、FM分别平分∠BEF、∠EFD，∴∠BEM=∠MEF=12∠BEF∴∠MEF+∠EFM=1∴∠M=180°−∠MEF+∠EFM∵EG平分∠AEF，∴∠AEG=∠GEF=1∴∠GEF+∠MEF=1∴∠GEM=90°，∴GE⊥ME，故②正确，∵∠GEM=∠M=90°，∴∠GEM+∠M=180°，∴FM∥∵∠GEM=90°，∴∠BEM+∠AEG=180°−∠GEM=90°，∵AB∥∴∠AEG=∠EGF，∴∠BEM+∠EGF=90°，∴∠EGF与∠BEM互余，故④正确，综上所述，其中正确的个数是4个，故选：D．5．（23-24七年级下·黑龙江鸡西·期末）如图，AB⊥BC，AE平分∠BAD交BC于点E，AE⊥DE，∠1+∠2=90°，M，N分别是BA，CD延长线上的点，∠EAM和∠EDN的平分线交于点F．下列结论：①AB∥CD；②∠AEB+∠ADC=180°；③DE平分∠ADC；④∠F为定值．其中结论正确的有（）A．①③④ B．①②④ C．①②③ D．①②③④【思路点拨】本题考查了角平分线的定义、平行线的判定与性质、三角形内角和定理，求出∠B+∠C=180°，即可判断①；求出∠AEB+∠ADC≠180°即可判断②；求出∠EDA=∠2，即可判断③；求出∠EAF+∠EDF=12∠EAM+∠EDN【解题过程】解：∵AB⊥BC，AE⊥DE，∴∠1+∠AEB=90°=∠AEB+∠DEC，∴∠1=∠DEC，∵∠1+∠2=90°，∴∠DEC+∠2=90°，∴∠C=90°，∴∠B+∠C=180°，∴AB∥CD，故①正确；∴∠BAD+∠ADC=180°，∵∠AEB≠∠EAD，∴∠AEB+∠ADC≠180°，故②错误；∵AE平分∠BAD交BC于E，∴∠EAD=∠1=1∵∠EAD+∠EDA=90°，∠1+∠2=90°，∴∠EDA=∠2，∴DE平分∠ADC，故③正确；∵∠EAM和∠EDN的平分线交于点F，∴∠EAF=∠MAF=12∠EAM∵∠1+∠2=90°，∠1+∠EAM=180°，∠2+∠EDN=180°，∴∠EAM+∠EDN=270°，∴∠EAF+∠EDF=1∴∠F=360°−∠EAF−∠EDF−∠AED=135°，为定值，故④正确；综上所述，正确的有①③④，故选：C．6．（23-24七年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，∠ABD、∠ACD的角平分线交于点P，若∠A>∠D,∠ACD−∠ABD=64°，∠P=18°，则∠A的度数为．【思路点拨】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的性质．根据角平分线的定义可得∠1=∠2，∠3=∠4，再根据三角形的内角和定理可得∠A+∠1=∠P+∠3，根据∠ACD−∠ABD=64°，可推出∠3−∠1=32°，又因为∠P=18°【解题过程】解：如图，∵∠ABD，∠ACD的角平分线交于点P，∴∠1=∠2，∠3由三角形的内角和定理得，∠A+∠1=∠P+∠3，∵∠ACD−∠ABD=64°，即∠3+∠4−∠1−∠2=64°，∴∠3−∠1=32°，∵∠P=18°，∴∠A=∠P+∠3−∠1=18°+32°=50°，故答案为：50°．7．（23-24七年级下·江西景德镇·期末）已知△ABC，∠A=80°，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，过点O作BC的平行线分别交AB，AC于点F，E．则∠EOB与【思路点拨】本题考查了三角形内角和定理，三角形角平分线的性质，平行的性质，由∠A=80°可得∠ABC+∠ACB=100°，，再根据角平分线的性质可得∠OBC=12∠ABC，∠OCB=，由平行线的性质可得∠EOB=180°−∠OBC，∠COF=180°−∠OCB，两角相加即可求解，掌握三角形角平分线的性质是解题的关键．【解题过程】解：∵∠A=80°，∴∠ABC+∠ACB=180°−80°=100°，∵BO、CO分别是∠ABC和∠ACB的平分线，∴∠OBC=12∠ABC∴∠OBC+∠OCB=1∵EF∥∴∠EOB+∠OBC=180°，∠COF+∠OCB=180°，∴∠EOB=180°−∠OBC，∠COF=180°−∠OCB，∴∠EOB+∠COF=180°−∠OBC+180°−∠OCB=360°−∠OBC+∠OCB故答案为：310°．8．（23-24七年级下·四川宜宾·期末）如图，△ABC中，点P是BA延长线上的一点，PD⊥CB于点D,∠BCA的平分线与∠BPD的平分线交于点F．当∠BAC=50°时，则∠PFC的度数为．

【思路点拨】如图所示，设PD交CF于点Q，根据PD⊥CB可求出∠BPD,∠PQF的关系，根据角平分线的性质可得∠DPF,∠BCF的关系，由此可得∠PQF，根据三角形内角和定理即可求解．【解题过程】解：如图所示，设PD交CF于点Q，

∵PD⊥CB，∴∠BPD=90°−∠B，∠PQF=∠CQD=90°−∠BCF，∵PF平分∠BPD，∴∠DPF=1∵CF平分∠BCA，∴∠BCF=1∵∠BCA=180°−∠BAC−∠B=180°−50°−∠B=130°−∠B，∴∠BCF=1∴∠PQF=90°−∠BCF=90°−1∵∠PFC+∠PQF+∠DPF=180°，∴∠PFC=180°−∠PQF−∠DPF=180°−90°−故答案为：110°．9．（23-24七年级下·湖北孝感·期中）如图，直线EF∥MN，点A，B分别是EF，MN上的动点，点G在MN上，∠ACB=m°，∠AGB和∠CBN的角平分线交于点D，若∠D=52°，则m的值为．

【思路点拨】先由平行线的性质得到∠ACB=∠5+∠1+∠2，再根据三角形内角和定理和角平分线的定义求出m的值．【解题过程】解：过点C作CH∥MN，∵CH∥MN，∴∠6=∠5，∠7=∠1+∠2，∵∠ACB=∠6+∠7，∴∠ACB=∠5+∠1+∠2，∵∠D=52°，∴∠1+∠5+∠3=180°−52°=128°，由题意可得GD为∠AGB的角平分线，BD为∠CBN的角平分线，∴∠1=∠2，∠3=∴m°=∠1+∠2+∠5=2∠1+∠5，∠4=180°−∠5+∠3∴∠3=∠4=∠1+52°，∴∠1+∠5+∠3=∠1+∠5+∠1+52°=2∠1+∠5+52°=m°+52°，∴m°+52°=128°，∴m=76．故答案为：76．10．（23-24七年级下·广东河源·期末）如图，在△ABC中，AE，BF是角平分线，它们相交于点O．

（1）若∠C=72°，则∠AOB的度数为_______；（2）猜想∠AOB的度数与∠C的度数存在的数量关系，并说明理由．【思路点拨】本题主要考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，熟知三角形内角和为180度是解题的关键．（1）先由三角形内角和为180度求出∠CBA+∠CAB=108°，再由角平分线的定义推出∠OBA+∠OAB=54°，则由三角形内角和定理可得∠AOB=180°−∠OAB−∠OBA=126°．（2）根据角平分线的定义得出∠OBA=12∠CBA【解题过程】（1）解：∵在△ABC中，∠C=72°，∴∠CBA+∠CAB=180°−∠C=108°，∵AE，BF是角平分线，它们相交于点∴∠OBA=1∴∠OBA+∠OAB=1∴∠AOB=180°−∠OAB−∠OBA=126°；（2）解：在△ABC中，∠CBA+∠CAB=180°−∠C，∵AE，BF是角平分线，它们相交于点∴∠OBA=1∴∠OBA+∠OAB====90°−1∴∠AOB=180°−=180°−=90°+111．（24-25八年级上·全国·课后作业）已知∠MON，点A，B分别在射线ON，OM上移动（不与点O重合），AD平分∠BAN，BC平分∠ABM，AD（或其反向延长线）与（1）如图①，若∠MON=90°，试猜想∠ACB的度数，并直接写出结果；（2）如图②，若∠MON=α，问：当点A，B在射线ON，OM上运动的过程中，【思路点拨】本题考查了与角平分线有关的三角形内角和问题，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．（1）由角平分线的定义得出∠NAD=∠BAD=12∠BAN，∠ABC=∠MBC=12（2）由角平分线的定义得出∠NAD=∠BAD=12∠BAN，∠ABC=∠MBC=12【解题过程】（1）解：∵AD平分∠BAN，BC平分∠ABM，∴∠NAD=∠BAD=12∠BAN∵∠BAO+∠ABO=180°−∠AOB=90°，∴∠CAB+∠CBA=1∴∠ACB=180°−135°=45°．（2）解：∠ACB的度数不改变．∵AD平分∠BAN，BC平分∠ABM，∴∠NAD=∠BAD=12∠BAN∵∠BAO+∠ABO=180°−∠AOB=180°−α，∴∠CAB+∠CBA=1∴∠ACB=180°−∠CAB+∠CBA12．（23-24八年级上·吉林四平·阶段练习）【感知】（1）如图①，线段AB,CD相交于点O，连接AC,BD．求证：∠A+∠C=∠B+∠D；【探究】（2）如图②，分别作图①中∠CAB和∠BDC的平分线AP和DP相交于点P，且与CD,AB分别相交于点M、N．若∠B=70°,∠C=100°，求∠P的度数；【应用】（3）如图③，分别作图①中∠CAB和∠BDC的内部作射线AP和DP相交于点P，与CD,AB分别相交于点M、N，且使∠CAP=13∠BAC,∠CDP=13∠BDC．若【思路点拨】本题考查了三角形内角和、有关角平分线的计算，解题的关键是灵活运用“8字形”求解．（1）利用三角形内角和定理和对顶角相等即可证明；（2）根据角平分线的定义得到∠CAP=∠BAP，∠BDP=∠CDP，再根据“8字形”得到∠CAP+∠C=∠CDP+∠P,∠BAP+∠P=∠BDP+∠B，两等式相减得到∠C−∠P=∠P−∠B，即∠P=1（3）根据∠CAP=13∠CAB,∠CDP=13∠CDB，可得【解题过程】（1）证明：在△AOC中，∠A+∠C=180°−∠AOC，在△BOD中，∠B+∠D=180°−∠BOD，∵∠AOC=∠BOD，∴∠A+∠C=∠B+∠D；（2）解：∵∠CAB和∠BDC的平分线AP和DP相交于点P，∴∠CAP=∠BAP,∠BDP=∠CDP，∵∠CAP+∠C=∠CDP+∠P①，∠BAP+∠P=∠BDP+∠B②，由①−②，得：即∠P=1∵∠B=70°,∠C=100°，∴∠P=1（3）∵∠CAP=1∴∠BAP=23∠BAC∵∠CAP+∠C=∠CDP+∠P，∠BAP+∠P=∠BDP+∠B，∴∠C−∠P=13∠BDC−∴2∠C−∠P∴∠P=1∵∠B=70°,∠C=100°，∴∠P=113．（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，在△ABC中∠A=60°．

（1）∠ABC，∠ACB的角平分线相交于点P，求（2）∠ABC，∠ACB的三等分线分别相交于点P1（3）∠ABC，∠ACB的n等分线分别相交于点P1,P2,…Pn−1，则∠BP1C=________（结果用含n的式子表示），【思路点拨】（1）根据三角形的内角和定理即可求出∠ABC+∠ABC，然后根据角平分线的定义即可求出∠PBC+∠PCB，再根据三角形的内角和定理即可求出结论；（2）根据三角形的内角和定理即可求出∠ABC+∠ABC，然后根据三等分线的定义即可求出∠P（3）根据三角形的内角和定理即可求出∠ABC+∠ABC，然后根据n等分线的定义即可求出∠P【解题过程】（1）解：∵在△ABC中，∠A=60°，∴∠ABC+∠ABC=180°−∠A=120°，∵∠ABC和∠ACB的角平分线交于点P，∴∠PBC=12∠ABC，∠PCB=12∴∠PBC+∠PCB=12∠ABC+12=12=60°，∴∠BPC=180°−(∠PBC+∠PCB)=120°，故答案为：120°．（2）∵在△ABC中，∠A=60°，∴∠ABC+∠ABC=180°−∠A=120°，∵∠ABC和∠ACB的三等分线分别对应交于点P1，P∴∠P1∴∠==40°，∴∠BP1∵∠ABC和∠ACB的三等分线分别对应交于点P1，P∴∠P2BC=23∠ABC，∠∴∠P2BC+∠P2CB=2=23=80°，∴∠BP2（3）∵在△ABC中，∠A=60°，∴∠ABC+∠ABC=180°−∠A=120°∵∠ABC和∠ACB的n等分线分别对应交于点P1，P2，……∴∠∴∠B∴∠Pn−1BC=n−1n∠ABC，∠∴∠Pn−1BC+∠Pn−1CB=n−1=n−1n=∴∠∴∠BPk故答案为：180°−120°n14．（23-24八年级上·河南郑州·期末）如图①，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P．

（1）若∠A=60°，则∠BPC的度数是；（2）如图②，作△ABC外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q，试探索∠Q，∠A之间的数量关系；（3）如图③，延长线段BP，QC交于点E，在△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，求∠A的度数．【思路点拨】（1）根据角平分线定义及三角形内角和定理得∠PBC+∠PCB=12∠ABC+∠ACB=12180°−∠A（2）由三角形的外角定理及三角形三角形内角和定理得∠MBC+∠NCB=180°+∠A，再由角平分线定义得∠QBC+∠QCB=12∠MBC+∠NCB=90°+1（3）先求出∠EBQ=90°，根据∠Q=90°−12∠A此题主要考查了三角形的内角和定理，三角形的外角定理，角平分线定义，熟练掌握三角形的内角和定理，三角形的外角定理，理解角平分线定义是解题的关键．【解题过程】（1）在△ABC中，∠ABC+∠ACB=180°−∠A，∵∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P，∴PBC=12∠ABC∴∠PBC+∠PCB=1∴∠BPC=180°−∵∠A=60°，∴∠BPC=90°+1故答案为：120°；（2）∠Q，∠A之间的数量关系是∠Q=90°−1∵∠MBC=∠ACB+∠A，∠NCB=∠ABC+∠A，∠ACB+∠A+∠ABC=180°，∴∠MBC+∠NCB=∠ACB+∠A+∠ABC+∠A=180°+∠A，∵点Q是∠MBC和∠NCB的角平分线的交点，∴∠QBC=1∴∠QBC+∠QCB=1∴∠Q=180°−∠QBC+∠QCB∴∠Q，∠A之间的数量关系是∠Q=90°−1（3）∵PB平分∠ABC,BQ平分∠MBC，∠ABC+∠MBC=180°，∴∠PBC=12∠ABC∴∠PBC+∠QBC=1即∠EBQ=90°，∴∠E+∠Q=90°，由（2）可知:∠Q=90°−1∴∠E+90∴∠A=2∠E，如果在△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，那么有以下四种情况：①当∠EBQ=3∠E时,则3∠E=90°，∴∠E=30°，此时∠A=2∠E=60°，②当∠EBQ=3∠Q时，则3∠Q=90°，∴∠Q=30°，则∠E=60°，此时∠A=2∠E=120°，③当∠Q=3∠E时，则∠E+3∠E=90°，∴∠E=22.5°，此时∠A=2∠E=45°，④当∠E=3∠Q时，则3∠Q+∠Q=90°，∴∠Q=22.5°，∴∠E=67.5°，此时∠A=2∠E=135°，综上所述，∠A的度数是45°或60°或120°或135°．15．（2024七年级下·江苏·专题练习）如图，点A、B分别在∠MON的边OM、ON上运动（不与点O重合），BC是∠ABN的平分线，BC的反向延长线交∠OAB的平分线于点D．（1）如图（1）当∠MON=90°，∠OAB=60°时，∠D=°．（2）如图（2）当∠D=60°时，∠MON=°．（3）在解题过程中，你认为∠D与∠MON是否有数量关系，如有请写出关系式并说明理由．【思路点拨】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，熟练掌握三角形的内角和定理是解题的关键．（1）根据三角形的内角和定理和角平分线的定义即可得到结论；（2）根据三角形的内角和定理和角平分线的定义即可得到结论；（3）由（2）的思路可得结论．【解题过程】（1）解：∵∠AOB=90°，∠BAO=60°，∴∠ABO=30°，∴∠ABN=150°，∵BC是∠ABN的平分线，∴∠OBD=∠CBN=1∵AD平分∠BAO，∴∠DAB=30°，∴∠D=180°−∠ABD−∠BAD−∠AOB=180°−75°−30°−30°=45°，（2）设∠BAD=α，∠MON=β，∵AD平分∠BAO，∴∠BAO=2α，∴∠ABN=180°−∠ABO=∠AOB+∠BAO=β+2α，∵BC平分∠ABN，∴∠ABC=1∵∠ABC=180°−∠ABD=∠D+∠BAD，∴∠D=∠ABC−∠BAD=1∴β=120°．（3）∠D=1设∠BAD=α，∵AD平分∠BAO，∴∠BAO=2α，设∠MON=β，∴∠ABN=180°−∠ABO=∠AOB+∠BAO=β+2α，∵BC平分∠ABN，∴∠ABC=1∵∠ABC=180°−∠ABD=∠D+∠BAD，∴∠D=∠ABC−∠BAD=116．（23-24七年级上·江苏盐城·期中）已知ON⊥GM于点O，直线CD交ON于点B，点A在射线OM上．（1）如图1，若CD⊥AB于点B，AE平分∠OAB，交CD于点E，交ON于点F，求证：∠BEF=∠BFE；（2）如图2，若CD平分∠NBA，OE平分∠BOG交CD于点E，∠OAB=58°，则∠OEB的度数为________．（3）如图3，若CD平分∠NBA，OE平分∠BOG交CD于点E，BF平分∠OBA交OE反向延长线于点F，在△BEF中，如果一个角是另一个角的3倍，请求出∠BAO的度数．【思路点拨】（1）根据ON⊥GM，CD⊥AB，可得∠BEF+∠BAE=90°=∠OAE+∠AFO，再结合角平分线的定义可得∠BEF=∠AFO，然后根据对顶角相等，即可求证；（2）根据直角三角形两锐角互余可得∠ABO=32°，再由邻补角可得∠ABN=148°，从而得到∠ABC=12∠ABN=74°，进而得到∠OBE=180°−∠ABO−∠ABC=74°（3）根据题意可得∠CBF=∠ABC+∠ABF=12∠ABN+∠ABO=90°，从而得到∠F+∠BEF=90°，再由三角形内角和定理，可得∠BOE=∠F+∠OBF=45°，从而得到∠F<45°，∠BEF>45°，然后分两种情况：当即可求解．【解题过程】（1）证明：∵ON⊥GM，CD⊥AB，∴∠ABE=∠AOF=90°，∴∠BEF+∠BAE=90°=∠OAE+∠AFO，∵AE平分∠OAB，∴∠BAE=∠OAE，∴∠BEF=∠AFO，∵∠BFE=∠AFO，∴∠BEF=∠BFE；（2）解：∵∠AOB=90°，∠OAB=58°，∴∠ABO=32°，∴∠ABN=180°−∠ABO=148°，∵CD平分∠NBA，∴∠ABC=1∴∠OBE=180°−∠ABO−∠ABC=74°，∵∠BOG=90°，∵OE平分∠BOG，∴∠BOE=1∴∠BEO=180°−∠OBE−∠BOE=61°；故答案为：61°（3）解：∵CD平分∠NBA，BF平分∠OBA，∴∠ABC=1∴∠CBF=∠ABC+∠ABF=1∴∠EBF=180°−∠CBF=90°，∴∠F+∠BEF=90°，∵OE平分∠BOG，∴∠BOE=1∵∠BOE+∠BOF=180°，∠F+∠OBF+∠BOF=180°，∴∠BOE=∠F+∠OBF=45°，∴∠F<45°，∴∠BEF>45°，当∠EBF=3∠F时，∠F=30°，∴∠BEF=60°，∴∠OBE=180°−∠BOE−∠BEF=75°，∴∠OBF=∠EBF−∠OBE=15°，∴∠ABO=2∠OBF=30°，∴∠BAO=90°−∠ABOF=60°；当∠BEF=3∠F时，∵∠BEF+∠F=90°，∴∠F=22.5°，∴∠BEF=67.5°，∴∠OBE=180°−∠BOE−∠BEF=67.5°，∴∠OBF=∠EBF−∠OBE=22.5°，∴∠ABO=2∠OBF=45°，∴∠BAO=90°−∠ABOF=45°17．（23-24七年级下·江苏无锡·阶段练习）已知∠MON=90°，点A、B分别在OM、ON上运动（不与点O重合）．（1）如图1，AE、BE分别是∠BAO和∠ABO的平分线，随着点A、B的运动，∠AEB__________．（2）如图2，已知AB不平行于CD，AD、BC分别是∠BAP和∠ABM的平分线，DE、CE分别是∠ADC和∠BCD的平分线，点A、B在运动的过程中，∠CED的度数将不发生变化，∠CED=．（3）如图3，延长BA至G，已知∠BAO、∠OAG的平分线与∠BOQ的平分线及其延长线相交于E、F，在△AEF中，如果有一个角是另一个角的3倍，试求∠ABO的度数．【思路点拨】（1）根据角平分线的定义，可得∠BAE=12∠BAO，∠ABE=12∠ABO，在△BEA中应用三角形内角和定理，可得∠AEB=180°−1（2）根据四边形内角和，角平分线定义，可得∠CED=14∠PAB+∠MBA，在△AOB（3）由∠BAO的平分线与∠BOQ的角平分线，可得∠EAO=12∠BAO，∠EOQ=12∠BOQ，结合三角形外角定理，得出∠E=12∠ABO，由AE、AF本题考查了，与角平分线有关的三角形内角和问题，解题的关键是：熟练掌握相关定理．【解题过程】（1）解：∵AE、BE分别是∠BAO和∠ABO的平分线，∴∠BAE=12∠BAO∵∠BAE+∠ABE+∠AEB=180°，∴12∠BAO+1∵∠BAO+∠ABO+∠BOA=180°，即：∠BAO+∠ABO=180°−∠BOA，∴∠AEB=180°−1∵∠BOA=90°，∴∠AEB=90°+1故答案为：135°，（2）解：∵AD、BC分别是∠BAP和∠ABM的平分线，DE、CE分别是∠ADC和∠BCD的平分线，∴∠DAB=12∠PAB，∠CBA=12∵∠DAB+∠CBA+∠CDA+∠DCB=360°，∴12∠PAB+1∵∠CED=180°−∠CDE+∠DCE∴∠CED=180°−180°−∵∠PAB+∠MBA+∠BAO+∠ABO=360°，∠BAO+∠ABO=90°，∴∠PAB+∠MBA+90°=360°，即：∠PAB+∠MBA=270°，∴∠CED=1故答案为：67.5°，（3）解：∵∠BAO的平分线与∠BOQ的角平分线相交于E，∴∠EAO=12∠BAO∴∠E=∠EOQ−∠EAO=1∵AE、AF分别是∠BAO、∠OAG的角平分线，∴∠EAF=90°，当∠EAF=3∠E时，∠E=13∠EAF=当∠EAF=3∠F时，∠F=30°，∠E=60°，∠ABO=2∠E=2×60°=120°（舍），当∠F=3∠E时，∠E=90°×14=22.5°当∠E=3∠F时，∠E=90°×34=67.5°∴∠ABO=60°，或∠ABO=45°，故答案为：60°或45°．18．（23-24七年级下·四川成都·期中）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，连接BE、CD，且∠EBA+∠ACD=∠BAC．（1）证明：BE∥CD；（2）若∠E=82°，∠A=44°，求∠D的度数；（3）作∠BEC与∠BDC的角平分线交于点G，探究∠BAC、∠EGD的数量关系，并证明你的结论．【思路点拨】（1）如图，过点A作AP∥BE，根据平行线的性质和判定，平行公理可得结论；（2）设∠CBD=α，∠BCE=β，根据三角形的内角和定理可得：∠BFE+∠E+∠EBF+∠D+∠CFD+∠DCF=360°，从而可得结论；（3）如图2，设∠CDG=x，∠BEG=y，根据角平分线的定义可得∠BEG=∠CEG=y，∠CDG=∠BDG=x，根据8字形可得∠ABD+∠ABE+y=∠EGD+x①，x+∠ACD+∠ACE=∠EGD+y②，由①+②可得结论．本题考查了角平分线的定义，三角形的内角和定理，平行线的性质，解题的关键是利用8字形和三角形的内角和定理解决问题．【解题过程】（1）证明：如图1，过点A作AP∥BE，∴∠EBA=∠BAP，∵∠EBA+∠ACD=∠BAC=∠BAP+∠CAP，∴∠ACD=∠CAP，∴AP∥CD，∴BE∥CD；（2）解：设∠CBD=α，∠BCE=β，∵BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，∴∠CBD=∠ABD=α，∠ACE=∠BCE=β，∴∠BFE=∠CBD+∠BCF=α+β，∵∠BAC=44°，∴∠ABC+∠ACB=2α+2β=180°−44°=136°，∴α+β=68°，在△BEF和△CFD中，∠BFE+∠E+∠EBF+∠D+∠CFD+∠DCF=360°，∵∠E=82°，∠BAC=44°，∴∠ABE+∠ACD=44°，∴3α+3β+82°+44°+∠D=360°，∴3×68°+126°+∠D=360°，∴∠D=30°；（3）解：如图2，∠EGD=1设∠CDG=x，∠BEG=y，∵EG平分∠BEC，DG平分∠BDC，∴∠BEG=∠CEG=y，∠CDG=∠BDG=x，∵∠BME=∠DMG，∴∠DBE+∠BEG=∠EGD+∠BDG，即∠ABD+∠ABE+y=∠EGD+x①，∵∠DNC=∠ENG，∴∠EGD+∠NEG=∠CDN+∠DCN，即x+∠ACD+∠ACE=∠EGD+y②，由（1）知：∠BAC=∠ABE+∠ACD，由（2）知：∠ABD+∠ACE=90°−1①+②得：∴∠EGD=119．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）已知：如图，在△ABC中，P为△ABC内一点，BP平分∠ABC，CP平分∠ACP．

（1）如图1，当∠A=100°时，则∠BPC的度数为__________．（2）如图2，过C作CQ⊥CP，交BP延长线于点Q，求证：∠Q=1（3）如图3，在（2）的条件下，过C作CM⊥PQ，延长CM与BA延长线交于点N，若∠ABP=57∠HCM，且∠AHQ−5∠PCB=∠ABC【思路点拨】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，解题的关键是掌握三角形的内角和是180度，以及角平分线的定义．（1）根据三角形的内角和得出∠ABC+∠ACB=80°，则∠PBC+∠PCB=1（2）由图可知∠CPQ=180°−∠BPC，推出