2024-2025学年高考数学一轮复习讲义(新高考)第08讲拓展三：三角形中面积(定值最值取值范围)问题(精讲)(学生版+解析)

第08讲拓展三：三角形中面积（定值，最值，取值范围）问题目录TOC\o"1-2"\h\u第一部分：基础知识 1第二部分：高频考点一遍过 2高频考点一：求三角形面积（定值问题） 2高频考点二：根据三角形面积求其它元素 4高频考点三：求三角形面积最值 6高频考点四：求三角形面积取值范围（普通三角形面积取值范围） 7高频考点五：求三角形面积取值范围（锐角三角形面积取值范围） 8第一部分：基础知识1、三角形面积的计算公式：①；②；③（其中，是三角形的各边长，是三角形的内切圆半径）；④(其中，是三角形的各边长，是三角形的外接圆半径).2、三角形面积最值：核心技巧：利用基本不等式，再代入面积公式.3、三角形面积取值范围：核心技巧：利用正弦定理，，代入面积公式，再结合辅助角公式，根据角的取值范围，求面积的取值范围.第二部分：高频考点一遍过高频考点一：求三角形面积（定值问题）典型例题例题1．（23-24高一下·四川成都·阶段练习）在中，已知．(1)求边；(2)若为上一点，且，求的面积．例题2．（2024·陕西商洛·三模）在中，角所对的边分别为，且满足．(1)求角的大小；(2)若，求的面积．例题3．（2024·全国·模拟预测）已知中，角、、的对边分别是．(1)求角的大小；(2)若，为边上一点，，，求的面积．练透核心考点1．（23-24高二下·浙江·阶段练习）在中，分别是角的对边，且满足．(1)求角的大小；(2)若为的中点且，求的面积．2．（2024·湖南·模拟预测）在中，内角的对边分别为，且．(1)证明：是锐角三角形；(2)若，求的面积．3．（2024·北京海淀·一模）在中，.(1)求；(2)若，求的面积.高频考点二：根据三角形面积求其它元素典型例题例题1．（2024·四川南充·二模）在①；②；③；这三个条件中任选一个，补充在下面对问题中，并解答问题.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足.(1)求；(2)若的面积为，D为AC的中点，求BD的最小值.例题2．（2024·陕西西安·一模）已知△ABC为钝角三角形，它的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且，，．(1)求的值；(2)若△ABC的面积为，求c的最小值．例题3．（23-24高一下·江苏南通·阶段练习）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．(1)求C；(2)若面积为，，求AB边上中线的长度．练透核心考点1．（23-24高一下·广东湛江·阶段练习）已知函数.(1)求的最小正周期及单调递增区间；(2)在中，、、分别是角、、的对边长，若，，的面积为，求的值.2．（23-24高一下·重庆渝中·阶段练习）在中，角的对边分别为，已知．(1)求角的大小；(2)若的面积为，角的平分线与交于点，且，求边的值．3．（23-24高一下·河南濮阳·阶段练习）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.(1)求A；(2)若的面积为，周长为18，求a.高频考点三：求三角形面积最值典型例题例题1．（23-24高一下·湖南衡阳·阶段练习）在中，分别是上的点，且与相交于点.(1)用表示；(2)若，求面积的最大值.例题2．（23-24高二上·云南·期末）在中，角、、所对的边分别为、、，且满足．(1)求角；(2)若，求面积的最大值．练透核心考点1．（23-24高三上·云南昆明·阶段练习）在中，角，，的对边分别为，，，．(1)求；(2)若点是上的点，平分，且，求面积的最小值．练透核心考点1．（22-23高三下·四川雅安·阶段练习）在中，角的对边分别为．(1)求；(2)若，且，求面积的取值范围．2．（22-23高一下·广东广州·阶段练习）在中，设a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知向量，，且.(1)求角C的大小；(2)若，求面积的取值范围.高频考点五：求三角形面积取值范围（锐角三角形面积取值范围）典型例题例题1．（2023·江西·二模）在中，角所对的边分别为，已知.(1)求角；(2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围.例题2．（2023·河北石家庄·一模）已知内角所对的边长分别为.(1)求；(2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围.例题3．（22-23高一下·安徽合肥·阶段练习）已知为锐角三角形，角所对的边分别为，且．(1)求的取值范围；(2)若，求面积的取值范围．练透核心考点1．（23-24高二上·河北秦皇岛·开学考试）在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，．(1)求角B的大小和边长b的值；(2)求面积的取值范围．2．（22-23高一下·重庆万州·阶段练习）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.(1)若，求的外接圆的周长和面积.(2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围.3．（22-23高三下·安徽池州·阶段练习）的内角的对边分别为，已知.(1)求角的值；(2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围.第08讲拓展三：三角形中面积（定值，最值，取值范围）问题目录TOC\o"1-2"\h\u第一部分：基础知识 1第二部分：高频考点一遍过 1高频考点一：求三角形面积（定值问题） 1高频考点二：根据三角形面积求其它元素 7高频考点三：求三角形面积最值 12高频考点四：求三角形面积取值范围（普通三角形面积取值范围） 16高频考点五：求三角形面积取值范围（锐角三角形面积取值范围） 19第一部分：基础知识1、三角形面积的计算公式：①；②；③（其中，是三角形的各边长，是三角形的内切圆半径）；④(其中，是三角形的各边长，是三角形的外接圆半径).2、三角形面积最值：核心技巧：利用基本不等式，再代入面积公式.3、三角形面积取值范围：核心技巧：利用正弦定理，，代入面积公式，再结合辅助角公式，根据角的取值范围，求面积的取值范围.第二部分：高频考点一遍过高频考点一：求三角形面积（定值问题）典型例题例题1．（23-24高一下·四川成都·阶段练习）在中，已知．(1)求边；(2)若为上一点，且，求的面积．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用余弦定理即可求得答案；（2）求出，即可求出的值，即可得，结合三角形面积公式，即可求得答案.【详解】（1）依题意知，在中，，故，故；（2）由于，，故，故，则.例题2．（2024·陕西商洛·三模）在中，角所对的边分别为，且满足．(1)求角的大小；(2)若，求的面积．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理化边为角，再利用辅助角公式即可得解；（2）先利用余弦定理求出，再根据三角形的面积公式即可得解.【详解】（1）在中，因为，由正弦定理得，即，即，即，又，所以，所以，即；（2）在中，，由余弦定理得，即，，所以．例题3．（2024·全国·模拟预测）已知中，角、、的对边分别是．(1)求角的大小；(2)若，为边上一点，，，求的面积．【答案】(1)(2)【分析】（1）由正弦定理及诱导公式、恒等变换公式得到的正切值，进而求解即可；（2）解法一利用已知条件和向量的知识得到，进而实数化得到和的一个关系式，再由三角形余弦定理结合角的互补关系得出和的另一个关系式，联立方程求解即可；解法二直接由第一问的结果结合余弦定理得出和的一个关系式，再由三角形余弦定理结合角的互补关系得出和的另一个关系式，联立方程求解即可.【详解】（1）由正弦定理得，因为故，即，即．而，故，又因为所以．而，故．（2）解法一：由知，两边同时平方得，即，化简得．①在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得，而，所以，故，即，②由①②得，由于，得，代入②得．所以的面积为．解法二：在中，由余弦定理可得，整理得，①在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得，而，所以，故，即，②由①②得，由于，得，代入②得，所以的面积为．练透核心考点1．（23-24高二下·浙江·阶段练习）在中，分别是角的对边，且满足．(1)求角的大小；(2)若为的中点且，求的面积．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据正弦定理及正弦的和角公式化简计算即可；（2）由余弦定理及三角形面积公式计算即可.【详解】（1）因为，由正弦定理可得．又因为在中，有，所以，化简得．因为，所以，所以，于是．因为，所以．（2）由为的中点，可得．又，所以，在和中，根据余弦定理从而可得．又，所以，可得．2．（2024·湖南·模拟预测）在中，内角的对边分别为，且．(1)证明：是锐角三角形；(2)若，求的面积．【答案】(1)证明见解析；(2)．【分析】（1）由正弦定理和余弦定理求解即可；（2）由两角和的正弦公式求出，再由正弦定理和三角形的面积公式求解即可.【详解】（1）证明：因为，所以由正弦定理得，整理得．则，因为，所以，因为，所以，因为，所以，所以是锐角三角形．（2）因为，所以，所以．在中，由正弦定理得，即，所以，所以的面积为．3．（2024·北京海淀·一模）在中，.(1)求；(2)若，求的面积.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据条件，利用正弦定理边转角得到，再利用辅助角公式及特殊角的三角函数值，即可求出结果；（2）根据（1）中及条件，由余弦定理得到，再结合，即可求出，再利用三角形面积公式，即可求出结果.【详解】（1）因为，由正弦定理可得，又，所以，得到，即，所以，又因为，所以，得到.（2）由（1）知，所以，又，得到①，又，得到代入①式，得到，所以的面积为.高频考点二：根据三角形面积求其它元素典型例题例题1．（2024·四川南充·二模）在①；②；③；这三个条件中任选一个，补充在下面对问题中，并解答问题.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足.(1)求；(2)若的面积为，D为AC的中点，求BD的最小值.【答案】(1)条件选择见解析，(2)【分析】（1）选①：利用正弦定理边化角结合两角和的正弦化简求解；选②：利用平方关系结合正弦定理角化边，再利用余弦定理求解；选③：利用正弦定理角化边得即可求解；（2）由面积得，结合余弦定理和基本不等式求最值.【详解】（1）若选择①：，由正弦定理可得，因，,故，，则有，因,故.若选择②：，则，由正弦定理可得，故，因,故.若选择③；由正弦定理可得，，再由余弦定理得，，即，，．（2），又，在三角形BCD中，，，当且仅当时取等号，的最小值为．例题2．（2024·陕西西安·一模）已知△ABC为钝角三角形，它的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且，，．(1)求的值；(2)若△ABC的面积为，求c的最小值．【答案】(1)(2)【分析】（1）由三角恒等变换化简可得，再由同角三角函数的基本关系及诱导公式得解；（2）由三角形面积公式、余弦定理及重要不等式即可求解.【详解】（1）因为，因为，所以，由△ABC为钝角三角形且，知，为钝角，所以，即，所以.（2）因为，所以，由余弦定理，，当且仅当时，等号成立，此时的最小值为，所以c的最小值为.例题3．（23-24高一下·江苏南通·阶段练习）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．(1)求C；(2)若面积为，，求AB边上中线的长度．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据题意，由正弦定理和三角恒等变化和的公式，得到，求得，即可求解；（2）根据三角形的面积公式，求得，再由，求得，得到，结合正弦定理得到，联立方程组求得，结合余弦定，即可求解.【详解】（1）解：因为，由正弦定理得，因为，可得，又因为，可得，所以，即，又因为，可得，所以，所以，可得.（2）解：由（1）知，，因为面积为，可得，可得，又因为，可得，所以，又由正弦定理，即，解得，联立方程组，解得，如图所示，设边的中点为，延长到点，使得，

可知AEBC为平行四边形，在中，且，由余弦定理得，所以上的中线长为.练透核心考点1．（23-24高一下·广东湛江·阶段练习）已知函数.(1)求的最小正周期及单调递增区间；(2)在中，、、分别是角、、的对边长，若，，的面积为，求的值.【答案】(1)最小正周期为，递增区间为,(2)【分析】（1）利用二倍角的正弦、余弦公式及辅助角公式化简函数，即可求解；（2）根据题意和角的范围求出角，再由三角形面积公式求出，最后利用余弦定理求解.【详解】（1），即，故最小正周期为，令，故，递增区间为,.（2）由得，因为，故，故.又，故.故，故2．（23-24高一下·重庆渝中·阶段练习）在中，角的对边分别为，已知．(1)求角的大小；(2)若的面积为，角的平分线与交于点，且，求边的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）由两角和的正弦公式以及正弦定理可得，可得结果；（2）由三角形面积公式并利用可得，再由余弦定理即可求得.【详解】（1）由，得，由正弦定理可得，即；因为，所以可得，又因为，所以．（2）易知，所以；如下图所示：因为为角平分线，所以，即，即而，所以．3．（23-24高一下·河南濮阳·阶段练习）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.(1)求A；(2)若的面积为，周长为18，求a.【答案】(1)(2)6【分析】（1）根据正弦定理边角互化可得，即可根据辅助角公式求解；（2）根据面积公式可得，结合余弦定理即可求解.【详解】（1）由正弦定理得，又，得，由辅助角公式可得.图为中，所以，则，故.（2），而由余弦定理得，即，则，解得.高频考点三：求三角形面积最值典型例题例题1．（23-24高一下·湖南衡阳·阶段练习）在中，分别是上的点，且与相交于点.(1)用表示；(2)若，求面积的最大值.【答案】(1)(2)【分析】（1）设，，求出，表达出；（2）根据题意求解，求出的最大值，进而求出的最大值.【详解】（1）设，，因此解得，因此.

（2）由（1）得，，因此，又因为，因此，由，当时，最大为，因此的最大值为.例题2．（23-24高二上·云南·期末）在中，角、、所对的边分别为、、，且满足．(1)求角；(2)若，求面积的最大值．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理结合两角和的正弦公式化简得出的值，结合角的取值范围可得出角的值；（2）利用余弦定理结合基本不等式可求得的最大值，再结合三角形的面积公式可求得面积的最大值.【详解】（1）解：因为，由正弦定理可得，因为、，则，可得，所以，，故.（2）解：由余弦定理可得，当且仅当时，等号成立，故，因此，面积的最大值为.练透核心考点1．（23-24高三上·云南昆明·阶段练习）在中，角，，的对边分别为，，，．(1)求；(2)若点是上的点，平分，且，求面积的最小值．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理边化角结合两角和的正弦公式，化简已知等式，可得，结合同角的三角函数关系，即可求得答案；（2）利用面积相等，即，推出，利用基本不等式结合三角形面积公式，即可求得答案.【详解】（1）由题意知中，，故，即,即,所以，而，故，即，又，故；（2）由于点是上的点，平分，且，则，由，得，即，则，当且仅当时取等号，故，当且仅当时取等号，所以，即面积的最小值为.2．（23-24高二上·湖南长沙·阶段练习）已知的内角，，的对边分别为，，，．(1)求；(2)若角的平分线交于点，且，求面积的最小值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据条件，得到，利用正弦定理角转边，得到，再利用余弦定理即可求出结果；（2）利用条件，结合，得到，再利用基本不等式，得到，从而求出结果.【详解】（1）由已知，得，在中，由正弦定理得，即．再由余弦定理得．又，所以.（2）因为是角的平分线，则，又，又，所以，得到，又因为，得到，解得，即，当且仅当时等号成立，所以，即面积的最小值是．高频考点四：求三角形面积取值范围（普通三角形面积取值范围）典型例题例题1．（2024·山西·一模）中角所对的边分别为，其面积为，且.(1)求；(2)已知，求的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据面积公式以及余弦定理即可求解，进而可求解，（2）根据余弦定理结合不等式即可求解.【详解】（1）因为三角形的面积为，则，所以，又，则；（2）由于，所以，即，取等号，故，故例题2．（23-24高二上·福建福州·期中）已知在，角所对的边分别是，且．(1)求的大小；(2)若，求面积的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）由正弦定理化边为角得到，知值由范围求角即可；（2）由（1），已知，由一组对边角已知可得，借助这一常数利用正弦定理化边为角，再由三角恒等变换化简面积表达式求解最值.【详解】（1）因为，所以由正弦定理可得，整理可得，又，所以．（2）因为，所以由正弦定理得，所以，又，所以，所以又因为，可得，所以（当且仅当时，等号成立），可得，由，,即面积的取值范围是．练透核心考点1．（22-23高三下·四川雅安·阶段练习）在中，角的对边分别为．(1)求；(2)若，且，求面积的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）由同角三角函数的基本关系将切化弦得到，即可得解；（2）利用正弦定理将边化角，即可求出，再由余弦定理及基本不等式求出，由对数的运算性质及诱导公式得到，即可求出的取值范围，在结合三角形面积公式计算可得.【详解】（1）因为，所以．在中，，所以，则．因为，所以．（2）由及正弦定理得，所以．由余弦定理得，所以，当且仅当时，等号成立．因为，所以，则，所以，因为的面积为，所以面积的取值范围是．2．（22-23高一下·广东广州·阶段练习）在中，设a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知向量，，且.(1)求角C的大小；(2)若，求面积的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）由向量平行坐标表示、正弦边角关系得，由余弦定理求，即可得结果．（2）由三角形面积公式有，由及基本不等式求范围，即可得面积的范围．【详解】（1）由，，且，所以，由正弦定理得：，化为：，由余弦定理得：，，故.（2）由，又，即，当且仅当时等号成立，所以，综上，.高频考点五：求三角形面积取值范围（锐角三角形面积取值范围）典型例题例题1．（2023·江西·二模）在中，角所对的边分别为，已知.(1)求角；(2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据正弦定理角化边，余弦定理求解即可；（2）由题知，进而结合正弦定理得，再根据面积公式，结合三角恒等变换求解即可.【详解】（1）解：因为所以整理可得，所以，由正弦定理可得：.由余弦定理知，，因为，所以（2）解：由（1）知，，所以，又是锐角三角形，所以，且，解得，因为，由正弦定理知：，，所以所以因为，所以，所以所以，面积的取值范围为.例题2．（2023·河北石家庄·一模）已知内角所对的边长分别为.(1)求；(2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用余弦定理可得，结合三角形内角性质求角的大小；（2）法一：由已知可得，应用正弦边角关系及三角形面积公式可得即可得范围；法二：根据三角形为锐角三角形，应用几何法找到边界情况求面积的范围.【详解】（1）由余弦定理得，即，所以，又，则.（2）法一：为锐角三角形，，则，所以，可得，又，则，故由，即而，所以，故面积的取值范围为.法二：由，画出如图所示三角形，为锐角三角形，点落在线段（端点除外）上，当时，，当时，，.例题3．（22-23高一下·安徽合肥·阶段练习）已知为锐角三角形，角所对的边分别为，且．(1)求的取值范围；(2)若，求面积的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理化简已知条件，求得.根据三角形是锐角三角形求得的取值范围，利用正弦定