2024-2025学年高考数学一轮复习讲义(新高考)第02讲等差数列及其前n项和(含新定义解答题)(分层精练)(学生版+解析)

二、多选题9．（23-24高二下·四川凉山·期末）已知等差数列的前n项和为，且满足，，则下列选项正确的有（

）A． B．数列是递增数列C．当n＝15时，取得最大值为225 D．的最小值为110．（23-24高二下·全国·期末）已知数列的首项为4，且满足，则（

）A．为等差数列B．为递增数列C．的前项和D．的前项和三、填空题11．（2025·宁夏·模拟预测）设为等差数列的前项和，若，，则使的的最大值为.12．（2024·福建福州·模拟预测）已知等差数列的前项和为，当且仅当时取得最小值，则的公差的取值范围为.四、解答题13．（23-24高二上·广西南宁·期中）等差数列的前项和为，已知，.(1)求的通项公式；(2)求，并求的最大值.B能力提升1．（24-25高三上·山东烟台·开学考试）已知实数构成公差为的等差数列，若，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．2．（24-25高二上·全国·课后作业）已知等差数列满足，，且数列的前n项和有最大值，那么取最小正值时，n等于（

）A．4045 B．4046 C．4035 D．40343．（23-24高一下·天津）在数列中，，则数列的通项4．（23-24高三上·河北唐山）已知是等差数列，是各项均为正数的等比数列，，，.(1)求数列，的通项公式；(2)在数列中，去掉中的项，剩下的项按原来顺序构成数列，求的前40项和.C综合素养（新定义解答题）1．（2025·江苏·模拟预测）设n为正整数，数列为正整数数列，且满足数列和均为等差数列，则称数列为“五彩的”(1)判断下列两个数列是否为“五彩的”，并说明理由；①有穷数列数列W：1，5，2，4，3，2；②无穷数列，通项公式为(2)若数列为“五彩的”且严格单调递增.（i）证明：数列和公差相等；（ii）证明：数列一定为等差数列.第02讲等差数列及其前n项和(分层精练）A夯实基础B能力提升C综合素养（新定义解答题）A夯实基础一、单选题1．（22-23高二上·河北保定·期末）若数列为等差数列，且，则等于（

）A．5 B．4 C．3 D．2【答案】D【知识点】利用等差数列的性质计算【分析】根据等差数列的性质求得正确答案.【详解】依题意，.故选：D2．（24-25高三上·江西九江·开学考试）已知等差数列的前项和为，若，则（

）A．48 B．42 C．24 D．21【答案】B【知识点】利用等差数列的性质计算、求等差数列前n项和【分析】利用等差数列项的性质求出的值，再由等差数列的求和公式即可求得.【详解】因为等差数列，故，则.故选：B.3．（24-25高二上·全国·课后作业）我国古代数学家杨辉、朱世杰等研究过高阶等差数列的求和问题，如数列就是二阶等差数列，数列的前项和是（

）A． B． C． D．【答案】B【知识点】求等差数列前n项和【分析】根据数列前项和的概念直接可得解.【详解】设，则，，，因此前项和，故选：B.4．（23-24高二上·湖南常德·阶段练习）已知公差为−2的等差数列是其前项和，且.若对任意都有，则的值为（

）A．6 B．7 C．6或7 D．8【答案】C【知识点】等差数列前n项和的基本量计算、求等差数列前n项和的最值【分析】利用求出，进而求得an的，然后求出的最大值，以及对应的下标的值即可得解.【详解】令等差数列an的公差，则，所以，解得，所以，又，所以当或时，，即或，，故对任意都有，的值为6或7.故选：C5．（24-25高二上·全国·课后作业）已知数列中，，，则数列的前9项和等于（

）A．27 B． C．45 D．【答案】A【知识点】求等差数列前n项和【分析】根据题意可知是等差数列，首项和公差知道，进而可以求前项和.【详解】由题可得（常数）,所以数列是以为首项，公差的等差数列,所以所以故选：A.6．（24-25高二·上海·随堂练习）已知数列an满足，，则的值为（

）A．1000 B．1013 C．1011 D．1012【答案】D【知识点】由递推关系式求通项公式、利用定义求等差数列通项公式、由递推关系证明数列是等差数列【分析】由递推式变形知是等差数列，然后根据等差数列的通项公式求解即可.【详解】由，得，所以是等差数列，首项，公差，所以，所以.故选：D.7．（23-24高二下·四川绵阳·期末）设等差数列的前项和为，已知，则（

）A．32 B．64C．84 D．108【答案】C【知识点】利用等差数列的性质计算、求等差数列前n项和【分析】根据等差数列下标和性质求出，再根据等差数列求和公式及下标和性质计算可得.【详解】因为，又，即，解得，所以.故选：C8．（23-24高三下·西藏拉萨·阶段练习）已知等差数列的公差为，前项和为.若成等差数列，且，则（

）A．12 B．21 C．32 D．56【答案】C【知识点】等差中项的应用、求等差数列前n项和、等差数列前n项和的基本量计算【分析】设公差，利用等差中项概念得方程，解方程求出，继而利用等差数列求和公式计算即得.【详解】因为数列an的公差为则，因成等差数列，则有，即，两边取平方整理得，再两边取平方整理得，，解得或（因，故舍去）.故当时，.故选：C.二、多选题9．（23-24高二下·四川凉山·期末）已知等差数列的前n项和为，且满足，，则下列选项正确的有（

）A． B．数列是递增数列C．当n＝15时，取得最大值为225 D．的最小值为1【答案】ACD【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、等差数列通项公式的基本量计算、求等差数列前n项和【分析】利用已知可求得，进而可得通项公式与前项和公式，再结合选项逐项判断即可.【详解】因为，，所以，解得，，，对于A．令n＝9，解得，故A正确；对于B．d＝－2＜0，数列是递减数列，因此数列不是递增数列，故B错误；对于C．，当n＝15时，取得最大值为225．故C正确；对于D．，令，，∴f（n）在时单调递增，∴f（n）的最小值为f（1）＝1，故D正确.故选：ACD.10．（23-24高二下·全国·期末）已知数列的首项为4，且满足，则（

）A．为等差数列B．为递增数列C．的前项和D．的前项和【答案】BCD【知识点】由递推关系式求通项公式、求等差数列前n项和、由定义判定等比数列、错位相减法求和【分析】由得，所以可知数列是以首项为4，公比为2的等比数列，从而可求出，可得数列为递增数列，利用错位相减法可求得的前项和，由于，从而利用等差数列的求和公式可求出数列的前项和．【详解】由，得，所以是以为首项，2为公比的等比数列，故A错误；因为，所以，显然递增，故B正确；因为，，所以，故，故C正确；因为，所以的前项和，故D正确．故选：BCD．三、填空题11．（2025·宁夏·模拟预测）设为等差数列的前项和，若，，则使的的最大值为.【答案】21【知识点】利用定义求等差数列通项公式、求等差数列前n项和【分析】由题意可得，再由，可得，求解即可得答案.【详解】解：设等差数列的公差为，由，得，得，由于，得，由，得，即，整理，得，得，解得，且，则的最大值为21.故答案为：2112．（2024·福建福州·模拟预测）已知等差数列的前项和为，当且仅当时取得最小值，则的公差的取值范围为.【答案】【知识点】求等差数列前n项和的最值、根据等差数列前n项和的最值求参数【分析】由题意可得，列出不等式组，即可求解．【详解】由题意可得，，，即，解得，故的取值范围为．故答案为：．四、解答题13．（23-24高二上·广西南宁·期中）等差数列的前项和为，已知，.(1)求的通项公式；(2)求，并求的最大值.【答案】(1)；(2)，最大值为16【知识点】利用定义求等差数列通项公式、等差数列通项公式的基本量计算、求等差数列前n项和、求等差数列前n项和的最值【分析】（1）设出公差，得到方程组，求出首项和公差，得到通项公式；（2）利用等差数列求和公式得到，配方求出最大值.【详解】（1）设公差为，则，解得，故an的通项公式为；（2），由于，故当时，取得最大值，最大值为.B能力提升1．（24-25高三上·山东烟台·开学考试）已知实数构成公差为的等差数列，若，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】A【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、等差中项的应用【分析】由实数构成公差为的等差数列，可得，构造函数，利用导数可得的最小值为，得，即可得到的取值范围.【详解】因为实数构成公差为的等差数列，所以，所以，构造函数，当时，，此时单调递减，则，可得；若且，则，当时，，时上式成立，于是，上式对和同样成立，故答案为：，．4．（23-24高三上·河北唐山）已知是等差数列，是各项均为正数的等比数列，，，.(1)求数列，的通项公式；(2)在数列中，去掉中的项，剩下的项按原来顺序构成数列，求的前40项和.【答案】(1)，(2)2756【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等比数列通项公式的基本量计算、求等差数列前n项和、分组（并项）法求和【分析】（1）设an的公差为，bn的公比为，，可求，由已知可求得，可求得，可求数列an，bn的通项公式；（2）易求得去掉an的项，利用等差数列的前项和公式可求.【详解】（1）设an的公差为，正项数列bn的公比为，由，可得，即，解得或（舍），所以，由可得，即，解得，所以.（2），，，.记为an的前项和，则的前40项和.C综合素养（新定义解答题）1．（2025·江苏·模拟预测）设n为正整数，数列为正整数数列，且满足数列和均为等差数列，则称数列为“五彩的”(1)判断下列两个数列是否为“五彩的”，并说明理由；①有穷数列数列W：1，5，2，4，3，2；②无穷数列，通项公式为(2)若数列为“五彩的”且严格单调递增.（i）证明：数列和公差相等；（ii）证明：数列一定为等差数列.【答案】(1)①不是，②是，理由见解析(2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析【知识点】判断等差数列、由递推关系证明数列是等差数列、数列新定义【分析】（1）根据数列定义判断证明即可；（2）分别应用定义结合数列的单调性证明即可【详解】（1）①不是中不是等差数列，①不是“五彩的”；②是