2024-2025学年高考数学一轮复习讲义(新高考)第05讲指数与指数函数(知识+真题+14类高频考点)(精讲)(学生版+解析)

第05讲指数与指数函数目录TOC\o"1-3"\h\u第一部分：基础知识 1第二部分：高考真题回顾 2第三部分：高频考点一遍过 3高频考点一：指数与指数幂的运算 3高频考点二：指数函数的概念 5高频考点三：指数函数的图象 7角度1：判断指数型函数的图象 7角度2：根据指数型函数图象求参数 8角度3：指数型函数图象过定点问题 9角度4：指数函数图象应用 10高频考点四：指数（型）函数定义域 15高频考点五：指数（型）函数的值域 17角度1：指数函数在区间上的值域 17角度2：指数型复合函数值域 17角度3：根据指数函数值域（最值）求参数 19高频考点六：指数函数单调性 22角度1：由指数（型）函数单调性求参数 22角度2：根据指数函数单调性解不等式 23高频考点七：指数函数的最值 26角度1：求已知指数型函数的值域 26角度2：根据指数函数最值求参数 27第四部分：新定义题(解答题） 32第一部分：基础知识（1）概念：式子叫做根式，其中叫做根指数，叫做被开方数．（2）性质：①(且)；②当为奇数时，；当为偶数时，2、分数指数幂①正数的正分数指数幂的意义是(，，且)；②正数的负分数指数幂的意义是(，，且)；③0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义．3、指数幂的运算性质①；②；③.4、指数函数及其性质（1）指数函数的概念函数(，且)叫做指数函数，其中指数是自变量，函数的定义域是．（2）指数函数的图象和性质底数图象性质定义域为，值域为图象过定点当时，恒有；当时，恒有当时，恒有；当时，恒有在定义域上为增函数在定义域上为减函数注意指数函数(，且)的图象和性质与的取值有关，应分与来研究第二部分：高考真题回顾1．（2023·天津·统考高考真题）设，则的大小关系为（

）A． B．C． D．2．（2022·浙江·统考高考真题）已知，则（

）A．25 B．5 C． D．3．（2022·北京·统考高考真题）已知函数，则对任意实数x，有（

）A． B．C． D．第三部分：高频考点一遍过高频考点一：指数与指数幂的运算典型例题例题1．（2024上·湖北·高一校联考期末）计算：．例题2．（2024上·河南漯河·高一漯河高中期末）计算．(1)；(2)．练透核心考点1．（2024上·安徽亳州·高一亳州二中校考期末）化简求值.(1)(2)2．（2024上·湖南长沙·高一统考期末）计算下列各式的值：(1)；(2).高频考点二：指数函数的概念典型例题例题1．（2024上·内蒙古呼伦贝尔·高二校考期末）已知指数函数且，则（

）A．3 B．2 C． D．例题2．（2024上·云南昆明·高一期末）若指数函数的图象经过点，求的解析式及的值．练透核心考点1．（多选）（2024·江苏·高一假期作业）若函数是指数函数，则实数的值为（

）A． B． C． D．2．（2024上·山东枣庄·高一校考期末）若指数函数的图象经过点，则．高频考点三：指数函数的图象角度1：判断指数型函数的图象典型例题例题1．（2024下·浙江温州·高一浙江省乐清中学校联考开学考试）在同一直角坐标系中，函数与的图像可能是（

）A．

B．

C．

D．

例题2．（2024上·江西宜春·高一校考期末）函数的图象是（

）A．

B．

C．

D．

角度2：根据指数型函数图象求参数典型例题例题1．（2024·上海·高一专题练习）若函数的图象与轴有公共点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．例题2．（多选）（2024·全国·高一专题练习）函数的图象如图所示，其中为常数，则下列结论正确的是（

）A． B． C． D．角度3：指数型函数图象过定点问题典型例题例题1．（2024上·重庆·高一重庆市青木关中学校校考期末）函数且的定点为.例题2．（2024上·广东江门·高一统考期末）已知函数（，且）的图象恒过定点，则的坐标为.角度4：指数函数图象应用典型例题例题1．（2024下·四川遂宁·高三射洪中学校考开学考试）函数的图象大致为（

）A．

B．

C．

D．

例题2．（2024上·安徽·高一校联考期末）函数在上的大致图象为（

）A．

B．

C．

D．

例题3．（2024上·上海·高一上海南汇中学校考期末）已知函数的定义域为，值域为，则的最大值为（

）A． B． C． D．2练透核心考点1．（2024上·陕西西安·高一西安市铁一中学校考期末）函数的图象大致为（

）A．B．C． D．2．（多选）（2024上·湖南娄底·高一统考期末）在同一直角坐标系中，函数与的图象可能是（

）A． B．C． D．3．（多选）（2024上·江苏常州·高一统考期末）若函数（其中且）的图象过第一、三、四象限，则（

）A． B．C． D．4．（多选）（2024下·全国·高一开学考试）已知函数（且的图象如图所示，则函数的大致图象不可能为（

）B．C．D．5．（2024上·江苏徐州·高三校考开学考试）函数在区间上的图象大致是（

）A．

B．

C．

D．

6．（2024上·福建宁德·高一统考期末）函数（且）的图象经过的定点坐标为.7．（2024上·黑龙江齐齐哈尔·高一统考期末）函数，且的图象恒过定点，点又在幂函数的图象上，则.高频考点四：指数（型）函数定义域典型例题例题1．（2024上·山东威海·高一统考期末）函数的定义域为（

）A． B． C． D．例题2．（2024上·北京·高二统考学业考试）函数的定义域为（

）A． B． C． D．练透核心考点1．（2024·江苏·高一假期作业）函数的定义域为（

）A． B．C． D．2．（2024上·安徽阜阳·高一统考期末）函数的定义域为.高频考点五：指数（型）函数的值域角度1：指数函数在区间上的值域典型例题例题1．（2023上·广西南宁·高一校考期中）函数的值域是（

）A． B． C． D．例题2．（2023上·上海浦东新·高三上海南汇中学校考阶段练习）函数，的值域为．角度2：指数型复合函数值域典型例题例题1．（2023上·福建三明·高一校联考期中）函数在时的值域是．例题2．（2023上·全国·高一专题练习）已知函数的图象经过点.(1)求实数的值；(2)求函数的定义域和值域.例题3．（2023上·河南省直辖县级单位·高一校考阶段练习）求函数的单调区间与值域.角度3：根据指数函数值域（最值）求参数典型例题例题1．（2023下·广东广州·高一校考期中）函数（且）的值域是，则实数（

）A．3 B． C．3或 D．或例题2．（2023上·全国·高一期末）如果函数且在区间上的最大值是，则的值为（

）A．3 B． C． D．3或练透核心考点1．（2023上·新疆喀什·高一统考期末）的值域是（）A． B． C． D．2．（2023上·广东东莞·高一东莞市东莞中学校考期中）函数的值域为.3．（2023上·黑龙江绥化·高三校考阶段练习）当时，函数的值域为.4．（2023·江苏·高一专题练习）已知函数在区间上的值域为，则实数的取值范围为.5．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若的值域是，求的值．2．（2024上·陕西渭南·高一校考期末）已知函数，对于任意两个不相等的实数，，都有成立，则实数的取值范围是.3．（2024上·新疆乌鲁木齐·高一校联考期末）不等式的解集为．4．（2024上·山西长治·高一校联考期末）已知函数，则不等式的解集为．高频考点七：指数函数的最值角度1：求已知指数型函数的值域典型例题例题1．（2024·全国·高三专题练习）函数的最小值为.例题2．（2024上·广东深圳·高一校考期末）已知定义在上的函数()(1)若，求函数在上的最大值；(2)若存在，使得，求实数的取值范围．角度2：根据指数函数最值求参数典型例题例题1．（2024·全国·高三专题练习）已知函数．若函数的最大值为1，则实数（

）A． B． C． D．例题2．（2024上·河南·高三校联考阶段练习）已知函数，若恒成立，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．角度3：含参指数（型）函数最值典型例题例题1．（2024上·云南昆明·高一统考期末）已知函数，.(1)当时，求的最小值；(2)记的最小值为，求的解析式.练透核心考点1．（2024上·北京·高三阶段练习）若函数有最小值，则t的取值范围是（

）A． B． C． D．2．（2023上·北京·高一北京市十一学校校考期末）函数在区间上的最小值是，则的值是.3．（2024上·吉林·高一长春外国语学校校联考期末）已知函数，.(1)时，求的值域；(2)若的最小值为4，求的值.4．（2023上·江苏连云港·高一校考阶段练习）设函数是定义在上的奇函数.(1)求的值，并判断的单调性（不证明）；(2)若，且在上的最小值为，求的值.第四部分：新定义题1．（2023上·上海·高一校考阶段练习）对于定义域在上的函数，定义．设区间，对于区间上的任意给定的两个自变量的值、，当时，总有，则称是的“函数”．(1)判断函数是否存在“函数”，请说明理由；(2)若非常值函数是奇函数，求证：存在“函数”的充要条件是存在常数，使得；(3)若函数与函数的定义域都为，且均存在“函数”，求实数的值．第05讲指数与指数函数目录TOC\o"1-3"\h\u第一部分：基础知识 1第二部分：高考真题回顾 2第三部分：高频考点一遍过 3高频考点一：指数与指数幂的运算 3高频考点二：指数函数的概念 5高频考点三：指数函数的图象 7角度1：判断指数型函数的图象 7角度2：根据指数型函数图象求参数 8角度3：指数型函数图象过定点问题 9角度4：指数函数图象应用 10高频考点四：指数（型）函数定义域 15高频考点五：指数（型）函数的值域 17角度1：指数函数在区间上的值域 17角度2：指数型复合函数值域 17角度3：根据指数函数值域（最值）求参数 19高频考点六：指数函数单调性 22角度1：由指数（型）函数单调性求参数 22角度2：根据指数函数单调性解不等式 23高频考点七：指数函数的最值 26角度1：求已知指数型函数的值域 26角度2：根据指数函数最值求参数 27第四部分：新定义题（解答题） 32第一部分：基础知识（1）概念：式子叫做根式，其中叫做根指数，叫做被开方数．（2）性质：①(且)；②当为奇数时，；当为偶数时，2、分数指数幂①正数的正分数指数幂的意义是(，，且)；②正数的负分数指数幂的意义是(，，且)；③0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义．3、指数幂的运算性质①；②；③.4、指数函数及其性质（1）指数函数的概念函数(，且)叫做指数函数，其中指数是自变量，函数的定义域是．（2）指数函数的图象和性质底数图象性质定义域为，值域为图象过定点当时，恒有；当时，恒有当时，恒有；当时，恒有在定义域上为增函数在定义域上为减函数注意指数函数(，且)的图象和性质与的取值有关，应分与来研究第二部分：高考真题回顾1．（2023·天津·统考高考真题）设，则的大小关系为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据对应幂、指数函数的单调性判断大小关系即可.【详解】由在R上递增，则，由在上递增，则.所以.故选：D2．（2022·浙江·统考高考真题）已知，则（

）A．25 B．5 C． D．【答案】C【分析】根据指数式与对数式的互化，幂的运算性质以及对数的运算性质即可解出．【详解】因为，，即，所以．故选：C.3．（2022·北京·统考高考真题）已知函数，则对任意实数x，有（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】直接代入计算，注意通分不要计算错误．【详解】，故A错误，C正确；，不是常数，故BD错误；故选：C．第三部分：高频考点一遍过高频考点一：指数与指数幂的运算典型例题例题1．（2024上·湖北·高一校联考期末）计算：．【答案】24【分析】由指数幂运算和对数运算可求.【详解】．故答案为：24例题2．（2024上·河南漯河·高一漯河高中期末）计算．(1)；(2)．【答案】(1)3(2)2【分析】（1）利用分数指数幂的运算法则计算即可；（2）先将根式转化为指数幂，利用指数的运算法则计算即可.【详解】（1）=；（2）.练透核心考点1．（2024上·安徽亳州·高一亳州二中校考期末）化简求值.(1)(2)【答案】(1)(2)7【分析】（1）利用分数指数幂和根式的运算公式，即可化解求值；（2）利用对数运算法则和运算公式，化解求值.【详解】（1）；（2）.2．（2024上·湖南长沙·高一统考期末）计算下列各式的值：(1)；(2).【答案】(1)(2)1【分析】（1）根据指数幂的运算法则，化简求值，即得答案；（2）根据对数的运算法则，化简求值，即得答案；【详解】（1）原式.（2）原式.高频考点二：指数函数的概念典型例题例题1．（2024上·内蒙古呼伦贝尔·高二校考期末）已知指数函数且，则（

）A．3 B．2 C． D．【答案】A【分析】先根据函数值求出，再求函数值即可.【详解】，故选：A.例题2．（2024上·云南昆明·高一期末）若指数函数的图象经过点，求的解析式及的值．【答案】，【分析】设，由可求出的值，可得出函数的解析式，进而可求得的值.【详解】解：设指数函数，则，解得，所以，，故.练透核心考点1．（多选）（2024·江苏·高一假期作业）若函数是指数函数，则实数的值为（

）A． B． C． D．【答案】AB【分析】根据指数函数的定义求解.【详解】因为函数是指数函数，所以，解得或.故选：AB2．（2024上·山东枣庄·高一校考期末）若指数函数的图象经过点，则．【答案】/【分析】采用待定系数法，结合指数函数所过点可求得函数解析式，代入即可.【详解】设指数函数且，过点，，解得：，，.故答案为：.高频考点三：指数函数的图象角度1：判断指数型函数的图象典型例题例题1．（2024下·浙江温州·高一浙江省乐清中学校联考开学考试）在同一直角坐标系中，函数与的图像可能是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】D【分析】分和两种情况，利用函数的单调性进行判断即可．【详解】对于A，B，当时，函数在R上为单调递减函数；又，所以在区间和区间上单调递减，且当时，，故A和B均错误；对于C，当时，函数在R上为单调递增函数，又，所以在区间和区间上单调递增，故C错误，D正确．故选：D．例题2．（2024上·江西宜春·高一校考期末）函数的图象是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】A【分析】根据图象变换可得函数的图象是由函数的图象向左平移1个单位长度得到的，由此可得出结论【详解】因为函数的图象是由函数的图象向左平移1个单位长度得到的，而的图象过点，且在上是增函数，所以的图象过点，且在上是增函数，故选：A角度2：根据指数型函数图象求参数典型例题例题1．（2024·上海·高一专题练习）若函数的图象与轴有公共点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】与有公共点，转化为与有公共点，结合函数图象，可得结果.【详解】与有公共点，即与有公共点，图象如图可知故选：B【点睛】本题考查了函数的交点问题，考查了运算求解能力和数形结合思想，属于基础题目.例题2．（多选）（2024·全国·高一专题练习）函数的图象如图所示，其中为常数，则下列结论正确的是（

）A． B． C． D．【答案】AD【分析】根据的单调性确定，由确定.【详解】，由图知为减函数，故，所以，故A正确C错误；由图知，所以，故B错误D正确.故选：AD角度3：指数型函数图象过定点问题典型例题例题1．（2024上·重庆·高一重庆市青木关中学校校考期末）函数且的定点为.【答案】【分析】根据指数函数过定点的性质即可确定定点的坐标．【详解】因为且，令，得到，此时，所以函数的定点为，故答案为：.例题2．（2024上·广东江门·高一统考期末）已知函数（，且）的图象恒过定点，则的坐标为.【答案】【分析】根据指数型函数的性质求解即可.【详解】由函数可知，当时，，即函数图象恒过点.故答案为：角度4：指数函数图象应用典型例题例题1．（2024下·四川遂宁·高三射洪中学校考开学考试）函数的图象大致为（

）A．

B．

C．

D．

【答案】B【分析】根据函数奇偶性即可排除CD，由特殊点的函数值即可排除A.【详解】，则的定义域为R，又，所以为奇函数，图象关于原点对称，故排除CD，当时，，故排除A.故选：B.例题2．（2024上·安徽·高一校联考期末）函数在上的大致图象为（

）A．

B．

C．

D．

【答案】D【分析】根据给定函数的奇偶性，结合即可判断得解.【详解】依题意，，因此函数是偶函数，其图象关于y轴对称，排除AB；又，选项C不满足，D符合题意.故选：D例题3．（2024上·上海·高一上海南汇中学校考期末）已知函数的定义域为，值域为，则的最大值为（

）A． B． C． D．2【答案】B【分析】根据题意画出函数图象，结合指数函数图象相关性质和对数的运算法则进行计算即可.【详解】由题意得，，作出函数图象如图所示，

令，解得或，则当，时，取得最大值，此时.故选：B练透核心考点1．（2024上·陕西西安·高一西安市铁一中学校考期末）函数的图象大致为（

）A．B．C． D．【答案】D【分析】根据奇偶性可知函数为偶函数，结合赋值法和排除法即可求解.【详解】由题可知，，所以函数的定义域为，关于原点对称，又，所以函数为偶函数，排除A，C；又，排除B．故选：D．2．（多选）（2024上·湖南娄底·高一统考期末）在同一直角坐标系中，函数与的图象可能是（

）A． B．C． D．【答案】AC【解析】按照、讨论，结合二次函数及指数函数的性质即可得解.【详解】若，则函数是R上的增函数，函数的图象的对称轴方程为，故A可能，B不可能；若，则函数是R上的减函数，，函数的图象与轴的负半轴相交，对称轴为，故C可能，D不可能.故选：AC.3．（多选）（2024上·江苏常州·高一统考期末）若函数（其中且）的图象过第一、三、四象限，则（

）A． B．C． D．【答案】BD【分析】根据图象的性质可得：，即可求解.【详解】函数（其中且）的图象在第一、三、四象限，根据图象的性质可得：，即，故选：BD.4．（多选）（2024下·全国·高一开学考试）已知函数（且的图象如图所示，则函数的大致图象不可能为（

）B．C．D．【答案】AD【分析】由指数函数的图象特征，结合幂函数在第一象限的图象特征可得答案.【详解】根据题意可得，的图象是向上平移a个单位得到的，结合幂函数的性质可知在上为单调递增函数，当a为奇数时，图象如C选项所示；当a为偶数时，图象如B选项所示，选项A，D不符合题意．故选：AD.5．（2024上·江苏徐州·高三校考开学考试）函数在区间上的图象大致是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】A【分析】判断函数为奇函数得到选项C错误，计算，得到选项D错误，根据时，，选项B错误，得到答案.【详解】函数，的定义域关于原点对称，，所以是奇函数，函数的图象关于原点对称，选项C错误；因为，所以选项D错误；当时，，选项B错误．故选：A．6．（2024上·福建宁德·高一统考期末）函数（且）的图象经过的定点坐标为.【答案】【分析】由指数型函数的定点问题，令，即可得定点坐标．【详解】由函数（且），令，得，所以，所以函数（且）的图象经过的定点坐标为.故答案为：.7．（2024上·黑龙江齐齐哈尔·高一统考期末）函数，且的图象恒过定点，点又在幂函数的图象上，则.【答案】4【分析】由已知求出定点的坐标，根据待定系数法求出，从而可得结果.【详解】由，得，所以定点，设，又，得，所以，所以，故答案为：4.高频考点四：指数（型）函数定义域典型例题例题1．（2024上·山东威海·高一统考期末）函数的定义域为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据指数函数的单调性及二次根式的意义可求得原函数的定义域.【详解】对于函数，有，可得，解得，因此，函数的定义域为.故选：A.例题2．（2024上·北京·高二统考学业考试）函数的定义域为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据函数的解析式有意义，列出不等式，即可求解.【详解】由函数有意义，则满足，即，解得，所以函数的定义域为.故选：C.练透核心考点1．（2024·江苏·高一假期作业）函数的定义域为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】函数的定义域满足，解得答案.【详解】函数的定义域满足，解得且.故答案为：D2．（2024上·安徽阜阳·高一统考期末）函数的定义域为.【答案】【分析】根据偶次根式被开方数大于等于、中求解出的范围，则定义域可知.【详解】由题意可知，解得且，故函数的定义域为．故答案为：.高频考点五：指数（型）函数的值域角度1：指数函数在区间上的值域典型例题例题1．（2023上·广西南宁·高一校考期中）函数的值域是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用指数函数的单调性即可得解.【详解】因为是定义域在上的增函数．所以当时，，，所以的值域为．故选：C.例题2．（2023上·上海浦东新·高三上海南汇中学校考阶段练习）函数，的值域为．【答案】【分析】根据函数的单调性求得正确答案.【详解】函数在区间上单调递增，所以，所以值域为.故答案为：角度2：指数型复合函数值域典型例题例题1．（2023上·福建三明·高一校联考期中）函数在时的值域是．【答案】【分析】利用指数函数性质，结合二次函数求出值域即得.【详解】当时，，函数，显然当，即时，，当，即时，，所以所求值域是.故答案为：例题2．（2023上·全国·高一专题练习）已知函数的图象经过点.(1)求实数的值；(2)求函数的定义域和值域.【答案】(1)(2)R；【分析】（1）把已知点代入函数解析式计算即得；（2）根据函数解析式只需使分母不等于零，解不等式即得函数定义域，将函数式分离常数成，再从的值域开始，从内到外利用不等式性质推导出解析式的取值范围即得值域.【详解】（1）将点代入可得：，解得：.（2）由（1）可得：，要使函数有意义，须使，而此式恒成立，故函数的定义域为.因，当时，，，则，故，即函数的值域为.例题3．（2023上·河南省直辖县级单位·高一校考阶段练习）求函数的单调区间与值域.【答案】单调减区间是，单调增区间是；值域是【分析】单调性根据复合函数的单调性同增异减得出，值域根据换元法得出.【详解】函数，设.，当时，，，即.函数在上的值域是.又原函数是由和两个函数复合而成，第一个函数是单调减函数，第二个函数在区间上是单调增函数，在区间上是单调减函数函数的单调减区间是，单调增区间是.角度3：根据指数函数值域（最值）求参数典型例题例题1．（2023下·广东广州·高一校考期中）函数（且）的值域是，则实数（

）A．3 B． C．3或 D．或【答案】C【分析】由指数函数的性质分别对和的情况讨论单调性并求值域，从而列方程组即可得到答案.【详解】函数（且）的值域为，又由指数函数的单调性可知，当时，函数在上单调递减，值域是所以有，即，解得；当时，函数在上单调递增，值域是所以有，即，解得.综上所述，或.故选：C.例题2．（2023上·全国·高一期末）如果函数且在区间上的最大值是，则的值为（

）A．3 B． C． D．3或【答案】D【分析】利用换元法，令，转化为二次函数，根据单调性及在区间上的最大值是，求出的值即可.【详解】令，则．当时，因为，所以，又因为函数在上单调递增，所以，解得（舍去）．当时，因为，所以，又函数在上单调递增，则，解得（舍去）．综上知或．故选：D.练透核心考点1．（2023上·新疆喀什·高一统考期末）的值域是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据函数的单调性，即可求解函数的值域.【详解】函数单调递减，所以函数的最大值为，最小值为，所以函数的值域为.故选：D2．（2023上·广东东莞·高一东莞市东莞中学校考期中）函数的值域为.【答案】【分析】根据指数函数的单调性进行求解即可.【详解】令，因为指数函数在R上单调递增，所以有，而，因此函数的值域为.故答案为：3．（2023上·黑龙江绥化·高三校考阶段练习）当时，函数的值域为.【答案】【分析】利用换元法及二次函数的性质计算可得.【详解】因为，令，由于，则，则原函数可化为，，当时，取最小值，当时，取最大值，故，即.故答案为：4．（2023·江苏·高一专题练习）已知函数在区间上的值域为，则实数的取值范围为.【答案】【分析】利用函数的最值求出，通过函数的值域，求出的取值范围【详解】，则在上递减，在上递增，所以当时，函数取得最小值0，由，得或，所以函数在区间上的值域为时，，故答案为：5．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若的值域是，求的值．【答案】0【分析】利用换元法，令，则，则由题意可知的值域为，从而可求出的值【详解】令，则，因为的值域是，即的值域是，所以的值域为，若，则为二次函数，其值域不可能为，若，则，其值域为，所以高频考点六：指数函数单调性角度1：由指数（型）函数单调性求参数典型例题例题1．（2024下·内蒙古赤峰·高三校考开学考试）若函数是上的减函数，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据题意，利用指数函数、二次函数的单调性，以及分段函数的性质，列出不等式组，即可求解.【详解】由函数在上为单调递减函数，则满足，解得，即实数的取值范围为.故选：A.例题2．（2024上·湖南湘西·高一统考期末）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由题意得：在上单调递增，根据二次函数的性质列不等式即可.【详解】由题意得：在上单调递增，所以对称轴，所以.故选：B.角度2：根据指数函数单调性解不等式典型例题例题1．（2024上·广东潮州·高一统考期末）已知函数，则满足的的取值范围是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】分析函数的奇偶性及其在上的单调性，将所求不等式变形为，解之即可.【详解】因为函数的定义域为，且，所以，函数为偶函数，则不等式等价于，因为函数、在上均为增函数，当时，单调递增，所以，，可得，解得，故原不等式的解集为.故选：A.例题2．（2024上·河北邯郸·高一统考期末）已知函数，则的解集为．【答案】【分析】根据题意，求得函数的单调性与奇偶性，把不等式转化为，即可求解.【详解】由函数，可得其定义域为，且，所以为偶函数，当时，，可得在上单调递增，根据偶函数的性质，不等式，即为，可得，整理得，解得，所以的解集为．故答案为：．练透核心考点1．（2024·全国·高一专题练习）已知函数在区间上是增函数，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据指数型复合函数的单调性，可得关于a的不等式，解不等式即可得答案.【详解】由题意知函数由复合而成，在上为增函数，由复合函数的同增异减性，可知需为R上的增函数，故，∴，∴或，故选：D.2．（2024上·陕西渭南·高一校考期末）已知函数，对于任意两个不相等的实数，，都有成立，则实数的取值范围是.【答案】【分析】根据函数的单调性列不等式，由此求得的取值范围.【详解】由于对于任意两个不相等的实数，，都有成立，所以在上单调递减，所以，解得，所以的取值范围是.故答案为：3．（2024上·新疆乌鲁木齐·高一校联考期末）不等式的解集为．【答案】【分析】根据函数的单调性、一元二次不等式的解法求得正确答案.【详解】依题意，，即，由于在上单调递增，所以，，解得或，所以不等式的解集为.故答案为：4．（2024上·山西长治·高一校联考期末）已知函数，则不等式的解集为．【答案】【分析】根据函数的单调性化简不等式，由此求得不等式的解集.【详解】在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，则由得，解得，即不等式的解集为．故答案为：高频考点七：指数函数的最值角度1：求已知指数型函数的值域典型例题例题1．（2024·全国·高三专题练习）函数的最小值为.【答案】【解析】根据函数解析式，先令，将问题转为求函数在上的最值问题，根据单调性，即可求解.【详解】因为，，令，则，所以令，，因为指数函数与一次函数都是增函数，所以也是增函数，所以时，.故答案为：.例题2．（2024上·广东深圳·高一校考期末）已知定义在上的函数()(1)若，求函数在上的最大值；(2)若存在，使得，求实数的取值范围．【答案】(1)8(2)【分析】（1）换元，令，可得，结合二次函数求最值；（2）由，换元令，整理得，结合函数单调性分析求解.【详解】（1）若，则，因为，令，可得的图象开口向上，对称轴为，可知：当时，取得最大值，所以函数在上的最大值为8.（2）因为，即，整理得，令，当且仅当，即时，等号成立，则，，则，整理得，由题意可知：方程在内有解，因为在内单调递增，可知在内单调递增，则，可得，所以实数的取值范围为.角度2：根据指数函数最值求参数典型例题例题1．（2024·全国·高三专题练习）已知函数．若函数的最大值为1，则实数（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】令，由指数函数的单调性以及二次函数的性质得出.【详解】，令，则，当时，，解得.故选：B例题2．（2024上·河南·高三校联考阶段练习）已知函数，若恒成立，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】参变分离可得恒成立，结合基本不等式求出的最小值，即可求出参数的取值范围.【详解