人教版2024-2025学年九年级数学上册24.3坐标系中圆的综合(压轴题专项讲练)(学生版+解析)

专题24.3坐标系中圆的综合【典例1】在平面直角坐标系xOy中，对于点P和线段AB，若线段PA或PB的垂直平分线与线段AB有公共点，则称点P为线段AB的融合点．（1）已知A3，0①在点P16，0，P2②若直线y=t上存在线段AB的融合点，求t的取值范围；（2）已知⊙O的半径为4，Aa,0，Ba+1,0，直线l过点T0,−1，记线段AB关于l的对称线段为A'B'．若对于实数a，存在直线l，使得【思路点拨】（1）①画出对应线段的垂直平分线，再根据融合点的定义进行判断即可；②先确定线段AB融合点的轨迹为分别以点A，B为圆心，AB长为半径的圆及两圆内区域，则当直线y=t与两圆相切时是临界点，据此求解即可；（2）先推理出A'B'的融合点的轨迹即为以T为圆心，TA−1的长为半径的圆和以T为圆心，以TB+1的长为半径的圆的组成的圆环上（包括两个圆上），再求出两个圆分别与⊙O【解题过程】（1）解：①如图所示，根据题意可知P1，P3是线段故答案为；P1，P②如图1所示，设PA的垂直平分线与线段AB的交点为Q，∵点Q在线段PA的垂直平分线上，∴PQ=AQ，∴当点Q固定时，则点P在以Q为圆心，AQ的长为半径的圆上，∴当点Q在AB上移动时，此时点P的轨迹即线段AB的融合点的轨迹为分别以点A，B为圆心，AB长为半径的圆及两圆内区域．当直线y=t与两圆相切时，记为l1，l∵A3，0∴AB=2,∴t=2或t=−2．∴当−2≤t≤2时，直线y=t上存在线段AB的融合点．（2）解：如图3-1所示，假设线段AB位置确定，由轴对称的性质可知TA=TA∴点A'在以T为圆心，TA的长为半径的圆上运动，点B'在以T为圆心，以∴A'B'的融合点的轨迹即为以T为圆心，TA−1的长为半径的圆和以T当TA<TB时，如图3-2所示，当以T为圆心，TA−1为半径的圆与⊙O外切时，∴TA−1=4+1，∴0−a2∴a2∴a=35如图3-3所示，当以T为圆心，TB+1为半径的圆与⊙O内切时，∴TB+1=3，∴0−a−12∴a2∴a=3∴3−1≤a≤35时，存在直线l，使得⊙O上有同理当TA>TB时，当以T为圆心，TB−1为半径的圆与⊙O外切时，∴TB−1=4+1，∴0−a−12∴a2∴a=−35当以T为圆心，TA+1为半径的圆与⊙O内切时，∴TA+1=3，∴0−a2∴a2∴a=−3∴−35−1≤a≤−3时，存在直线l，使得⊙O综上所述，当3−1≤a≤35或−35−1≤a≤−3时存在直线l1．（2022·宁夏固原·统考一模）在平面直角坐标系xOy中，点Px0,y0到直线Ax+By+c=0A2+B2≠0的距离公式为：d=Ax0+By0+CA（1）求点P11,−1到直线（2）已知：⊙C是以点C2,1为圆心，1为半径的圆，⊙C与直线y=−34（3）如图，设点P为问题2中⊙C上的任意一点，点A，B为直线3x+4y+5=0上的两点，且AB=2，请求出△ABP面积的最大值和最小值．2．（2022·江苏南京·南师附中树人学校校考二模）点P是平面直角坐标系中的一点且不在坐标轴上，过点P向x轴，y轴作垂线段，若垂线段的长度的和为4，则点P叫做“垂距点”．例如：下图中的P1（1）在点A2，2，B32（2）求函数y=2x+3的图象上的“垂距点”的坐标；（3）⊙T的圆心T的坐标为1，0，半径为r．若⊙T上存在“垂距点”，则r3．（2022秋·北京丰台·九年级北京市第十二中学校考阶段练习）对于平面直角坐标系xOy中的点P和⊙C,给出如下定义:连接PC交⊙C于点N,若点P关于点N的对称点Q在⊙C的内部，则称点P是⊙C的外称点.（1）当⊙O的半径为1时，①在点D−1,−1，E2,0，F0,4②若点Mm,n为⊙O的外称点，且线段MO交⊙O于点G22（2）直线y=−x+b过点A1,1，与x轴交于点B.⊙T的圆心为Tt,0,半径为1若线段AB上的所有点都是⊙T的外称点，请直接写出4．（2022春·九年级课时练习）对于平面直角坐标系xOy中的图形P，Q，给出如下定义：M为图形P上任意一点，N为图形Q上任意一点，如果M，N两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形P，Q间的“非常距离”，记作dP,Q．已知点A−2,2，B2,2（1）d（点O，AB）＝；（2）⊙O半径为r，若d⊙O,AB=0，直接写出（3）⊙O半径为r，若将点A绕点B逆时针旋转α°0°<α<180°，得到点A①当α=30°时d⊙O,A'②对于取定的r值，若存在两个α使d⊙O,A'5．（2022秋·浙江宁波·九年级校考期中）对于平面内的⊙C和⊙C外一点Q，给出如下定义：若过点Q的直线与⊙C存在公共点，记为点A，B，设k=AQ+BQCQ，则称点A（或点B）是⊙C的“K相关依附点”，特别地，当点A和点B重合时，规定AQ=BQ，k=2AQ已知在平面直角坐标系xoy中，Q(-1,0)，C(1,0)，⊙C的半径为r．（1）如图1，当r=2①若A1(0,1)是⊙C的“k相关依附点”，求k的值．②A2(1+2，0)是否为⊙C的“2相关依附点”．（2）若⊙C上存在“k相关依附点”点M，①当r=1，直线QM与⊙C相切时，求k的值．②当k=3（3）若存在r的值使得直线y=−3x+b与⊙C有公共点，且公共点时⊙C的“6．（2022秋·北京·九年级校考阶段练习）对于平面直角坐标系xOy中的点P，给出如下定义：记点P到x轴的距离为d1，到y轴的距离为d2，若d1≤d2，则称d1为点P的“引力值”；若d1＞d2，则称d2为点P的“引力值”．特别地，若点P在坐标轴上，则点P的“引力值”为0．例如，点P（﹣2，3）到x轴的距离为3，到y轴的距离为2，因为2＜3，所以点P的“引力值”为2．（1）①点A（﹣1，4）的“引力值”为；②若点B（a，3）的“引力值”为2，则a的值为；（2）若点C在直线y＝﹣2x+4上，且点C的“引力值”为2，求点C的坐标；（3）已知点M是以（3，4）为圆心，半径为2的圆上一个动点，那么点M的“引力值”d的取值范围是．7．（2022·浙江温州·校联考模拟预测）M（﹣1，−12），N（1，−12）是平面直角坐标系xOy中的两点，若平面内直线MN上方的点P满足：45°≤∠MPN≤90°，则称点（1）在点A1(0，12)，A2(12，0)（2）若点B是直线y＝x+12上线段MN的可视点，求点B的横坐标（3）直线y＝x+b（b≠0）与x轴交于点C，与y轴交于点D，若线段CD上存在线段MN的可视点，直接写出b的取值范围．8．（2022·北京密云·统考二模）对于平面直角坐标系xOy中的点P2,3与图形T，给出如下定义：在点P与图形T上各点连接的所有线段中，线段长度的最大值与最小值的差，称为图形T关于点P（1）如图，⊙O的半径为2，且与x轴分别交于A，B两点．①线段AB关于点P的“宽距”为______；⊙O关于点P的“宽距”为______．②点Mm,0为x轴正半轴上的一点，当线段AM关于点P的“宽距”为2时，求m（2）已知一次函数y=x+1的图象分别与x轴、y轴交于D、E两点，⊙C的圆心在x轴上，且⊙C的半径为1．若线段DE上的任意一点K都能使得⊙C关于点K的“宽距”为2，直接写出圆心C的横坐标xC9．（2023·北京海淀·九年级期末）对于平面直角坐标系xOy中的图形G和点P给出如下定义；Q为图形G上任意一点，若P，Q两点间距离的最大值和最小值都存在，且最大值是最小值的k倍，则称点P为图形G的“k分点”．已知点N3，0，A1，（1）①在点A，B，C中，线段ON的“2分点”是______；②点Da，0，若点C为线段OD（2）以点O为圆心，r为半径画图，若线段AN上存在⊙O的“二分点”，直接写出r的取值范围．10．（2023秋·北京·九年级北京市师达中学校考阶段练习）对于平面直角坐标系xOy中的点M，N和图形W，给出如下定义：若图形W上存在一点P，使得∠PMN=90°，且MP=MN，则称点M为点N关于图形W的一个“旋垂点”（1）已知点A0，4①在点M1(−2，2)，②若点Mm，n是点O关于线段AB（2）直线y=−x+2与x轴，y轴分别交于C，D两点，⊙T的半径为10，圆心为Tt，0，若在⊙T上存在点P，线段CD上存在点Q，使得点Q是点P关于⊙T的一个“旋垂点”，且PQ=11．（2023春·全国·九年级专题练习）对于点P和图形G，若在图形G上存在不重合的点M和点N，使得点P关于线段MN中点的对称点在图形G上，则称点P是图形的G的“中称点”．在平面直角坐标系xOy中，已知点A1,0，B1,1，（1）在点P112,0，P212（2）⊙T的圆心在x轴上，半径为1．①当圆心T与原点O重合时，若直线y=x+m上存在⊙T的“中称点”，求m的取值范围；②若正方形OABC的“中称点”都是⊙T的“中称点”，直接写出圆心T的横坐标t的取值范围．12．（2023春·江苏扬州·九年级高邮市城北中学校联考阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，A为任意一点，B为⊙O上一点．给出如下定义：记A、B两点间的距离的最小值为p（规定：点A在⊙O上时，p=0），最大值为q，那么把p+q2的值称为点A与⊙O的“关联距离”，记作d（1）如图，点D、E、F的横、纵坐标都是整数．①dD,⊙O②若点M在线段EF上，求dM,⊙O（2）若点N在直线y=3x+23（3）正方形的边长为m，若点P在该正方形的边上运动时，满足dP,⊙O的最小值为1，最大值为10，直接写出m13．（2022秋·北京海淀·九年级清华附中校考阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，对于图形M和点P，若图形M上存在两个点E、F，使得EP+FP＝2，则称点P为图形M的“距2点”．设A（﹣4，0），B（4，0），⊙O的半径为r．（1）①点P1（1，0），P2（0，1），P3（﹣1，﹣12）中，是线段AB的“距2点”的是②若P4（3，4）是⊙O的“距2点”，求r的取值范围；（2）设⊙M的半径为2，圆心M是x轴上的动点，C（﹣4，8）．若折线段AC﹣CB上存在点⊙M的“距2点”，直接写出圆心M横坐标的取值范围．14．（2023·北京·九年级专题练习）在平面直角坐标系xOy中，对于两个点P，Q和图形W，如果在图形W上存在点M，N（M，N可以重合）使得PM=QN，那么称点P与点Q是图形W的一对平衡点．（1）已知⊙O的半径为1，点D的坐标为5,0．若点Ex,2在第一象限，且点D与点E是⊙O的一对平衡点，求x（2）已知点H−3,0，以点O为圆心，OH长为半径画弧交x的正半轴于点K．点Ca,b（其中b≥0）是坐标平面内一个动点，且OC=5，⊙C是以点C为圆心，半径为2的圆，若HK上的任意两个点都是⊙C的一对平衡点，直接写出

15．（2022秋·江苏扬州·九年级统考期末）如图1，对于△PMN的顶点P及其对边MN上的一点Q，给出如下定义：以P为圆心，PQ长为半径的圆与直线MN的公共点都在线段MN上，则称点Q为△PMN关于点P的内联点．在平面直角坐标系xOy中：（1）如图2，已知点A(6,0)，点B在直线y=−1①若点B(4,2)，点C(4,0)，则在点O，C，A中，点______是△AOB关于点B的内联点；②若△AOB关于点B的内联点存在，求点B横坐标m的取值范围；（2）已知点D(3,0)，点E(6,3)，将点D绕原点O旋转得到点F，若△EOF关于点E的内联点存在，直接写出点F横坐标n的取值范围．16．（2022秋·浙江宁波·九年级校联考阶段练习）对于半径为r的⊙P及一个正方形给出如下定义：若⊙P上存在到此正方形四条边距离都相等的点，则称⊙P是该正方形的“等距圆”．如图1，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点A的坐标为（2，4），顶点C、D在x轴上，且点C在点D的左侧．（1）当r=42①在P1（0，-3），P2（4，6），P3（42，2）中可以成为正方形ABCD②若点P在直线y=−x+2上，且⊙P是正方形ABCD的“等距圆”，则点P的坐标为_______________；（2）如图2，在正方形ABCD所在平面直角坐标系xOy中，正方形EFGH的顶点F的坐标为（6，2），顶点E、H在y轴上，且点H在点E的上方．①若⊙P同时为上述两个正方形的“等距圆”，且与BC所在直线相切，求⊙P在y轴上截得的弦长；②将正方形ABCD绕着点D旋转一周，在旋转的过程中，线段HF上没有一个点能成为它的“等距圆”的圆心，则r的取值范围是_______________．

17．（2022·北京海淀·中关村中学校考模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，对于线段AB，给出如下定义：若将线段AB沿着某条直线l对称可以得到⊙O的弦A'B'（A'，B'分别为A，B的对应点），则称线段AB是⊙O（1）如图1，线段CD、EF、GH中是⊙O的以直线l为对称轴的“反射线段”有___________；（2）已知A点的坐标为(0,2)，B点坐标为(1,1)，①如图2，若线段AB是⊙O的以直线l为对称轴的“反射线段”，画出图形，反射轴l与y轴的交点M的坐标是___________．②若将“反射线段”AB沿直线y=x的方向向上平移一段距离S，其反射轴l与y轴的交点的纵坐标yM的取值范围为1（3）已知点M、N是在以(2,0)为圆心，半径为13的圆上的两个动点，且满足MN=2，若MN是⊙O的以直线l为对称轴的“反射线段”，当M点在圆上运动一周时，反射轴l与y18．（2022·北京房山·统考一模）对于平面内的点P和图形M，给出如下定义：以点P为圆心，r为半径作圆，若⊙P与图形M有交点，且半径r存在最大值与最小值，则将半径r的最大值与最小值的差称为点P视角下图形M的“宽度dM（1）如图1.点A(4,3)，B(0,3)．①在点O视角下，则线段AB的“宽度dAB②若⊙B半径为1.5，在点A视角下，⊙B的“宽度d⊙B（2）如图2，⊙O半径为2，点P为直线y=−x+1上一点．求点P视角下⊙O“宽度d⊙O（3）已知点C(m,0),CK=1，直线y=33x+3与x轴，y轴分别交于点D若随着点C位置的变化，使得在所有点K的视角下，线段DE的“宽度”均满足0<dDE<619．（2022秋·北京·九年级校考期中）对于平面直角坐标系xOy中的点C及图形W，有如下定义：若图形W上存在A、B两点，使△ABC为等腰直角三角形，且∠ABC=90°，我们则称点C为图形W的“关联点”．（1）已知点O(0,0)，M(4,0)，在点C1(0,4)，C2(2,1)，（2）直线y=x+b分别交x轴、y轴于P、Q两点，若点C(−2,1)为线段PQ的“关联点”，求b的取值范围；（3）已知直线y=−x+m(m>0)分别交x轴、y轴于E、F两点，若线段EF上的所有点都是半径为1的⊙O的“关联点”，直接写出m的取值范围．20．（2023·北京·九年级专题练习）在平面直角坐标系xOy中，给定图形W和点P，若图形W上存在两个点M，N满足PM=3PN且∠MPN=90°，则称点P是图形W的关联点．已知点A−2（1）在点P1−3,−1，P2（2）⊙T是以点Tt,0为圆心，r①当t=0时，若线段AB上任一点均为⊙O的关联点，求r的取值范围；②记线段AB与线段AO组成折线G，若存在t≥4，使折线G的关联点都是⊙T的关联点，直接写出r的最小值．

专题24.3坐标系中圆的综合【典例1】在平面直角坐标系xOy中，对于点P和线段AB，若线段PA或PB的垂直平分线与线段AB有公共点，则称点P为线段AB的融合点．（1）已知A3，0①在点P16，0，P2②若直线y=t上存在线段AB的融合点，求t的取值范围；（2）已知⊙O的半径为4，Aa,0，Ba+1,0，直线l过点T0,−1，记线段AB关于l的对称线段为A'B'．若对于实数a，存在直线l，使得【思路点拨】（1）①画出对应线段的垂直平分线，再根据融合点的定义进行判断即可；②先确定线段AB融合点的轨迹为分别以点A，B为圆心，AB长为半径的圆及两圆内区域，则当直线y=t与两圆相切时是临界点，据此求解即可；（2）先推理出A'B'的融合点的轨迹即为以T为圆心，TA−1的长为半径的圆和以T为圆心，以TB+1的长为半径的圆的组成的圆环上（包括两个圆上），再求出两个圆分别与⊙O【解题过程】（1）解：①如图所示，根据题意可知P1，P3是线段故答案为；P1，P②如图1所示，设PA的垂直平分线与线段AB的交点为Q，∵点Q在线段PA的垂直平分线上，∴PQ=AQ，∴当点Q固定时，则点P在以Q为圆心，AQ的长为半径的圆上，∴当点Q在AB上移动时，此时点P的轨迹即线段AB的融合点的轨迹为分别以点A，B为圆心，AB长为半径的圆及两圆内区域．当直线y=t与两圆相切时，记为l1，l∵A3，0∴AB=2,∴t=2或t=−2．∴当−2≤t≤2时，直线y=t上存在线段AB的融合点．（2）解：如图3-1所示，假设线段AB位置确定，由轴对称的性质可知TA=TA∴点A'在以T为圆心，TA的长为半径的圆上运动，点B'在以T为圆心，以∴A'B'的融合点的轨迹即为以T为圆心，TA−1的长为半径的圆和以T当TA<TB时，如图3-2所示，当以T为圆心，TA−1为半径的圆与⊙O外切时，∴TA−1=4+1，∴0−a2∴a2∴a=35如图3-3所示，当以T为圆心，TB+1为半径的圆与⊙O内切时，∴TB+1=3，∴0−a−12∴a2∴a=3∴3−1≤a≤35时，存在直线l，使得⊙O上有同理当TA>TB时，当以T为圆心，TB−1为半径的圆与⊙O外切时，∴TB−1=4+1，∴0−a−12∴a2∴a=−35当以T为圆心，TA+1为半径的圆与⊙O内切时，∴TA+1=3，∴0−a2∴a2∴a=−3∴−35−1≤a≤−3时，存在直线l，使得⊙O综上所述，当3−1≤a≤35或−35−1≤a≤−3时存在直线l1．（2022·宁夏固原·统考一模）在平面直角坐标系xOy中，点Px0,y0到直线Ax+By+c=0A2+B2≠0的距离公式为：d=Ax0+By0+CA（1）求点P11,−1到直线（2）已知：⊙C是以点C2,1为圆心，1为半径的圆，⊙C与直线y=−34（3）如图，设点P为问题2中⊙C上的任意一点，点A，B为直线3x+4y+5=0上的两点，且AB=2，请求出△ABP面积的最大值和最小值．【思路点拨】（1）直接利用距离公式代入计算即可得到答案；（2）把直线y=−34x+b（3）先求圆心C(2,1)到直线AB的距离，判断出P到AB的最大距离与最短距离可得答案．【解题过程】（1）解：3x-4y-5=0，其中A=3,B=-4，C=-5，∴d=|Ax0∴d=|3+4−5|∴距离为25（2）直线y=−34x+b故a=3，b=4，c=−4b．∵⊙C与直线相切，∴点C到直线的距离等于半径，即|3×2+4×1−4b|3整理得|10−4b|=5，解得b=54或（3）如解图，过点C作CD⊥AB于点D．∵在3x+4y+5=0中，a=3，b=4，c=5，∴圆心C(2,1)到直线AB的距离CD=|3×2+4×1+5|∴⊙C上的点到直线AB的最大距离为3+1=4，最小距离为3−1=2，∴SΔABP的最大值为最小值为122．（2022·江苏南京·南师附中树人学校校考二模）点P是平面直角坐标系中的一点且不在坐标轴上，过点P向x轴，y轴作垂线段，若垂线段的长度的和为4，则点P叫做“垂距点”．例如：下图中的P1（1）在点A2，2，B32（2）求函数y=2x+3的图象上的“垂距点”的坐标；（3）⊙T的圆心T的坐标为1，0，半径为r．若⊙T上存在“垂距点”，则r【思路点拨】（1）由题意利用“垂距点”的定义垂线段的长度的和为4，对点A2,2，B32（2）由题意可知点横纵坐标的绝对值的和为4，依次列式求出“垂距点”的坐标；（3）设“垂距点”的坐标为x,y，则x+【解题过程】（1）解：由题意得，垂线段的长度的和为4．A:2+2=4，B:32故答案为：A，（2）解：设函数y=2x+3的图像上的“垂距点”的坐标a,2a+3．由题意得a+①当a≥0时，a+2a+3∴a=1②当−32≤a∴a=1（不合题意，舍）．③当a<−32时，∴a=−7∴

综上所述，函数y＝2x＋3的图像上的“垂距点”的坐标是13,11（3）解：设“垂距点”的坐标为x,y，则x当x>0,y>0时，x+y=4，即y=−x+40<x<4当x<0,y>0时，−x+y=4，即y=x+4−4<x<0当x<0,y<0时，−x−y=4，即y=−x−4−4<x<0当x>0,y<0时，x−y=4，即y=x−40<x<4当⊙T与DE相切时，过点T作TN⊥直线DE于点N，则△DNT为等腰直角三角形，∴TN=当⊙T过点F−4,0时，⊙T此时r=FT=∴若存在“垂距点”，则r的取值范围是32故答案为：323．（2022秋·北京丰台·九年级北京市第十二中学校考阶段练习）对于平面直角坐标系xOy中的点P和⊙C,给出如下定义:连接PC交⊙C于点N,若点P关于点N的对称点Q在⊙C的内部，则称点P是⊙C的外称点.（1）当⊙O的半径为1时，①在点D−1,−1，E2,0，F0,4②若点Mm,n为⊙O的外称点，且线段MO交⊙O于点G22（2）直线y=−x+b过点A1,1，与x轴交于点B.⊙T的圆心为Tt,0,半径为1若线段AB上的所有点都是⊙T的外称点，请直接写出【思路点拨】（1）①由外称点的定义可知：P到圆心的距离小于3且大于1，点P才是⊙O的外称点，据此可求得答案；②由点G22,22知，点G在一、三象限角平分线上，则点Mm,n也在一、三象限角平分线上，根据外称点的定义，（2）根据外称点的定义，分点T(t，0)在点B左侧时和右侧两种情况，线段AB上的点离⊙T最远的点要小于3，离⊙T最近的点要大于1，画出图形，利用数形结合思想，即可解答.【解题过程】（1）①由外称点的定义可知：P到圆心的距离小于3且大于1，点P才是⊙O的外称点，点D(-1，-1)，DO=2<3,点D是点E(2，0)，EO=2<3,点E是⊙O的外称点，点F(0，4)，FO=4>3,点F不是⊙O的外称点，故答案是：D,E②由点G22,∴m=n，OM=由外称点的定义可知：OM<3,即2m<3,解得：又OM>1，则m>∴m的取值范围是：22（2）∵直线y=−x+b过点A1,1，代入求得：b=2∴直线的解析式是：y=−x+2，则与x轴交于点B的坐标是(2，0)，与y轴交于点C的坐标是(0，2)，∴⊿COB为等腰直角三角形，当点T(t，0)在点B左侧时，如图1，离⊙T最远的点为点B，依题意：TB<3，∴t>−1，当⊙T与线段AB相切时，切点离⊙T为最近，如图2：作TD⊥AB于D，∴⊿TDB为等腰直角三角形，TD=1∴TB=2，则OT=2−2故当点T(t，0)在点B左侧时，−1<t<2−2当点T(t，0)在点B右侧时，如图3，离⊙T最近的点为点B，依题意：TB>1，∴t>3，离⊙T最远的点为点A，如图4，依题意：TA<3，由两点之间距离公式：TA2解得：t<22+1(因为T在Ｂ右侧，故当点T(t，0)在点B右侧时，3<t<−2综上所述，答案是：−1<t<2−2或4．（2022春·九年级课时练习）对于平面直角坐标系xOy中的图形P，Q，给出如下定义：M为图形P上任意一点，N为图形Q上任意一点，如果M，N两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形P，Q间的“非常距离”，记作dP,Q．已知点A−2,2，B2,2（1）d（点O，AB）＝；（2）⊙O半径为r，若d⊙O,AB=0，直接写出（3）⊙O半径为r，若将点A绕点B逆时针旋转α°0°<α<180°，得到点A①当α=30°时d⊙O,A'②对于取定的r值，若存在两个α使d⊙O,A'【思路点拨】（1）理解题意后直接利用垂线段最短即可求解．（2）先理解当⊙O与线段有交点时，d⊙O,AB=0，利用⊙O与线段相切和⊙O经过（3）①先确定A'位于x轴上，再求出OA'的长即可求解；②先确定A'的轨迹，再利用存在两个α使d(⊙【解题过程】（1）解：∵O点到AB的距离为2，∴d（点O，AB）＝2，故答案为2．（2）当⊙O与线段有交点时，d⊙O,AB∵OA=OB=2∴2≤r≤22（3）①如图，作A'N⊥AB于点∴∠A由旋转知BA∵∠ABA∴A'∴A'位于x轴上，BN=∴A'∴A'∵d⊙O,∴⊙O经过A'∴r=23②如图所示，连接OB，∵对于取定的r值，若存在两个α使d(⊙O,A')=0，∴⊙O与以AH为直径的半圆有两个交点（A点和H点除外），此时有两个界点值，分别是⊙O与该半圆内切时和⊙O经过A点时，由B2,2，得OB=当⊙O与该半圆内切时，r=4−22当⊙O经过A点时，r=22∴4−225．（2022秋·浙江宁波·九年级校考期中）对于平面内的⊙C和⊙C外一点Q，给出如下定义：若过点Q的直线与⊙C存在公共点，记为点A，B，设k=AQ+BQCQ，则称点A（或点B）是⊙C的“K相关依附点”，特别地，当点A和点B重合时，规定AQ=BQ，k=2AQ已知在平面直角坐标系xoy中，Q(-1,0)，C(1,0)，⊙C的半径为r．（1）如图1，当r=2①若A1(0,1)是⊙C的“k相关依附点”，求k的值．②A2(1+2，0)是否为⊙C的“2相关依附点”．（2）若⊙C上存在“k相关依附点”点M，①当r=1，直线QM与⊙C相切时，求k的值．②当k=3（3）若存在r的值使得直线y=−3x+b与⊙C有公共点，且公共点时⊙C的“【思路点拨】（1）①如图1中，连接AC、QA1．首先证明QA②根据定义求出k的值即可判断；（2）①如图，当r=1时，不妨设直线QM与⊙C相切的切点M在x轴上方（切点M在x轴下方时同理），连接CM，则QM⊥CM，根据定义计算即可；②如图3中，若直线QM与⊙C不相切，设直线QM与⊙C的另一个交点为N（不妨设QN<QM，点N，M在x轴下方时同理），作CD⊥QM于点D，则MD=ND，可得MQ+NQ=(MN+NQ)+NQ=2ND+2NQ=2DQ，CQ=2，推出k=MQ+NQCQ=2DQCQ=DQ，可得当k=3时，DQ=3，此时CD=CQ2−DQ2=1（3）如图4中，由（2）可知：当k=3时，1⩽r<2．当r=2时，⊙C经过点Q(−1,0)或E(3,0)，当直线y=−3x+b经过点Q时，b=−3，当直线y=−3x+b经过点E时，【解题过程】（1）①如图1中，连接AC、QA由题意：OC=OQ=OA1，∴△QA1C是直角三角形，∴∠CA1Q=90°，即②∵A2(1+2,0)在⊙C上，∴k=2−故答案为2，是；（2）①如图2，当r=1时，不妨设直线QM与⊙C相切的切点M在x轴上方（切点M在x轴下方时同理），连接CM，则QM⊥CM．∵Q(−1,0)，C(1,0)，r=1，∴CQ=2，CM=1，∴MQ=3，此时k=②如图3中，若直线QM与⊙C不相切，设直线QM与⊙C的另一个交点为N（不妨设QN<QM，点N，M在x轴下方时同理），作CD⊥QM于点D，则MD=ND，∴MQ+NQ=(MN+NQ)+NQ=2ND+2NQ=2DQ，∵CQ=2，∴k=MQ+NQ∴当k=3时，DQ=3，此时假设⊙C经过点Q，此时r=2，∵点Q早⊙C外，∴r的取值范围是1⩽r<2．（3）如图4中，由（2）可知：当k=3时，1⩽r<2当r=2时，⊙C经过点Q(−1,0)或E(3,0)，当直线y=−3x+b经过点Q时，b=−3，当直线y=−3x+b经过点E时，b=33，6．（2022秋·北京·九年级校考阶段练习）对于平面直角坐标系xOy中的点P，给出如下定义：记点P到x轴的距离为d1，到y轴的距离为d2，若d1≤d2，则称d1为点P的“引力值”；若d1＞d2，则称d2为点P的“引力值”．特别地，若点P在坐标轴上，则点P的“引力值”为0．例如，点P（﹣2，3）到x轴的距离为3，到y轴的距离为2，因为2＜3，所以点P的“引力值”为2．（1）①点A（﹣1，4）的“引力值”为；②若点B（a，3）的“引力值”为2，则a的值为；（2）若点C在直线y＝﹣2x+4上，且点C的“引力值”为2，求点C的坐标；（3）已知点M是以（3，4）为圆心，半径为2的圆上一个动点，那么点M的“引力值”d的取值范围是．【思路点拨】（1）①直接根据“引力值”的定义，其最小距离为“引力值”；②点B(a,3)到x轴的距离为3，且其“引力值”为2，所以a=±2；（2）根据点C的“引力值”为2，可得x=±2或y=±2，代入可得结果；（3）M在点C处时，其“引力值”最小为1，在第一象限角平分线上时，其“引力值”最大，根据勾股定理求出d的值．【解题过程】解：（1）①∵点A(−1,4)到x轴的距离为4，到y轴的距离为1，∵1<4，∴点A的“引力值”为1．②∵点B(a,3)的“引力值”为2，∴a=±2；（2）设点C的坐标(x,y)，∵点C的“引力值”为2，∴x=±2或y=±2，当x=2时，y=−2×2+4=0，此时点C的“引力值”为0，不符合题意，舍去，当x=−2时，y=−2×(−2)+4=8，此时点C的坐标为(−2,8)，当y=2时，−2x+4=2，x=1，此时点C的“引力值”为1，不符合题意，舍去，当y=−2时，−2x+4=−2，x=3，此时点C的坐标为(3,−2)，综上所述，点C的坐标为(−2,8)或(3,−2)；（3）如图，过A分别作x、y轴的垂线，分别交⊙A于B和C，交y轴于D，∵A(3,4)，AC=AB=2∴C(1,4)，B(3,2)∴点M的“引力值”d最小为1，设M(x,y)，过M作MN⊥AC于N，当x=y时，点M的“引力值”d最大，∴MN=x−4，AN=x−3，AM=2，由勾股定理得：AM222xx=14±∴M(7−72，7−72∴点M的“引力值”d的取值范围是：1⩽d⩽7+故答案为：1⩽d⩽7+7．（2022·浙江温州·校联考模拟预测）M（﹣1，−12），N（1，−12）是平面直角坐标系xOy中的两点，若平面内直线MN上方的点P满足：45°≤∠MPN≤90°，则称点（1）在点A1(0，12)，A2(12，0)（2）若点B是直线y＝x+12上线段MN的可视点，求点B的横坐标（3）直线y＝x+b（b≠0）与x轴交于点C，与y轴交于点D，若线段CD上存在线段MN的可视点，直接写出b的取值范围．【思路点拨】（1）根据“直径所对的圆周角是直角”可知线段MN的可视点在以MN为直径的圆的外部或圆上，根据“同弧所对的圆周角等于圆心角的一半”可知线段MN的可视点在以E为圆心，EM长为半径的⊙E的内部或⊙E上，根据坐标可以判断哪些点符合要求．（2）点B既要在直线y＝x＋12上，又要⊙E的内部或圆上，且在⊙G的外部或圆上，故应该在直线y＝x＋1（3）分b＜0，b＞0两种情况进行讨论．【解题过程】解：（1）如图1，以MN为直径的半圆交y轴于点E，以E为圆心，EM长为半径的⊙E交y轴于点F，∵MN是⊙G的直径，∴∠MA1N＝90°，∵M（﹣1，−12），N（1，∴MN⊥EG，EG＝1，MN＝2∴EM＝EF=2∴∠MFN=12∠∵45°≤∠MPN≤90°，∴点P应落在⊙E内部，且落在⊙G外部∴线段MN的可视点为A1，A3；故答案为A1，A3；（2）如图，以（0，−12）为圆心，1为半径作圆，以（0，12）为圆心，2为半径作圆，两圆在直线MN上方的部分与直线y=x+12过点F作FH⊥x轴，过点E作EH⊥FH于点H，∵FH⊥x轴，∴FH∥y轴，∴∠EFH＝∠MEG＝45°，∵∠EHF＝90°，EF=2∴EH＝FH＝1，∴E（0，12），F（1，3只有当点B在线段EF上时，满足45°≤∠MBN≤90°，点B是线段MN的可视点．∴点B的横坐标t的取值范围是0≤t≤1．（3）如图，⊙G与x轴交于H，与y轴交于E，连接GH，OG=12，∴OH=G∴H（32，0）．E（0，1当直线y＝x+b（b≠0）与x轴交于点C，与y轴交于点D，若线段CD上存在线段MN的可视点，①直线y＝x+b与y轴交点在y负半轴上将H（32，0）代入y＝x+b得32+b＝0，解得b将N（1，−12）代入y＝x+b得1+b=−12∴−32②直线y＝x+b与y轴交点在y正半轴上将E（0，12）代入得b=当直线y＝x+b与⊙E相切于T时交y轴于Q，连接ET，则ET⊥TQ，∵∠EQT＝45°，∴TQ＝ET＝EM=2∴EQ=E∴OQ＝OE+EQ=12∴1综上所述：12≤b≤58．（2022·北京密云·统考二模）对于平面直角坐标系xOy中的点P2,3与图形T，给出如下定义：在点P与图形T上各点连接的所有线段中，线段长度的最大值与最小值的差，称为图形T关于点P（1）如图，⊙O的半径为2，且与x轴分别交于A，B两点．①线段AB关于点P的“宽距”为______；⊙O关于点P的“宽距”为______．②点Mm,0为x轴正半轴上的一点，当线段AM关于点P的“宽距”为2时，求m（2）已知一次函数y=x+1的图象分别与x轴、y轴交于D、E两点，⊙C的圆心在x轴上，且⊙C的半径为1．若线段DE上的任意一点K都能使得⊙C关于点K的“宽距”为2，直接写出圆心C的横坐标xC【思路点拨】（1）①连接PA，PB，求出PA=5，PB=4，证PB⊥x轴，则PA是最大值，PB是最小值，即可由“宽距”定义求解第一空；作直线OP交⊙O于G、H，线段PH长度最大，PG长度最小，即可由“宽距”定义求解第二空；②当0<m<2时，PA长度是最大值，PM长度是最小值，“宽距”=PA-PM<2，不符合题意，当m≥2时，则点P到x轴的最短距离为3,即点P到AM的最短距离为3，所当PM长度是最大时，最大值为2+3=5，则求得m=6，即可得出答案；（2）分两种情况：当点C(xC，0）在点D的左侧，且⊙C经过点D时，当点C(xC，0）在点D的右侧，且⊙C与直线y=x+1相切于点N时，分别求解即可．【解题过程】（1）解：①如图1，连接PA，PB，由图可知：A（-2，0），B（2，0），∴AB=4，∵P（2，3），∴PB⊥x轴，∴PB=3，PA=2+22∴线段AB关于点P的“宽距”为5-3=2；作直线OP交⊙O于G、H，则点这与⊙O上各点连接的所有线段中，线段PH长度最大，PG长度最小，∴⊙O关于点P的“宽距”为PH-PG=GH=4；故答案为：2，4；②∵点Mm,0为x∴m>0，当0<m<2时，PA长度是最大值，PM长度是最小值，“宽距”=PA-PM<2，不符合题意，当m≥2时，∵P（2，3），∴点P到x轴的最短距离为3,即点P到AM的最短距离为3，又∵线段AM关于点P的“宽距”为2，∴当PM长度是最大时，最大值为2+3=5，∴PM最大=m−22解得m=6或m=-2，∴2≤m≤6．（2）解：如图2，在直线y=x+1中，令x=0，则y=1，令y=0，则x=-1，∴D（-1，0），E（0，1），∴OD=OE=1，∴∠ODE=45°，当点C(xC，0）在点D的左侧，且⊙C经过点D时，∵⊙C半径为1，∴xC=-2，由（1）①第二空可知，当xC≤-2时，线段DE上任意一点K都能使得⊙C关于K的“宽距”为2；当点C(xC，0）在点D的右侧，且⊙C与直线y=x+1相切于点N时，则CN⊥DE，∴CN=1，∵∠ODE=45°，∴∠DCN=90°-∠ODE=45°，∴DN=CN=1，∴CD=DN2+C∴OC=CD-OD=2-1，由（1）①第二空可知，当xC≥2-1时，线段DE上任意一点K都能使得⊙C关于K的“宽距”为2；综上，圆心C的横坐标xC的取值范围为xC≤-2或xC≥29．（2023·北京海淀·九年级期末）对于平面直角坐标系xOy中的图形G和点P给出如下定义；Q为图形G上任意一点，若P，Q两点间距离的最大值和最小值都存在，且最大值是最小值的k倍，则称点P为图形G的“k分点”．已知点N3，0，A1，（1）①在点A，B，C中，线段ON的“2分点”是______；②点Da，0，若点C为线段OD（2）以点O为圆心，r为半径画图，若线段AN上存在⊙O的“二分点”，直接写出r的取值范围．【思路点拨】（1）①分别找出点A、B、C到线段ON的最小值和最大值，是否满足“2分点”定义即可，②对a的取值分情况讨论：0<a≤1，1<a≤2，a>2和a<（2）设线段AN上存在⊙O的“二分点”为Mm，01≤m≤3．对r的取值分情况讨论0<r≤1，1<r<3且m<r，1<r<3且【解题过程】（1）解：①∵点A在ON上，故最小值为0，不符合题意，点B到ON的最小值为OB=3，最大值为BN=3∴点B是线段ON的“2分点”，点C到ON的最小值为1，最大值为CN=2∴点C不是线段ON的“2分点”，故答案为：点B；②当0<a≤1时，点C到OD的最小值为CD=1−a点C到OD的最大值为CO=1∵点C为线段OD的“二分点”，∴2=2即2a∵Δ<0故无解，舍去；当1<a≤2时，点C到OD的最小值为1，点C到OD的最大值为CO=1当a>2时，点C到OD的最小值为1，点C到OD的最大值为CD=a−1∵点C为线段OD的“二分点”，∴a2−2a+2=2×1当a<0时，点C到OD的最小值为点C到OD的最大值为CD=1−a∵点C为线段OD的“二分点”，同0<a≤1时，无解，舍去；综上a=1+3（2）如图所示，设线段AN上存在⊙O的“二分点”为Mm当0<r≤1时，最小值为：m−r，最大值为：m+r，∴2m−r=m+r，即∵1≤m≤3，∴13当1<r<3且m<r时，最小值为：r−m，最大值为r+m，∴2r−m=r+m，即∵1≤m≤3，∴3≤r≤9，∵1<r<3，∴r不存在，当1<r<3且m>r时，最小值为：m−r，最大值为：m+r，∴2m−r=r+m，即∵13∵1<r<3，∴r不存在．当r≥3时，最小值为：r−m，最大值为：m+r，∴2r−m=r+m，即∴3≤r≤9．∵r≥3，∴3≤r≤9，综上所述，r的取值范围为13≤r≤1或10．（2023秋·北京·九年级北京市师达中学校考阶段练习）对于平面直角坐标系xOy中的点M，N和图形W，给出如下定义：若图形W上存在一点P，使得∠PMN=90°，且MP=MN，则称点M为点N关于图形W的一个“旋垂点”（1）已知点A0，4①在点M1(−2，2)，②若点Mm，n是点O关于线段AB（2）直线y=−x+2与x轴，y轴分别交于C，D两点，⊙T的半径为10，圆心为Tt，0，若在⊙T上存在点P，线段CD上存在点Q，使得点Q是点P关于⊙T的一个“旋垂点”，且PQ=【思路点拨】（1）①根据“旋垂点”的定义，逐个判断即可；②当∠OM1A=90°，M1A=OM1时，m=−2，当∠BM2O＝90°，BM2＝M（2）由题意可知，Q点在以T为圆心、半径为2或4的圆上，画出图形，分别求出两种情况下对应t的取值，即可求解．【解题过程】（1）解：①由题意可得，O0，根据“旋垂点”的定义，可知∠OMA=90°，MA=MO当M1−2，2时，∴M1A=OM∴∠OM1A=90°，即M1是点当M2(0，2)时，O、M2、A∴∠OM2A=180°，即M2不是点当M3(2，2)时，∴M3A=OM∴∠OM3A=90°，即M3是点故答案为：M1、M②∵点A（0，4），B（4，4），∴AB//x轴，当∠AM1O=90°，M当P点从A到B移动时，−2≤m≤0；当∠BM2O=90°，B当P点从A到B移动时，2≤m≤4；∴当−2≤m≤0或2≤m≤4，点Mm，n是点O（2）解：当x＝0时，y＝2，∴D（0，2），当y＝0时，x＝2，∴C（2，0），∵PQ=2，∠PQN＝90°∴PN=2，∵⊙T的半径为10，∴TQ=2或TQ=4，∴Q点在以T为圆心、半径为2或4的圆上，如图；当D点与Q'点重合时，TD=4，∴TO=23∴t=−23当Q'点与C点重合时，OT=2，∴t=−2，∴−23当Q点与C点重合时，OT=6，∴t=6；当Q在CD上且TQ⊥CD时，TQ=2，∴OT=22∴t=2−22∴2−22∴t的取值范围为：−23≤t≤−2或11．（2023春·全国·九年级专题练习）对于点P和图形G，若在图形G上存在不重合的点M和点N，使得点P关于线段MN中点的对称点在图形G上，则称点P是图形的G的“中称点”．在平面直角坐标系xOy中，已知点A1,0，B1,1，（1）在点P112,0，P212（2）⊙T的圆心在x轴上，半径为1．①当圆心T与原点O重合时，若直线y=x+m上存在⊙T的“中称点”，求m的取值范围；②若正方形OABC的“中称点”都是⊙T的“中称点”，直接写出圆心T的横坐标t的取值范围．【思路点拨】（1）由题意可知，正方形OABC的“中称点”是以D2,2，E−1,2，F−1,−1，G2,−2为顶点的正方形内部，如图可知P112（2）①由题意得：⊙T的“中称点”在以O为圆心，3为半径的圆内，当直线y=x+m与此圆相切于点D时，求得直线与y轴交于点E0,32；同理，相切于点F时，直线与y轴交于点G0,−3②如图，由由题意可知，正方形DEFG在⊙T内部，当⊙T经过−1,2时，解得t=5−1；当⊙T经过2,2时，解得t=2−5【解题过程】（1）解：由题意可知，正方形OABC的“中称点”是以D2,2，E−1,2，F−1,−1P112,0，P31,−2在正方形DEFG外，P4故答案为：P1，P（2）①由题意得：⊙T的“中称点”在以O为圆心，3为半径的圆内，当直线y=x+m与此圆相切于点D时，设在Dx,yx<0,y>0则∠DAO=∠DOA=45°，∴x=y，∵x∴x=−322∴3∴m=32故直线与y轴交于点E0,3同理，相切于点F时，直线与y轴交于点G0,−3∵直线y=x+m上存在⊙T的“中称点”，∴−32②如图，由由题意可知，正方形DEFG在⊙T内部，当⊙T经过−1,2时，t>0，t−−1解得：t=5−1或当⊙T经过2,2时，t<0，t−22解得：t=2−5或t=综上所述，∴2−512．（2023春·江苏扬州·九年级高邮市城北中学校联考阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，A为任意一点，B为⊙O上一点．给出如下定义：记A、B两点间的距离的最小值为p（规定：点A在⊙O上时，p=0），最大值为q，那么把p+q2的值称为点A与⊙O的“关联距离”，记作d（1）如图，点D、E、F的横、纵坐标都是整数．①dD,⊙O②若点M在线段EF上，求dM,⊙O（2）若点N在直线y=3x+23（3）正方形的边长为m，若点P在该正方形的边上运动时，满足dP,⊙O的最小值为1，最大值为10，直接写出m【思路点拨】（1）①运用新定义“关联距离”，即可求得答案；②根据新定义“关联距离”，分别求出d(E,⊙O)=2，d(F,⊙O)=3，即可得出答案；（2）设ON=d，可得p=d−1，q=d+1，运用新定义“关联距离”，可得d(N,⊙O)=d，再利用S△AOB（3）如图2，找出特殊位置，分别画出图形，即可得出答案．【解题过程】（1）解：①∵D(0,2)到⊙O的距离的最小值p=1，最大值q=3，∴d(D,⊙O)=1+3故答案为：2；②当M在点E处，d(E,⊙O)=2，当M在点F处，d(F,⊙O)=2+4∴2≤d(M,⊙O)≤3；（2）设ON=d，∴p=d−r=d−1，q=d+r=d+1，∴d(N,⊙O)=p+q∵点N在直线y=3设直线交x轴于点B，交y轴于点A，如图1，则x=0时，y=23，y=0时，x=−2∴A(0，23)，∴OA=23，OB=2∴AB=O当ON⊥AB时，d(N,⊙O)最小，∴S△AOB=∴ON=3∵ON无最大值，∴d(N,⊙O)≥3（3）如图2，∵d(P,⊙O)的最小值为1，最大值为10，∴两个同心圆中，小圆的半径为1，大圆的半径为10，∵KL=10∴m的最小值是10−1在Rt△OMH中，OM=10，OH=m−1，∴(m−1)解得：m=−2（舍去）或m=18∴m的最小值为5−2213．（2022秋·北京海淀·九年级清华附中校考阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，对于图形M和点P，若图形M上存在两个点E、F，使得EP+FP＝2，则称点P为图形M的“距2点”．设A（﹣4，0），B（4，0），⊙O的半径为r．（1）①点P1（1，0），P2（0，1），P3（﹣1，﹣12）中，是线段AB的“距2点”的是②若P4（3，4）是⊙O的“距2点”，求r的取值范围；（2）设⊙M的半径为2，圆心M是x轴上的动点，C（﹣4，8）．若折线段AC﹣CB上存在点⊙M的“距2点”，直接写出圆心M横坐标的取值范围．【思路点拨】（1）①P1到(0,0)和(2,0)的距离之和是2，2OP2=2，P3②从OP（2）2AM1=2，2AM2=2，BM=32【解题过程】解：（1）①如图，∴P1到(0,0)和∴P1是线段∵2OP∴P2不是线段∵P3到x轴的距离是∴P3是线段故答案是P1和P②如图2，∵OP∴5−1<r<5+1，即4<r<6；（2）如图3，设圆心M的横坐标为x，∵2AM1=2∴−7<x<−1，∵CM=3，∴BM=32∴M(4−32，0)∵M∴4−32综上所述：圆心M横坐标的取值范围是−7<x<−1或4−3214．（2023·北京·九年级专题练习）在平面直角坐标系xOy中，对于两个点P，Q和图形W，如果在图形W上存在点M，N（M，N可以重合）使得PM=QN，那么称点P与点Q是图形W的一对平衡点．（1）已知⊙O的半径为1，点D的坐标为5,0．若点Ex,2在第一象限，且点D与点E是⊙O的一对平衡点，求x（2）已知点H−3,0，以点O为圆心，OH长为半径画弧交x的正半轴于点K．点Ca,b（其中b≥0）是坐标平面内一个动点，且OC=5，⊙C是以点C为圆心，半径为2的圆，若HK上的任意两个点都是⊙C的一对平衡点，直接写出【思路点拨】（1）如图，可得OE1=3，解得此时x=5，（2）由点C在以O为圆心5为半径的上半圆上运动，推出以C为圆心2为半径的圆刚好与HK相切，此时要想HK上任意两点都是圆C的平衡点，需要满足CK≤6，CH≤6，分两种情形分别求出b的值即可判断．【解题过程】（1）解：∵⊙O的半径为1，点D的坐标为5,0，∴点D到⊙O的最近距离是4，最远距离是6，∵点D与点E是⊙O的一对平衡点，此时需要满足E1到⊙O的最大距离是4，即O可得x=32同理：当E2到⊙O的最小距离为是6时，O此时x=7综上所述，满足条件的x的值为5≤x≤3

（2）∵点C在以O为圆心5为半径的上半圆上运动，∴以C为圆心2为半径的圆刚好与HK相切，此时要想HK上任意两点都是圆C的平衡点需要满足CK≤6，CH≤6，如图1中，当CK=6时，作CM⊥HK于M，则a2解得：a=−13b=如图2中，当CH=6时，同法可得a=13，综上所述，满足条件的b的值为414

15．（2022秋·江苏扬州·九年级统考期末）如图1，对于△PMN的顶点P及其对边MN上的一点Q，给出如下定义：以P为圆心，PQ长为半径的圆与直线MN的公共点都在线段MN上，则称点Q为△PMN关于点P的内联点．在平面直角坐标系xOy中：（1）如图2，已知点A(6,0)，点B在直线y=−1①若点B(4,2)，点C(4,0)，则在点O，C，A中，点______是△AOB关于点B的内联点；②若△AOB关于点B的内联点存在，求点B横坐标m的取值范围；（2）已知点D(3,0)，点E(6,3)，将点D绕原点O旋转得到点F，若△EOF关于点E的内联点存在，直接写出点F横坐标n的取值范围．【思路点拨】（1）①由内联点的定义可知C，A满足条件②结合图象可知当点B为圆心的圆与AO线段相切时，有一个公共点，且符合内联点定义，故0≤m≤6时均符合题意．（2）由（1）问可知，当OE与OF，或OF与EF垂直时有一个公共点且满足内联点的定义，故由此可作图，作图见解析，即可由勾股定理、斜率的性质，解得−35【解题过程】（1）①如图所示，由图像可知C，A点是△AOB关于点B的内联点②如图所示，当点B为圆心的圆与AO线段相切时，有一个公共点，符合内联点定义故0≤m≤6．（2）如图所示，以O为圆心的圆O为点F点的运动轨迹，由（1）问可知当∠EFO或∠FOE为90°时，△EOF关于点E的内联点存在且只有一个，故当F点运动到F1F2和F3F设F点坐标为（x，y），则x2当F点在F1点时，OF1xF1当F点在F2点时，OF2O即(当F点在F3点时，OF3O即(解得x=35故xF3当F点在F4点时，OO即(化简得x且OE⊥即k即3化简得y=−2x+3联立x解得x=125或故x综上所述，F点的横坐标n取值范围为−35516．（2022秋·浙江宁波·九年级校联考阶段练习）对于半径为r的⊙P及一个正方形给出如下定义：若⊙P上存在到此正方形四条边距离都相等的点，则称⊙P是该正方形的“等距圆”．如图1，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点A的坐标为（2，4），顶点C、D在x轴上，且点C在点D的左侧．（1）当r=42①在P1（0，-3），P2（4，6），P3（42，2）中可以成为正方形ABCD②若点P在直线y=−x+2上，且⊙P是正方形ABCD的“等距圆”，则点P的坐标为_______________；（2）如图2，在正方形ABCD所在平面直角坐标系xOy中，正方形EFGH的顶点F的坐标为（6，2），顶点E、H在y轴上，且点H在点E的上方．①若⊙P同时为上述两个正方形的“等距圆”，且与BC所在直线相切，求⊙P在y轴上截得的弦长；②将正方形ABCD绕着点D旋转一周，在旋转的过程中，线段HF上没有一个点能成为它的“等距圆”的圆心，则r的取值范围是_______________．

【思路点拨】（1）①连接AC和BD，交于点M，设⊙P的圆心坐标是(x,y)，列出圆心到M的关系式，把P1(0,−3)，P2(4,6)，P3(42，2)代入，看是否成立来逆定，②把y=−x+2（2）①先求出△LIE为等腰直角三角形，得到L(0,5)，进而得出△LOM为等腰直角三角形，设P(p,−p+5)据关系列出方程求了圆心的坐标，最后得出弦长．②连接DH，作DT⊥HF，以D为圆心，DE为半径作圆，交DT于点E1，交HD于E2，当0<r<DT−DE1时，线段HF上没有一个点能成为它的“等距圆”的圆心．当【解题过程】解：（1）①连接AC和BD，交于点M，∵四边形ABCD是正方形，∴M到正方形ABCD四条边距离都相等∴⊙P一定通过点M，∵A(2,4)∴M(0,2)设⊙P的圆心坐标是(x,y)，∴r=42∴x即，x2把P1(0,−3)，P2(4,6)，P3(42∴可以成为正方形ABCD的“等距圆”的圆心的是P2，P故答案为：P2，P②∵点P在直线y=−x+2上，且⊙P是正方形ABCD的“等距圆”，∴把y=−x+2代入x2+(y−2)解得x=±4，∴y=−2或6，∴P(4,−2)或P(−4,6)．故答案为：(4,−2)或P(−4,6)．（2）如下图：①∵⊙P同时为正方形ABCD与正方形EFGH的“等距圆”，∴⊙P同时过正方形ABCD的对称中心E和正方形EFGH的对称中心I．∴点P在线段EI的中垂线上．∵A(2,4)，正方形ABCD的边CD在x轴上；F(6,2)，正方形EFGH的边HE在y轴上，∴E(0,2)，I(3,5)∴∠IEH=45°，设线段EI的中垂线与y轴交于点L，与x轴交于点M，∴△LIE为等腰直角三角形，LI⊥y轴，∴L(0,5)，∴△LOM为等腰直角三角形，LO=OM∴M(5,0)，∴P在直线y=−x+5上，∴设P(p,−p+5)过P作PQ⊥直线BC于Q，连接PE，∵⊙P与BC所在直线相切，∴PE=PQ，∴p解得：P1=5+25∴P1(5+25，−25∵⊙P过点E，且E点在y轴上，∴⊙P在y轴上截得的弦长为2|−25−2|=45②如图2，连接DH，作DT⊥HF，以D为圆心，DE为半径作圆，交DT于点E1，交HD于E当0<r<DT−DE1时，线段∵HF所在的直线为：y=−x+8，DT所在的直线为：y=x−2，∴T(5,3)，∵D(2,0)，∴DT=3∵DE=D∴DT−DE∴当0<r<2时，线段HF当r>HE2时，线段∵HE2=HD+D∴HE∴当r>217+22综上可知当0<r<2或r>217+2故答案为：0<r<2或r>217．（2022·北京海淀·中关村中学校考模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，对于线段AB，给出如下定义：若将线段AB沿着某条直线l对称可以得到⊙O的弦A'B'（A'，B'分别为A，B的对应点），则称线段AB是⊙O（1）如图1，线段CD、EF、GH中是⊙O的以直线l为对称轴的“反射线段”有___________；（2）已知A点的坐标为(0,2)，B点坐标为(1,1)，①如图2，若线段AB是⊙O的以直线l为对称轴的“反射线段”，画出图形，反射轴l与y轴的交点M的坐标是___________．②若将“反射线段”AB沿直线y=x的方向向上平移一段距离S，其反射轴l与y轴的交点的纵坐标yM的取值范围为1（3）已知点M、N是在以(2,0)为圆心，半径为13的圆上的两个动点，且满足MN=2，若MN是⊙O的以直线l为对称轴的“反射线段”，当M点在圆上运动一周时，反射轴l与y【思路点拨】（1）在圆中找出对应的弦，其中GH大于圆的直径，故否定；（2）①画出AB的反射弦，找出对应点的垂直平分线；②以AB为斜边作等腰直角三角形AO'B，连接OO'，交⊙O于A'，作BB'∥AA'，交⊙O于B'（3）根据（2）的方法找到MN所在的圆心O3，当M点在圆上运动一周时，如图，取OO3的中点A1，OT的中点S，即OO3的中点A1在以S为圆心，半径为2【解题过程】（1）解：∵E'F'是∴EF是⊙O的以直线l为对称轴的“反射线段”，∵C'E'是∴线段CD是⊙O的以直线l为对称轴的“反射线段”，∵GH=5，⊙O的直径C'E∴线段GH不是⊙O的以直线l为对称轴的“反射线段”，故答案是：CD、EF；（2）①如图2，AB关于直线l的对称弦是A'直线l与y轴交点M(0,1故答案为：(0,1②如图3，以AB为斜边作等腰直角三角形AO'B，连接OO'，交⊙O于A'，作则A'B'是AB的反射弦，对称轴是O∵A(22S，2+22∴O'(设l交y轴于C(0,a)，由CO=CO'得，当a=136时，S1∴0≤S≤5（3）如图，根据（2）的方法找到MN所在的圆心O3设T(2,0)，则TM=13∵MN=2，△∴O∴TL=T∴TO当点在圆上运动一周时，如图，取OO3的中点A1，OT∴SA1是∴SA1=即OO3的中点A1．在以S∴若MN是⊙O的以直线l为对称轴的反射线段，则l为⊙S的切线．设⊙S与y轴交于点C，D，∵OS=12OT=1∴OC=1，OD=1，∴反射轴l与y轴交点的纵坐标y的取值范围为y>1或y<−1．18．（2022·北京房山·统考一模）对于平面内的点P和图形M，给出如下定义：以点P为圆心，r为半径作圆，若⊙P与图形M有交点，且半径r存在最大值与最小值，则将半径r的最大值与最小值的差称为点P视角下图形M的“宽度dM（1）如图1.点A(4,3)，B(0,3)．①在点O视角下，则线段AB的“宽度dAB②若⊙B半径为1.5，在点A视角下，⊙B的“宽度d⊙B（2）如图2，⊙O半径为2，点P为直线y=−x+1上一点．求点P视角下⊙O“宽度d⊙O（3）已知点C(m,0),CK=1，直线y=33x+3与x轴，y轴分别交于点D若随着点C位置的变化，使得在所有点K的视角下，线段DE的“宽度”均满足0<dDE<6【思路点拨】（1）①根据题意易得当线段AB与以点O为圆心的圆相切时半径最小，经过点B时半径最大，由此问题可得解；②由题意可得当以点A为圆心的圆与⊙B外切时半径最小，内切时半径最大，由此问题可得解；（2）设直线y=−x+1与⊙O的交点分别为M和N，与x轴、y轴交于点A、B，由题意易得点A1,0,B0,1，即OA=1，OB=1，则可分当点P在点M上方、点N下方时和当点P（3）由直线y=33x+3可得OD=33,OE=3，则DE=6，∠EDO=30°，由Cm,0,CK=1可知点K在以点C为圆心，半径为1的圆上，进而可分当⊙C经过点D【解题过程】解：（1）①由题意得：当以点O为圆心的圆与线段AB相切于点B时，半径为最小，经过点A时半径最大，连接OA，如图所示：∵A4,3，B∴OB=3，OA=4−0∴在点O视角下，则线段AB的“宽度dAB”为5−3=2故答案为2；②由题意得：以点A为圆心的圆与⊙B外切时半径最小，内切时半径最大，如图所示：∵⊙B半径为1.5，∴半径最大为1.5+4=5.5，半径最小为4−1.5=2.5，∴在点A视角下，⊙B的“宽度d⊙B故答案为3；（2）设直线y=−x+1与⊙O的交点分别为M和N，与x轴、y轴交于点A、B，如图所示：当点P在点M上方时，则以点P为圆心的圆与⊙O内切时半径最大，外切时半径最小，如图，设⊙P的半径最小为r，由圆与圆的位置关系可得半径最大时为r+4，∴在点P视角下⊙O“宽度d⊙O”为r+4−r=4同理可得当点P在点N下方时，与点P在点M外时相同；当点P在线段MN上时，则根据点到直线垂线段最短可得当点P在AB的中点时，此时在点P视角下⊙O“宽度d⊙O”取最小，即：以点P为圆心的圆与⊙O∴由直线y=−x+1可得点A1,0,B0,1，即OA∴△AOB是等腰直角三角形，∴AB=2∵点P是AB的中点，∴OP=2∴⊙P的半径最小为2−22，半径最大为∴在点P视角下⊙O“宽度d⊙O”为2+综上所述：在点P