2024-2025学年内蒙古鄂尔多斯三中高一（上）第一次月考数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年内蒙古鄂尔多斯三中高一（上）第一次月考数学试卷一、单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分。1.下列关系正确的是(

)A.a∈{a,b,c} B.⌀∈{0} C.{0,1}⫋N D.2.a≥4的一个必要不充分条件是(

)A.a>4 B.a≥4 C.a≥1 D.a<13.若1a<1bA.|a|>|b| B.a<b C.a+b>ab D.a4.下列命题中，既是全称量词命题又是真命题的是(

)A.每一个命题都能判断真假

B.存在一条直线与两条相交直线都平行

C.对任意实数a，b，若a<b，则a2<b2

D.5.若集合A={x|x2−3x−10≤0,x∈Z}，B={x|2x2−x−6>0,x∈Z}A.15个 B.16个 C.7个 D.8个6.某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有95%的学生喜欢篮球或羽毛球，60%的学生喜欢篮球，82%的学生喜欢羽毛球，则该中学既喜欢篮球又喜欢羽毛球的学生数占该校学生总数的比例是(

)A.63% B.55% C.47% D.42%7.对于任意的x，y∈R，定义运算：x⊙y=x(y+1).若不等式x⊙(x+a)+1>0对任意实数x恒成立，则(

)A.−1<a<3 B.0<a<2 C.−3<a<1 D.−2<a<28.若正数x，y满足xy−2x−y=0，则x+y2的最小值是(

)A.2 B.22 C.4 9.已知集合M、N的关系如图所示，则下列结论中正确的是(

)A.M∩(∁RN)=⌀

B.M∪(∁RN)=R

10.下列结论正确的是(

)A.当x≥0时，x+1+1x+1≥2 B.当x>0时，x+1x≥2

C.x+111.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则(

)

A.a+b+c<0 B.a+c<b C.abc<0 D.b12.已知全集U={0,1,2,3,4,5}，A是U的子集，当x∈A时，x−1∉A且x+1∉A，则称x为A的一个“孤立元素”，则下列说法正确的是(

)A.若A中元素均为孤立元素，则A中最多有3个元素

B.若A中不含孤立元素，则A中最少有2个元素

C.若A中元素均为孤立元素，且仅有2个元素，则这样的集合A共有9个

D.若A中不含孤立元素，且仅有4个元素，则这样的集合A共有6个二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.命题p：∃x∈R，x2+x<0的否定为______．14.如图，坐标系中矩形OABC及其内部的点构成的集合可表示为______．15.若{a2,0,−1}={a,b,0}，则a−b=16.若对∀x∈R，∃a>0，使得x2+ax−a2≥x−am+1三、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.（10分）已知集合A={x|(x+2)(8−x)≥0}，B={x|−3≤x≤6}．

(1)求A∪(∁RB)；

(2)若C={x|m+1≤x≤2m−1}，C⊆(A∩B)，求实数m18.（12分）已知ab≠0，求证：a3+b3+ab−19.（12分）已知p：∀x∈{x|−1≤x≤1}，x2+x−k≤0，q：∃x∈R，x2+2kx+3k+4≤0．

(1)若¬p成立，求实数k的取值范围；

(2)若p和q中至多有一个成立，求实数20.（12分）(1)设a，b，c为正数，求证：bca+cab+abc≥a+b+c；

21.（12分）为宣传2023年杭州亚运会，某公益广告公司拟在一张矩形海报纸(记为矩形ABCD，如图)上设计四个等高的宣传栏(栏面分别为两个等腰三角形和两个全等的直角三角形且GH=2EF)，宣传栏(图中阴影部分)的面积之和为36000cm2.为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为10cm(宣传栏中相邻两个三角形板块间在水平方向上的留空宽度也都是10cm)，设EF=xcm．

(1)当x=60时，求海报纸(矩形ABCD)的周长；

(2)为节约成本，应如何选择海报纸的尺寸，可使用纸量最少(即矩形ABCD的面积最小)22.（12分）若实数x，y，m满足|x−m|>|y−m|，则称x比y远离m．

(1)若−2比1远离t，求实数t的取值范围；

(2)若ab=1，a≠b，试问：1a2+1+1b2+1参考答案1.AC

2.C

3.D

4.A

5.B

6.C

7.C

8.C

9.BD

10.AB

11.BCD

12.ABD

13.∀x∈R，x214.{(x,y)|0≤y≤115.2或−2

16.[2,+∞)

17.解：(1)A={x|(x+2)(8−x)≥0}={x|−2≤x≤8}，B={x|−3≤x≤6}，

CRB={x|x<−3或x>6}，

则A∪(CUB)={x|x<−3或x≥−2}；

(2)集合A={x|−2≤x≤8}，B=(x|−3≤x≤6},∴A∩B={x|−2≤x≤6},

若C=⌀，则m+1>2m=1，解得m<2；

若C≠⌀，则m+1≤2m−1m+1≥−22m−1≤6，解得2≤m≤718.证明：因为ab≠0，所以a2−ab+b2=(a−b2)2+34b2>0，

又a+b>1，所以a3+b3=(a+b)(a2−ab+b19.解：(1)当¬p成立时，p不成立，

p：∀x∈{x|−1⩽x⩽1}，x2+x⩽k，

当∀x∈{x|−1⩽x⩽1}时，x2+x∈{x|−14⩽x⩽2}，

∴p成立时，k⩾2，∵p不成立，∴k<2．

故实数k的取值范围为{k|k<2}．

(2)p和q中至多有一个成立，

考虑其反面：p和q均成立，

当q成立时，Δ=4k2−4(3k+4)⩾0，解得k⩽−1或k⩾4．

由(1)得，p成立时，k⩾2．

p，q均成立时，由k⩽−1或k⩾4,k⩾2.得k⩾4．

故20.(1)证明：因为a，b，c为正数，

由基本不等式可得，bca+cab≥2bca⋅cab=2c，当且仅当a=b时取等号，

cab+abc≥2cab⋅abc=2a，当且仅当b=c取等号，

bca+abc≥2bca⋅abc=2b，当且仅当a=c取等号，

以上三式相加有2(bca+cab+abc)≥2(a+b+c)，

即bca+cab+abc≥a+b+c，当且仅当a=b=c时取等号；

(2)解：x2−(2a+1)|x|+a2+a<0，即(|x|−a)(|x|−a−1)<0，21.解：(1)设阴影部分直角三角形的高为ycm，

所以阴影部分的面积S=6×12xy=3xy=36000，所以xy=12000，

又x=60，故y=200，

由图可知AD=y+20=220cm，AB=3x+50=230cm．

海报纸的周长为2×(220+230)=900cm．

故海报纸的周长为900cm．

(2)由(1)知xy=12000，x>0，y>0，

SABCD=(3x+50)(y+20)=3xy+60x+50y+1000≥3xy+260x⋅50y+1000=49000，

当且仅当6x=5y，即x=100cm，y=120cm时等号成立，

此时，AB=350cm，AD=140cm．

故选择矩形的长、宽分别为35022.解：(1)−2比1远离t，